Persamaan Kuadrat

Apa Itu Persamaan Kuadrat?

Persamaan kuadrat adalah persamaan polinomial (suku banyak) variabel 1 yang memiliki pangkat tertinggi dua. Ingat, ya, pangkat tertingginya dua!

Nah, bentuk umum persamaan kuadrat bisa dituliskan seperti berikut:

$ax^2+bx+c=0$

Dengan $a, b, c ∈ R$ dan $a ≠ 0$

Keterangan:

$x$ = variabel

$a$ = koefisien dari $x^2$

$b$ = koefisien dari $x$

$c$ = konstanta

Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Ada tiga cara untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, yaitu dengan menggunakan faktorisasi, kuadrat sempurna, dan rumus kuadratik atau biasa disebut juga sebagai rumus ABC. Kita bahas satu per satu, ya!

1. Faktorisasi

Faktorisasi atau pemfaktoran merupakan cara mencari penyelesaian dari persamaan kuadrat, dengan cara mencari nilai yang jika dikalikan, maka akan menghasilkan nilai lain.

Contoh Soal Faktorisasi

Selesaikan persamaan kuadrat berikut dengan cara faktorisasi $5x^2 + 13x + 6 = 0$!

Jawab:

$5x^2 + 13x + 6 = 0$

$5x^2 + 10x + 3x + 6 = 0$

$5x(x + 2) + 3(x + 2) = 0$

$(5x + 3)(x + 2) = 0$

$5x+3=0$ atau $x+2=0$

$5x = −3$ atau $x = −2$

$x =  -\frac{3}{5}$ atau $x = −2$

Jadi, penyelesaiannya adalah $x = -\frac{3}{5}$ atau $x = −2$.

2. Kuadrat Sempurna

Kuadrat sempurna adalah cara untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadratnya sehingga menjadi sempurna. Bentuk persamaan kuadrat sempurna merupakan bentuk persamaan yang menghasilkan bilangan rasional.

Penyelesaian persamaan kuadrat dengan kuadrat sempurna menggunakan rumus berikut:

$(x + p)^2 = x2 + 2px + p^2$

Dari bentuk tersebut, kamu bisa ubah menjadi bentuk persamaan dalam $(x + p)^2 = q$

Penyelesaian:

$(x + p)^2 = q$

$x + p = ± \sqrt{q}$

$x = −p ± \sqrt{q}$

Supaya adik - adik makin paham, coba kerjakan contoh soal di bawah ini, ya!

Contoh Soal Kuadrat Sempurna

Lengkapi bentuk kuadrat sempurna berikut ini $x^2 + 6x + 5 = 0$!

Jawab:

$x^2 + 6x + 5 = 0$

Ubah menjadi $x^2 + 6x = −5$

Tambahkan satu angka di ruas kiri dan kanan agar menjadi kuadrat sempurna. Penambahan angka ini diambil dari separuh angka koefisien dari $x$ atau separuhnya $6$ yang dikuadratkan, yakni $3^2 = 9$. Tambahkan angka $9$ di ruas kiri dan kanan, sehingga persamaannya menjadi:

$x^2 + 6x + 9 = −5 + 9$

$x^2 + 6x + 9 = 4$

$(x + 3)^2 = 4$

$(x + 3) = \sqrt{4}$

$x + 3 = \pm{2}$

a. Untuk $x + 3 = 2$

$x = 2 − 3$

$x = −1$

b. Untuk $x + 3 = −2$

$x = −2 − 3$

$x = −5$

Jadi, penyelesaiannya adalah $x = −1$ atau $x = −5$.

3. Rumus Kuadratik

Selain menggunakan faktorisasi dan melengkapi kuadrat sempurna, persamaan kuadrat juga bisa diselesaikan dengan menggunakan rumus kuadratik atau biasa dikenal dengan rumus ABC. Rumus kuadratik atau rumus ABC bisa kamu lihat berikut ini.

$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

Perhatikan contoh soal berikut!

1. Selesaikan persamaan kuadrat $x^2 + 4x − 12 = 0$ menggunakan rumus kuadratik (rumus ABC)!

Jawab:

$x^2 + 4x − 12 = 0$

$a = 1, b = 4, c = −12$

Maka :

$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

$x_{1,2}=\frac{-4\pm \sqrt{4^{2}-4.1.(-12)}}{2.1}$

$x_{1,2}=\frac{-4\pm \sqrt{16+48}}{2}$

$x_{1,2}=\frac{-4\pm \sqrt{64}}{2}$

$x_{1,2}=\frac{-4\pm 8}{2}$

Sehingga :

$x_{1}=\frac{-4+8}{2}$ atau $x_{2}=\frac{-4-8}{2}$

$x_{1}=\frac{4}{2}$ atau $x_{2}=\frac{-12}{2}$

$x_{1}=2$ atau $x_{2}=-6$

Jadi, penyelesaiannya adalah $x = 2$ atau $x = −6$.

Perhatikan masalah dalam kehidupan sehari - hari berikut ini :

Sebuah kelereng dijatuhkan dari atap suatu gedung. Persamaan gerak kelereng tersebut mengikuti persamaan ketinggian seperti berikut.

$h(t) = 3x^2 – 12x +12$ dengan $t$ dalam $s$ dan $h$ dalam $m$

Hitunglah waktu yang diperlukan kelereng untuk mencapai tanah !

Pembahasan:

Saat menyentuh tanah, ketinggian bola = $0$ atau $h(t) = 0$. Dengan demikian

$h(t) = 3x^2 – 12x +12$

$3x^2 – 12x +12 = 0$

$x^2 – 4x + 4 = 0$

$(x – 2)(x – 2) = 0$

$x_{1} = x_{2} = 2$

Jadi, waktu yang diperlukan kelereng untuk menyentuh tanah adalah $2 s$.

Selamat Belajar

Salam Matematika

sumber : Ruang Guru