sumber gambar : https://cdn1.katadata.co.id
Sistem persamaan adalah himpunan persamaan yang saling berhubungan. Persamaan linear adalah persamaan yang memuat variabel dengan pangkat tertinggi sama dengan satu. Persamaan linear dua varibel berarti persamaan yang memuat dua varibel dengan pangkar tertinggi 1. Sehingga sistem persamaan linear dua variabel dapat dipahami sebagai himpunan persamaan-persamaan linear yang memiliki dua variabel. Penyebutan nama sistem persamaan linear dua variabel sering disingkat dengan SPLDV.
Sebuah persamaan linear memiliki komponen yang meliputi variabel, koefisien, dan konstanta. Koefisien dan variabel terletak berdampingan dengan letak koefisien di depan variabel. Konstanta pada persamaan linear adalah bilangan yang tidak diikuti oleh variabel.
Contoh persamaan linear dua variabel adalah $3x + 2y = 12$.
Bagaimana cara menentukan solusi dari sistem persamaan linear dua variabel? Apa saja cara untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel? Sobat idschool dapat mencari tahu jawabannya melalui ulasan cara menentukan solusi dari sistem persamaan linear dua varibel di bawah.
Bentuk Persamaan Linear
Persamaan linear dua variabel memiliki karakteristik memiliki sebagai persamaan dengan pangkat tertinggi dari semua variabel dalam persamaan adalah satu. Perhatikan persamaan yang bukan SPLDV dan persamaan yang merupakan SPLDV berikut.
Contoh bukan SPLDV:
$2x^2 + 5x = 14$
$\frac{1}{x}^2 + \frac{1}{y} = 2$
Contoh SPLDV:
$2x + 5y = 14$
$3a + 4b =24$
$q + r = 3$
Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV):
$ax + by = c$
$dx + ey = f$
Hasil penyelesaian SPLDV dinyatakan dalam pasangan terurut $(x, y)$
Cara Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Terdapat beberapa cara/metode untuk menyelesaikan permasalahan terkait Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV). Empat metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan SPLDV adalah sebagai berikut.
- Substitusi
- Eliminasi
- Gabungan
- Grafik
Melalui halaman ini, sobat idschool dapat mengetahui proses pengerjaan SPLDV dengan berbagai metode. Untuk mengetahui perbedaan setiap metode, akan disajikan dalam pengerjaan sebuah soal dengan keempat metode tersebut.
Permasalahan dalam SPLDV yang akan diselesaikan adalah dua bersamaan berikut.
(i) $2x + 3y = 8$
(ii) $3x + y = 5$
Metode Substitusi
Ada beberapa langkah yang perlu dilakukan untuk menyelesaikan SPLDV dengan metode substitusi. Berikut ini adalah langkah-langkah menyelesaikan SPLDV dengan metode substitusi.
Langkah-langkah menyelesaikan SPLDV dengan metode substitusi:
- Mengubah salah satu persamaan menjadi bentuk y = ax + b atau x = cy + d [TRIK!! Pilih persamaan yang paling mudah untuk diubah]
- Substitusi nilai x atau y yang diperoleh pada langkah pertama ke persamaan yang lainnya
- Selesaikan persamaan untuk mendapatkan nilai x atau y
- Substitusi nilai x atau y yang diperoleh pada langkah ketiga pada salah satu persamaan untuk mendapatkan nilai dari variabel yang belum diketahui. Penyelesaiannya adalah (x, y)
- Penyelesaian permasalahan SPLDV dengan metode substitusi:
Langkah 1:
Mengubah salah satu persamaan menjadi bentuk $y = ax + b$ atau $x = cy + d$
Mengubah persamaan (ii) ke dalam bentuk $y = ax + b$
$3x + y = 5 \rightarrow y = 5 ‒ 3x$
Langkah 2:
substitusi $y = 5 ‒ 3x$ pada persamaan $2x + 3y = 8$
$2x + 3(5 ‒ 3x) = 8$
Langkah 3:
selesaikan persamaan sehingga diperoleh nilai $x$
$2x + 3(5 ‒ 3x) = 8$
$2x + 15 ‒ 9x = 8$
$‒7x = ‒7$
$x = 1$
Langkah 4:
substitusi nilai $x = 1$ pada persamaan $2x + 3y = 8$ (pilih salah satu, hasilnya akan sama)
$2x + 3y = 8$
$2(1) + 3y = 8$
$3y = 8 ‒ 2$
$3y = 6 \rightarrow y = 2$
Langkah 5:
Diperoleh penyelesaian dari sistem persamaan linear dua varibael dalam bentuk adalah $(x, y)$. Hasil yang diperoleh adalah $x = 1$ dan $y = 2$, jadi penyelesaiannya SPLDV pada soal yang diberikan adalah (1, 2)
Metode Eliminasi
Cara kedua untuk menyelesaikan SPLDV adalah menggunakan metode eliminasi. Secara ringkas, dalam metode eliminasi adalah menghilangkan salah satu variabel untuk mendapatkan nilai dari satu variabel lainnya.
