operasi perkalian dan pembagian fungsi

operasi perkalian dan pembagian fungsi

1. Operasi Perkalian Fungsi

Misalkan kita punya dua fungsi, $f(x)$ dan $g(x)$. Perkalian antara keduanya ditulis sebagai 

$(f \cdot g)(x)$

Konsepnya sederhana: 

kamu cukup mengalikan seluruh ekspresi fungsi pertama dengan fungsi kedua.

Rumus Utama:$$(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)$$

Contoh Soal:

Diketahui $f(x) = x + 2$ dan $g(x) = x^2 - 3$. 

Tentukan hasil dari $(f \cdot g)(x)$!

Penyelesaian:

$(f \cdot g)(x) = (x + 2)(x^2 - 3)$

Kita gunakan metode distribusi (pelangi):

$x \cdot x^2 = x^3$$x \cdot (-3) = -3x$$2 \cdot x^2 = 2x^2$$2 \cdot (-3) = -6$

Jadi, $(f \cdot g)(x) = x^3 + 2x^2 - 3x - 6$.

2. Operasi Pembagian Fungsi

Pembagian fungsi ditulis sebagai $\left(\frac{f}{g}\right)(x)$. 

Yang perlu diingat di sini adalah syarat penyebut, yaitu bagian bawah tidak boleh nol.

Rumus Utama:

$$\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}, \text{ dengan } g(x) \neq 0$$

Contoh Soal:

Diketahui $f(x) = x^2 - 4$ dan $g(x) = x + 2$. 

Tentukan hasil dari $\left(\frac{f}{g}\right)(x)$!

Penyelesaian:

$\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{x^2 - 4}{x + 2}$

Ingat bentuk aljabar $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. 

Maka $x^2 - 4$ bisa kita pecah menjadi $(x-2)(x+2)$.$$\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x+2}$$

Coret bagian yang sama $(x+2)$, sehingga hasilnya adalah:

$\left(\frac{f}{g}\right)(x) = x - 2$

Tips Cepat Belajar Operasi Fungsi

Perkalian: Jangan teliti di awal saja, pastikan tanda positif/negatif ikut dikalikan dengan benar.

Pembagian: Kuasai teknik pemfaktoran. Ini adalah "senjata rahasia" untuk menyederhanakan pembagian fungsi.

Domain (Daerah Asal): Untuk pembagian, selalu cek nilai $x$ yang membuat penyebut jadi nol, karena nilai tersebut harus dikecualikan dari jawaban.

Ringkasan Operasi

Operasi	Notasi	Cara Kerja
Perkalian	$(f \cdot g)(x)$	Kalikan kedua ekspresi (distribusi)
Pembagian	$(\frac{f}{g})(x)$	Bagi ekspresi (seringnya pakai pemfaktoran)

Contoh Soal lainnya

Contoh Soal 3: Perkalian Fungsi Linear dan Kuadrat

Soal: 

Diketahui fungsi $f(x) = 2x - 1$ dan $g(x) = x^2 + 3x$. 

Tentukan hasil dari $(f \cdot g)(x)$!

Pembahasan:

Gunakan rumus $(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)$.$$(f \cdot g)(x) = (2x - 1)(x^2 + 3x)$$

Lakukan perkalian distributif:$2x \cdot x^2 = 2x^3$$2x \cdot 3x = 6x^2$$-1 \cdot x^2 = -x^2$$-1 \cdot 3x = -3x$

Gabungkan suku-suku yang sejenis ($6x^2$ dan $-x^2$):$$(f \cdot g)(x) = 2x^3 + 5x^2 - 3x$$

Contoh Soal 4: Pembagian Fungsi dengan Pemfaktoran Selisih Kuadrat

Soal: 

Jika $f(x) = x^2 - 25$ dan $g(x) = x - 5$, tentukan hasil dari $\left(\frac{f}{g}\right)(x)$!

Pembahasan:

Gunakan rumus $\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$.$$\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{x^2 - 25}{x - 5}$$

Faktorkan pembilang menggunakan rumus $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:$x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$

Substitusikan kembali:$$\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{(x - 5)(x + 5)}{x - 5}$$

Coret faktor yang sama $(x - 5)$ pada pembilang dan penyebut:$$\left(\frac{f}{g}\right)(x) = x + 5$$

Contoh Soal 5: Pembagian Fungsi Kuadrat Sempurna

Soal: 

Diketahui $f(x) = x^2 + 6x + 9$ dan $g(x) = x + 3$.

Tentukan hasil dari $\left(\frac{f}{g}\right)(x)$!

Pembahasan:

Gunakan rumus $\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$.$$\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{x^2 + 6x + 9}{x + 3}$$

Faktorkan persamaan kuadrat pada pembilang. 

Cari dua angka yang jika dikali hasilnya 9 dan jika dijumlah hasilnya 6. Angka tersebut adalah 3 dan 3.$x^2 + 6x + 9 = (x + 3)(x + 3)$

Substitusikan kembali:$$\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{(x + 3)(x + 3)}{x + 3}$$

Coret salah satu faktor $(x + 3)$ yang sama:$$\left(\frac{f}{g}\right)(x) = x + 3$$