Bentuk Akar

Bentuk akar $\sqrt[n]{P}$ dengan $P$ adalah bilangan real positif, dapat disederhanakan menggunakan sifat perkalian akar.

Sifat perkalian akar

untuk $a,b$ bilangan real positif berlaku :  

$\sqrt[n]{a\times b}=\sqrt[n]{a}\times \sqrt[n]{b}$

Operasi aljabar pada bentuk akar

Untuk $a, b \text{ }\epsilon \text{ }R$ dan $c, d$  bilangan rasional non negatif berlaku :

1. $a\sqrt{c}+b\sqrt{c}=(a + b)\sqrt{c}$ 

2. $a\sqrt{c}-b\sqrt{c}=(a - b)\sqrt{c}$

 

3. $\sqrt{c} \times \sqrt{d}=\sqrt{c\times d}$ 

4. $\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{d}}=\sqrt{\frac{c}{d}}$, $d\neq 0$

 

Catatan:

$\sqrt{(c+d)+2\sqrt{cd}}=\sqrt{c}+\sqrt{d}$

$\sqrt{(c+d)-2\sqrt{cd}}=\sqrt{c}-\sqrt{d}$

Contoh:

Bentuk sederhana $2\sqrt{150}-5\sqrt{54}-7\sqrt{96}$  adalah ...

    Jawab:

    $=2\sqrt{150}-5\sqrt{54}-7\sqrt{96}$

    

    $=2\sqrt{25\times6}-5\sqrt{9\times6}-7\sqrt{16\times6}$

    $= 2\sqrt{25}\times\sqrt{6}-5\sqrt{9}\times\sqrt{6}-7\sqrt{16}\times\sqrt{6}$

    $= 2\times5\times\sqrt{6}-5\times3\times\sqrt{6}-7\times4\times\sqrt{6}$ 

    $= 10\sqrt{6}-15\sqrt{6}-28\sqrt{6}$

    $= -33\sqrt{6}$ 

Merasionalkan penyebut pecahan bentuk akar

sumber gambar : https://encrypted-tbn0.gstatic.com

Merasionalkan penyebut pecahana bentuk akar artinya menjadikan penyebut pecahan bentuk akar menjadi bilangan rasional.

Untuk $a, b$  bilangan rasional non negatif, maka :

1. $\sqrt{a}$  sekawannya adalah $\sqrt{a}$ 

2. $\sqrt{a}+\sqrt{b}$  sekawannya adalah $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ 

3. $a+\sqrt{b}$  sekawannya adalah $a-\sqrt{b}$

 

Perkalian bentuk akar dengan sekawannya menghasilkan bilangan rasional. Merasionalkan penyebut pecahan bentuk akar dilakukan dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan ekawan dari penyebutnya.

1. Merasionalkna penyebut pecahan berbentuk $\frac{a}{\sqrt{b}}$ .

    $\frac{a}{\sqrt{b}}=\frac{a}{\sqrt{b}}\times \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}=\frac{a}{b}\sqrt{b}$

2. Merasionalkan penyebut pecahan berbentuk $\frac{c}{a+\sqrt{b}}$  atau $\frac{c}{a-\sqrt{b}}$

(i) $\frac{c}{a+\sqrt{b}}=\frac{c}{a+\sqrt{b}}\times \frac{a-\sqrt{b}}{a-\sqrt{b}}=\frac{c(a-\sqrt{b})}{a^{^2}-b}$

(ii)$\frac{c}{a-\sqrt{b}}=\frac{c}{a-\sqrt{b}}\times \frac{a+\sqrt{b}}{a+\sqrt{b}}=\frac{c(a+\sqrt{b})}{a^{^2}-b}$

3. Merasionalkan penyebut pecahan berbentuk $\frac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$  atau $\frac{c}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$

 

(i)  $\frac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\times \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{c(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a-b}$ 

(ii) $\frac{c}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{c}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\times \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{c(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{a-b}$

Perhatikan contoh -contoh soal berikut ini :

1. Rasionalkanlah bentuk akar sekawan berikut $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{15}+\sqrt{10}}$ 

    Jawab :

  $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{15}+\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{15}+\sqrt{10}}\times\frac{\sqrt{15}-\sqrt{10}}{\sqrt{15}-\sqrt{10}}$

       $=\frac{\sqrt{6}(\sqrt{15}-\sqrt{10})}{(\sqrt{15})^{2}-(\sqrt{10})^{2}}$

       $=\frac{\sqrt{90}-\sqrt{60}}{15-10}$

       $=\frac{\sqrt{9.10}-\sqrt{4.15}}{5}$

       $=\frac{3\sqrt{10}-2\sqrt{15}}{5}$

       $=\frac{3}{5}\sqrt{10}-\frac{2}{5}\sqrt{15}$

Selamat Belajar

Semoga Sukses