Langkah-langkah menyelesaikan SPLDV dengan metode eliminasi:
- Menyamakan salah satu koefisien dari variabel $x$ atau $y$ dari kedua persamaan dengan cara mengalikan konstanta yang sesuai.
- Hilangkan variabel yang memiliki koefisien yang sama dengan cara menambahkan atau mengurangkan kedua persamaan.
- Ulangi kedua langkah untuk mendapatkan variabel yang belum diketahui.
- Penyelesaiannya adalah $(x, y)$
Langkah 1:
menyamakan salah satu koefisien dari variabel $x$ atau $y$ dari kedua persamaan dengan cara mengalikan konstanta yang sesuai.
$\begin{matrix} 2x+3y=8\\ 3x+y=5\end{matrix}\begin{vmatrix}\times1\\ \times3\end{vmatrix}\begin{matrix} 2x+3y=8\\ 9x+3y=15\end{matrix}$
Langkah 2:
hilangkan variabel yang memiliki koefisien yang sama dengan cara menambahkan atau mengurangkan kedua persamaan.
$\begin{matrix} 2x+3y=8\\ 3x+y=5\end{matrix}\begin{vmatrix}\times1\\ \times3\end{vmatrix}\begin{matrix} 2x+3y=8\\ 9x+3y=15\end{matrix}$
________________-
$-7x=-7$
$x=1$
Langkah 3:
ulangi kedua langkah untuk mendapatkan variabel yang belum diketahui
$\begin{matrix} 2x+3y=8\\ 3x+y=5\end{matrix}\begin{vmatrix}\times3\\ \times2\end{vmatrix}\begin{matrix} 6x+9y=24\\ 6x+2y=10\end{matrix}$
________________-
$7y=14$
$x=2$
Langkah 4:
penyelesaiannya adalah $(x, y)$ $\rightarrow$ Hasil yang diperoleh $x = 1$ dan $y = 2$, jadi penyelesaiannya adalah $(1, 2)$.
Cara Gabungan (Eliminasi-Substitusi) untuk Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear 2 Variabel
Metode gabungan merupakan penggabungan langkah dari metode substitusi dan eliminasi. Metode eliminasi mempunyai langkah awal yang cukup mudah dan singkat. Sedangkan metode substitusi mempunyai cara akhir yang baik. Kedua metode tersebut digabungkan untuk mempermudah pengerjaan.
Metode gabungan merupakan metode yang sering digunakan dalam menyelesaikan SPLDV karena dinilai lebih ringkas dan baik.
Langkah-langkah menyelesaikan SPLDV dengan metode gabungan:
- Cari nilai salah satu variabel x atau y dengan metode eliminasi
- Gunakan metode substitusi untuk mendapatkan nilai variabel kedua yang belum diketahui
- Penyelesaian sistem persamaan linear dua varibel berupa bentuk (x, y)
Contoh penyelesaian permasalahan SPLDV dengan metode gabungan (eliminasi – substitusi):
Langkah 1:
mencari nilai $x$ dengan metode eliminasi
$\begin{matrix} 2x+3y=8\\ 3x+y=5\end{matrix}\begin{vmatrix}\times1\\ \times3\end{vmatrix}\begin{matrix} 2x+3y=8\\ 9x+3y=15\end{matrix}$
________________-
$-7x=-7$
$x=1$
Langkah 2:
substitusi nilai $x = 1$ pada persamaan $2x + 3y = 8$ (pilih salah satu, hasilnya akan sama)
$2x + 3y = 8$
$2(1) + 3y = 8$
$3y = 8 ‒ 2$
$3y = 6$
$y = \frac{6}{3} = 2$
Langkah 3:
penyelesaiannya adalah $(x, y)$ $\rightarrow$ Hasil yang diperoleh $x = 1$ dan $y = 2$, jadi penyelesaiannya adalah $(1, 2)$.
Metode Grafik
Penyelesaian SPLDV dengan metode grafik dilakukan dengan menentukan koordinat titik potong dari kedua garis yang mewakili kedua persamaan linear
Langkah-langkah menyelesaikan SPLDV dengan metode grafik:
- Menggambar garis yang mewakili kedua persamaan dalam bidang kartesius
- Menemukan titik potong dari kedua grafik tersebut
- Penyelesaiannya adalah $(x, y)$.
Berikut ini penyelesaian SPLDV dengan metode grafik.
Langkah 1:
menggambar kedua grafik
Menentukan titik potong pada kedua sumbu $x$ dan $y$ dari kedua persamaan.
