Logaritma

Sumber gambar: careerarn.com

Logaritma adalah invers (kebalikan) dari perpangkatan (eksponen).

Untuk $y\geq 0$,$a> 0$,$a\neq 1$ berlaku :

$^{a}\text{ log }y=x \Leftrightarrow a^{x}=y$

dengan $y$ disebut numerus dan $a$ disebut basis atau bilangan pokok.

Penulisan basis untuk logaritma dengan basis $a=10$, biasanya tidak dituliskan, cukup ditulis dengan $\text{ log }y$. 

Sifat-sifat Logaritma

Untuk $a> 0$,$a\neq 1$,$x$,$y> 0$ berlaku :

1.$\text{ }^{a}log\text{ }1=0$

2.$\text{ }^{a}log\text{ }a=1$

3.$\text{ }^{a}log\text{ }a^{x}=x$

4.$\text{ }a^{ ^{a}{log\text{ }y}}=y$

5.$\text{ Jika }x=y,\text{ maka } ^{a}log\text{ }x= ^{a}log\text{ }y$

6.$\text{ } ^{a}log\text{ }(xy)= ^{a}log\text{ }x+ ^{a}log\text{ }y$

7.$\text{ } ^{a}log\text{ }\frac{x}{y}= ^{a}log\text{ }x- ^{a}log\text{ }y$

8.$\text{ } ^{a}log\text{ }x^{n}=n\times ^{a}log\text{ }x$

9.$\text{ } ^{a}log\text{ }x=\frac{ ^{p}log\text{ }x}{ ^{p}log\text{ }a}=\frac{1}{ ^{x}log\text{ }a},p>0,p\neq 1$

10.$\text{ } ^{a}log\text{ }x\times ^{x}log\text{ }y= ^{a}log\text{ }y$

11.$\text{ } ^{a}log\text{ }x= ^{a^{n}}log\text{ }x^{n}$

12.$\text{ } ^{a^{m}}log\text{ }x^{n}= \frac{n}{m}\times ^{a}log\text{ }x,m\neq 0$

Contoh Soal

1. Diketahui $a=4\text{ log }x$ dan $b=2\text{ log }x$. Jika $4\text{ log }b+2\text{ log }a=2$, maka $a+b$ adalah...

Alternatif Pembahasan:

$a=4\text{ log }x$ dan $b=2\text{ log }x$⇔$2a=b$

$4\text{ log }b+2\text{ log }a=2$

$\frac{1}{2}2\text{ log }b+2\text{ log }a=2$

$^2\text{ log }b^{\frac{1}{2}}+^2\text{ log }a=2$

$^2\text{ log }(b^{\frac{1}{2}}.a)=2$

$b^{\frac{1}{2}}.a=2^2$

$(2a)^{\frac{1}{2}}.a=4$

$2a.a^2=16$

$a^3=8$

$a=2$ dan $b=4$

Nilai $a+b=2+4=6$

Selamat Belajar

Salam Matematika