Bentuk akar $\sqrt[n]{P}$ dengan $P$ adalah bilangan real positif, dapat disederhanakan menggunakan sifat perkalian akar.
untuk $a,b$ bilangan real positif berlaku :
$\sqrt[n]{a\times b}=\sqrt[n]{a}\times \sqrt[n]{b}$
Operasi aljabar pada bentuk akar
Untuk $a, b \text{ }\epsilon \text{ }R $ dan $ c, d$ bilangan rasional non negatif berlaku :
1. $a\sqrt{c}+b\sqrt{c}=(a + b)\sqrt{c}$
2. $a\sqrt{c}-b\sqrt{c}=(a - b)\sqrt{c}$
3. $\sqrt{c} \times \sqrt{d}=\sqrt{c\times d}$
4. $\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{d}}=\sqrt{\frac{c}{d}}$, $d\neq 0$
Catatan:
$\sqrt{(c+d)+2\sqrt{cd}}=\sqrt{c}+\sqrt{d}$
$\sqrt{(c+d)-2\sqrt{cd}}=\sqrt{c}-\sqrt{d}$
Contoh:
Bentuk sederhana $2\sqrt{150}-5\sqrt{54}-7\sqrt{96}$ adalah ...
Jawab:
$=2\sqrt{150}-5\sqrt{54}-7\sqrt{96}$
$=2\sqrt{25\times6}-5\sqrt{9\times6}-7\sqrt{16\times6}$
$= 2\sqrt{25}\times\sqrt{6}-5\sqrt{9}\times\sqrt{6}-7\sqrt{16}\times\sqrt{6}$
$= 2\times5\times\sqrt{6}-5\times3\times\sqrt{6}-7\times4\times\sqrt{6}$
$= 10\sqrt{6}-15\sqrt{6}-28\sqrt{6}$
$= -33\sqrt{6}$
Merasionalkan penyebut pecahan bentuk akar
Merasionalkan penyebut pecahana bentuk akar artinya menjadikan penyebut pecahan bentuk akar menjadi bilangan rasional.
Untuk $a, b$ bilangan rasional non negatif, maka :
1. $\sqrt{a}$ sekawannya adalah $\sqrt{a}$
2. $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ sekawannya adalah $\sqrt{a}-\sqrt{b}$
3. $a+\sqrt{b}$ sekawannya adalah $a-\sqrt{b}$
Perkalian bentuk akar dengan sekawannya menghasilkan bilangan rasional. Merasionalkan penyebut pecahan bentuk akar dilakukan dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan ekawan dari penyebutnya.
1. Merasionalkna penyebut pecahan berbentuk $\frac{a}{\sqrt{b}}$ .
$\frac{a}{\sqrt{b}}=\frac{a}{\sqrt{b}}\times \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}=\frac{a}{b}\sqrt{b}$
2. Merasionalkan penyebut pecahan berbentuk $\frac{c}{a+\sqrt{b}}$ atau $\frac{c}{a-\sqrt{b}}$
(i) $\frac{c}{a+\sqrt{b}}=\frac{c}{a+\sqrt{b}}\times \frac{a-\sqrt{b}}{a-\sqrt{b}}=\frac{c(a-\sqrt{b})}{a^{^2}-b} $
(ii)$\frac{c}{a-\sqrt{b}}=\frac{c}{a-\sqrt{b}}\times \frac{a+\sqrt{b}}{a+\sqrt{b}}=\frac{c(a+\sqrt{b})}{a^{^2}-b} $
3. Merasionalkan penyebut pecahan berbentuk $\frac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ atau $\frac{c}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$
(i) $\frac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\times \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{c(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a-b}$
(ii) $\frac{c}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{c}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\times \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{c(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{a-b} $
Perhatikan contoh -contoh soal berikut ini :
1. Rasionalkanlah bentuk akar sekawan berikut $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{15}+\sqrt{10}}$
Jawab :
$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{15}+\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{15}+\sqrt{10}}\times\frac{\sqrt{15}-\sqrt{10}}{\sqrt{15}-\sqrt{10}}$
$=\frac{\sqrt{6}(\sqrt{15}-\sqrt{10})}{(\sqrt{15})^{2}-(\sqrt{10})^{2}}$
$=\frac{\sqrt{90}-\sqrt{60}}{15-10}$
$=\frac{\sqrt{9.10}-\sqrt{4.15}}{5}$
$=\frac{3\sqrt{10}-2\sqrt{15}}{5}$
$=\frac{3}{5}\sqrt{10}-\frac{2}{5}\sqrt{15}$
Selamat Belajar
Semoga Sukses
