Memodelkan pinjaman dan investasi dengan bunga majemuk dan anuitas

Bunga Tunggal dan Majemuk

Pendahuluan

Pemodelan pinjaman dan investasi adalah aspek penting dalam matematika keuangan. Pemahaman tentang bunga majemuk dan anuitas sangat diperlukan untuk membuat keputusan keuangan yang tepat, baik dalam konteks pribadi maupun bisnis.

Bunga Majemuk

Bunga majemuk adalah perhitungan bunga berdasarkan jumlah pokok ditambah bunga yang telah diakumulasi dari periode-periode sebelumnya.

Rumus dasar bunga majemuk:

$A = P(1 + r)^n$

Di mana:

$A$ = Jumlah akhir

$P$ = Jumlah pokok awal (principal)

$r$ = Suku bunga per periode

$n$ = Jumlah periode

Contoh:

Jika Anda menginvestasikan Rp $1.000.000$ dengan bunga $5$% per tahun selama $3$ tahun, maka:

$A = 1.000.000 \times (1 + 0,05)^3$

$A = 1.000.000 \times 1,157625$

$A = $Rp $1.157.625$

Anuitas

Anuitas adalah serangkaian pembayaran tetap yang dilakukan dalam interval waktu yang sama. Ada dua jenis utama anuitas:

a. Anuitas Biasa (Ordinary Annuity):

Pembayaran dilakukan pada akhir setiap periode.

b. Anuitas Di Muka (Annuity Due):

Pembayaran dilakukan pada awal setiap periode.

Rumus Nilai Sekarang Anuitas Biasa:

$PV = PMT \times [\frac{(1 - (1 + r)^{-n}) }{ r}]$

Rumus Nilai Masa Depan Anuitas Biasa:

$FV = PMT \times [\frac{((1 + r)^{n - 1}) }{ r}]$

Di mana:

$PV$ = Nilai sekarang

$FV$ = Nilai masa depan

$PMT$ = Pembayaran per periode

$r$ = Suku bunga per periode

$n$ = Jumlah periode

Contoh:

Anda ingin menabung Rp $1.000.000$ per tahun selama $5$ tahun dengan bunga $6$% per tahun. Berapa nilai akhir tabungan Anda?

$FV = 1.000.000 \times [\frac{((1 + 0,06)^{5 - 1}) }{ 0,06}]$

$FV = 1.000.000 \times 5,637093$

$FV = $Rp $5.637.093$

Memodelkan Pinjaman

Dalam memodelkan pinjaman, kita sering menggunakan konsep anuitas untuk menghitung pembayaran cicilan. Ada dua aspek utama yang perlu diperhatikan:

a. Menghitung Pembayaran Cicilan:

Untuk menghitung pembayaran cicilan tetap, kita menggunakan rumus:

$PMT = P \times \frac{ [r(1 + r)^n] }{ [(1 + r)^{n - 1}]}$

Di mana:

$PMT$ = Pembayaran cicilan per periode

$P$ = Jumlah pinjaman pokok

$r$ = Suku bunga per periode

$n$ = Jumlah periode pembayaran

b. Amortisasi Pinjaman:

Amortisasi adalah proses pelunasan pinjaman melalui pembayaran cicilan reguler yang mencakup pokok dan bunga.

Contoh:

Anda meminjam Rp $100.000.000$ dengan bunga $10$% per tahun untuk jangka waktu $5$ tahun. Berapa pembayaran cicilan tahunan yang harus Anda bayar?