Persamaan 1
$2x+3y=8$
perpotongan terhadap sumbu $x$, jika $x=0$, maka :
$2(0)+3y=8$
$0+3y=8$
$3y=8$
$y=\frac{8}{3}$
sehingga titik potong terhadap sumbu $x$ adalah $(0,\frac{8}{3})$
perpotongan terhadap sumbu $y$, jika $y=0$, maka :
$2x+3(0)=8$
$2x+0=8$
$2x=8$
$x=\frac{8}{2}=4$
sehingga titik potong terhadap sumbu $x$ adalah $(4,0)$
Persamaan 2
$3x + y = 5$
perpotongan terhadap sumbu $x$, jika $x=0$, maka :
$3(0)+y=5$
$0+y=5$
$y=5$
sehingga titik potong terhadap sumbu $x$ adalah $(0,5)$
perpotongan terhadap sumbu $y$, jika $y=0$, maka :
$3x+0=5$
$3x=5$
$x=\frac{5}{3}$
sehingga titik potong terhadap sumbu $x$ adalah $(\frac{5}{3},0)$
Gambar garis lurus untuk kedua persamaan linear dalam bidang kartesius diberikan seperti gambar di bawah.
menemukan titik potong dari kedua grafik tersebut.
Langkah 3:
penyelesaiannya adalah $(x, y)$
Berdasarkan gambar dapat diketahui bahwa titik potong berada pada $x = 1$ dan $y = 2$, jadi penyelesaiannya adalah $(1, 2)$.
Dengan metode grafik, diperoleh pula hasil yang sama dengan metode substitusi, metode eliminasi, dan metode gabungan (substitusi – eliminasi).
Contoh Soal SPLDV dan Pembahasan
Contoh 1 – Soal Certia yang Sesuai dengan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Diketahui sistem persamaan $3x + 2y = 8$ dan $x ‒ 5y = ‒37$. Nilai $6x + 4y$ adalah ….
A. $‒30$
B. $‒16$
C. $16$
D. $30$
E. $24$
Pembahasan:
Dari persamaan $x ‒ 5y = ‒37$ dapat diperoleh persamaan yang ekuivalen yaitu $x = 5y ‒ 37$. Substitusi persamaan $x$ ke dalam persamaan $3x + 2y = 8$ untuk mendapatkan nilai $y$.
$3(5y ‒ 37) + 2y = 8$
$15y ‒ 111 + 2y = 8$
$17y = 8 + 111$
$y = \frac{119 }{ 17}$
$y = 7$
Selanjutnya, substitusi nilai $y = 7$ pada persamaan $x = 5y ‒ 37$ untuk mendapatkan nilai $x$.
$x = 5y ‒ 37$
$x = 5×7 ‒ 37$
$x= 35 ‒ 37$
$x= ‒2$
Jadi, nilai $6x + 4y = 6×(‒2) + 4×7 = ‒12 + 28 = 16$
Jawaban: C
Contoh 2 – Soal Sistem Persamaan Linear
Seorang tukang parkir mendapat uang sebesar $Rp17.000,00$ dari $3$ buah mobil dan $5$ buah motor, sedangkan dari $4$ buah mobil dan $2$ buah motor ia mendapat $Rp18.000,00$. Jika terdapat $20$ mobil dan $30$ motor, banyak uang parkir yang ia peroleh adalah ….
A. $Rp135.000,00$
B. $Rp115.000,00$
C. $Rp110.000,00$
D. $Rp100.000,00$
E. $Rp120.000,00$
Pembahasan:
Misalkan:
Tarif parkir per mobil = $x$
Tarif parkir per motor = $y$
Berdasarkan cerita pada soal, dapat diperoleh model matematika seperti di bawah.
$3x + 5y = 17.000$
$4x + 2y = 18.000$
Kalikan persamaan pertama dengan $4$ (empat) dan persamaan kedua dengan $3$ (tiga). Hal ini digunakan untuk membuat salah satu variabelnya sama, sehingga bisa saling mengurangi.
$\begin{matrix} 3x+5y=17.000\\ 4x+2y=18.000\end{matrix}\begin{vmatrix}\times4\\ \times3\end{vmatrix}\begin{matrix} 12x+20y=68.000\\ 12x+6y=54.000\end{matrix}$
____________________-
$14y=14.000$
$x=1.000$
Berdasarkan perhitungan di atas, diperoleh nilai $y = 1.000$
Substitusi nilai $y = 1.000$ pada salah satu persamaan yang diketahui, misalnya $3x + 5y =17.000$ (pemilihan persamaan yang berbeda akan tetap menghasilkan hasil akhir sama).
$3x + 5y = 17.000$
$3x + 5(1.000) = 17.000$
$x = \frac{(17.000 ‒ 5.000)}{ 3}$
$x = \frac{12.000 }{ 3} = 4.000$
Hasil yang diperoleh adalah
Uang parkir mobil = $x = Rp.4.000,00$
Uang parkir motor = $y = Rp.1.000,00$
Jadi, uang yang diperoleh untuk $20$ mobil dan $30$ motor adalah
$= 20 x Rp4.000,00 + 30 x Rp1.000,00$
$= Rp80.000,00 + Rp30.000,00 = Rp110.000,00$
Jawaban: C
Selamat Belajar
Salam Matematika
sumber : https://idschool.net
