Fungsi Kuadrat

A. DEFINISI FUNGSI KUADRAT

• Fungsi kuadrat adalah fungsi yang mempunyai bentuk umum :

        $𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥^2 + 𝑏𝑥 + 𝑐$, untuk $a,b,c$ adalah $∈ 𝑅$, dan $𝑎 ≠ 0$.

• Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola simetris.
• Parabola memiliki karakteristik yang khas, diantaranya:

1. Memiliki titik balik maksimum(titik puncak)/titik balik minimum,
2. Memiliki sumbu simetri,
3. Berbentuk kurva mulus.

B. Sifat-Sifat Fungsi Kuadrat

• Dengan pengetahuan yang kita miliki tentang diskriminan ($D=b^2-4ac$), hubungan antara diskriminan dengan grafik fungsi kuadrat adalah:

1. Jika $𝐷 > 0$, maka parabola memotong sumbu x di dua titik,
2. Jika $𝐷 = 0$, maka parabola memotong sumbu x di satu titik (menyinggung sumbu x),
3. Jika $𝐷 < 0$, maka parabola tidak memotong sumbu $x$.

• Kita sudah mengetahui bahwa bentuk umum fungsi kuadrat adalah

          $𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥^2 + 𝑏𝑥 + 𝑐$,
          dengan $𝑎 ≠ 0$. Dengan melihat nilai $a$, kita akan mengetahui bahwa:

1. Jika nilai $𝑎 > 0$, maka parabola terbuka ke atas.
2. Jika nilai $𝑎 < 0$, maka parabola terbuka ke bawah.

3. Langkah-Langkah Menggambar Grafik Fungsi

Perhatikan dengan baik langkah-langkahnya!

CONTOH 

Sketsalah grafik fungsi kuadrat $𝒚 = 𝒙^𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟓$.

Penyelesaian :

Langkah 1: Tentukan nilai $a,b,c$.

Ingat, $a$ = koefisien $𝒙^𝟐$, $b$ = koefisien $x$, $c$ = konstanta.

$𝑎 = 1, 𝑏 = −4, 𝑐 = −5$

Langkah 2: Lihat nilai $a$ untuk mengetahui grafik parabolanya menghadap kemana.

Karena $a = 1$, maka $a > 0$ :

sehingga parabola terbuka ke atas dan memiliki titik balik minimum

Langkah 3: Menentukan nilai $D$ untuk mengetahui apakah grafik memotong sumbu $x$.

$𝐷 = 𝑏^2 − 4𝑎𝑐 $

     $= (−4)^2 − 4.1. (−5) $

     $= 16 + 20 $

     $= 36$

$𝐷 = 36$, 

Maka $𝐷 > 0$. Sehingga grafik memotong sumbu $x$ didua titik.

Langkah 4 : Menentukan koordinat titik potong terhadap sumbu $x$

Jika ingin mencari koordinat titik potong terhadap sumbu $x$, maka substitusikan $y = 0$

$𝑦 = 𝑥^2 − 4𝑥 − 5 $

    $= 𝑥^2 − 4𝑥 − 5$

$𝑥^2 − 4𝑥 − 5 = 0$

$(𝑥 − 5)(𝑥 + 1) = 0$

$𝑥 = 5$ atau $𝑥 = −1$

Jadi, koordinat titik potong terhadap sumbu $x$ adalah $(5,0)$ dan $(-1,0)$.

Langkah 5 : Menentukan koordinat titik potong terhadap sumbu $y$

Jika ingin mencari koordinat titik potong terhadap sumbu $y$, maka substitusikan $x = 0$.

$𝑦 = 𝑥^2 − 4𝑥 − 5$

$𝑦 = 0^2 − 4(0) − 5$

$𝑦 = −5$

Jadi, koordinat titik potong terhadap sumbu $y$ adalah $(0, -5)$.

Langkah 6 : Menentukan koordinat titik balik minimum.

Jika ingin menentukan koordinat titik balik minimum maupun maksimum, maka harus mencari sumbu simetri dan nilai balik minimum/maksimumnya dengan rumus berikut :

       1.      Rumus sumbu simetri : $x=\frac{-b}{2a}$

                Jadi, sumbu simetri → $x=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-4)}{2.1}=\frac{4}{2}=2$

 

       2.     Rumus nilai balik minimum/maksimum : $y=\frac{-D}{4a}$

               Jadi, nilai titik balik minimum → $y=\frac{-D}{4a}=\frac{-36}{4.1}=\frac{-36}{4}=-9$

Jadi, koordinat titik balik minimumnya adalah $(2, -9)$.

Langkah 7 : Menggambar grafik fungsi kuadrat $𝒚 = 𝒙^𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟓$.

Berdasarkan langkah 1 sampai 6, diperoleh:

Grafik menghadap ke atas dan memotong sumbu $x$ di dua titik. Titik Potong terhadap sumbu $x$ = $A (5,0)$ dan $B(-1.0)$.

Titik Potong terhadap sumbu $y$ = $C(0, -5)$ TItik Balik minimum = $P(2, -9)$

Buat koordinat cartesius, kemudian letakkan titik-titik di atas. Setelah itu hubungkan semua titiknya menjadi sebuah grafik parabola. Ingat, di bagian titik puncak/titik balik minimum tidak boleh dibuat runcing/tajam (harus melengkung).

Setelah digambar akan menjadi seperti ini.

Masalah sehari - hari yang berkaitan dengan fungsi kuadrat :

Tinggi dari balon udara dalam waktu $x$ dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi $f(x) = –16x^2 + 112x − 91$. Tentukan tinggi maksimum balon udara (dalam meter)!

Penyelesaian:

Lintasan balon udara saat naik dan turun dianggap membentuk grafik fungsi kuadrat (berbentuk parabola).

Fungsi $f(x) = –16x^2 + 112x – 91$ merupakan tinggi balon udara, oleh sebab itu:

$a = -16, b = 112$, dan $c = -91$

$a = -16 < 0$ (negatif) maka grafik terbuka ke bawah dan grafik memiliki titik puncak maksimum

Tinggi maksimum balon udara dicapai pada titik puncak grafik $f(x) = –16x^2 + 112x – 91$. Tinggi balon udara ditentukan oleh nilai $yp$, sehingga:

Tinggi maksimum = 

$yp = \frac{-D}{4a}$ 

     $= \frac{-(b2 - 4ac)}{4a}$

     $= \frac{-(1122  - 4.(-16).(-91))}{(4.(-16))}$

     $= \frac{-6720}{-64} = 105$ meter

Jadi, tinggi maksimum balon udara adalah $105$ meter.

Selamat Belajar

Salam Matematika 

sumber : kumparan.com