$PMT = 100.000.000 \times \frac{[0,1(1 + 0,1)^5] }{ [(1 + 0,1)^{5 - 1}]}$

$PMT = 100.000.000 \times 0,2637975$

$PMT = $Rp $26.379.750$ per tahun

Tabel Amortisasi ($2$ tahun pertama):

Memodelkan Investasi

Memodelkan investasi melibatkan perencanaan dan analisis bagaimana uang dapat tumbuh seiring waktu. Ada beberapa skenario umum dalam investasi:

a. Investasi Sekali Seumur Hidup:

Menggunakan rumus bunga majemuk yang telah kita bahas sebelumnya:

$A = P(1 + r)^n$

b. Investasi Berkala (Periodic Investment):

Menggunakan rumus nilai masa depan anuitas:

$FV = PMT \times [\frac{((1 + r)^{n - 1}) }{ r}]$

c. Menghitung Tingkat Pengembalian:

Tingkat Pengembalian = $(\frac{Nilai Akhir }{ Nilai Awal})^{(\frac{1}{n}) - 1}$

Contoh:

Anda ingin menginvestasikan Rp $5.000.000$ per tahun selama $20$ tahun dengan perkiraan return $8$% per tahun. Berapa nilai investasi Anda di akhir periode?

$FV = 5.000.000 \times [\frac{((1 + 0,08)^20 - 1) }{ 0,08}]$

$FV = 5.000.000 \times 45,762$

$FV = $Rp $228.810.000$

Analisis Sensitivitas:

Mari kita lihat bagaimana hasil investasi berubah dengan tingkat return yang berbeda:

Dengan return $6$%: Rp $183.928.200$

Dengan return $8$%: Rp $228.810.000$

Dengan return $10$%: Rp $286.375.300$

Ini menunjukkan pentingnya memilih investasi dengan tingkat return yang baik, karena perbedaan kecil dalam persentase dapat menghasilkan perbedaan besar dalam hasil akhir.

Contoh Soal dan Penyelesaian

Soal 1: Pinjaman

Andi meminjam Rp $50.000.000$ dari bank dengan bunga $12$% per tahun untuk jangka waktu $3$ tahun. Berapa cicilan bulanan yang harus dibayar Andi?

Penyelesaian:

$P$ = $50.000.000$

$r$ = $\frac{12% }{ 12}$ = $1$% per bulan

$n$ = $3 \times 12$ = $36$ bulan

$PMT$ = $P \times \frac{[r(1 + r)^n] }{ [(1 + r)^{n - 1}}]$

$PMT$ = $50.000.000 \times [\frac{0,01(1 + 0,01)^36] }{ [(1 + 0,01)^{36 - 1}}]$

$PMT$ = $1.661.902$

Jadi, Andi harus membayar cicilan sebesar Rp $1.661.902$ per bulan.

Soal 2: Investasi

Budi ingin memiliki dana pensiun sebesar Rp $1.000.000.000$ dalam $25$ tahun. Jika ia berinvestasi dengan return rata-rata $9$% per tahun, berapa uang yang harus ia investasikan setiap tahun?

Penyelesaian:

$FV$ = $1.000.000.000$

$r$ = $9$% = $0,09$

$n$ = $25$ tahun

Kita gunakan rumus nilai masa depan anuitas dan selesaikan untuk $PMT$:

$FV$ = $PMT \times [\frac{((1 + r)^{n - 1}) }{ r}]$

$1.000.000.000$ = $PMT \times [\frac{((1 + 0,09)^{25 - 1}) }{ 0,09}]$

$1.000.000.000$ = $PMT \times 78,954$

$PMT$ = $\frac{1.000.000.000 }{ 78,954}$

$PMT$ = $12.665.581$

Jadi, Budi harus menginvestasikan sekitar Rp $12.665.581$ per tahun.

Soal 3: Bunga Majemuk

Sebuah perusahaan memiliki investasi awal Rp $100.000.000$. Jika investasi ini tumbuh dengan tingkat $7$% per tahun, berapa nilainya setelah $10$ tahun?

Penyelesaian:

$P$ = $100.000.000$

$r$ = $7$% = $0,07$

$n$ = $10$ tahun

$A$ = $P(1 + r)^n$

$A$ = $100.000.000 \times (1 + 0,07)^{10}$

$A$ = $100.000.000 \times 1,967151$

$A$ = $196.715.100$

Jadi, nilai investasi setelah $10$ tahun adalah Rp $196.715.100$.

Kembali Ke Kelas Online

11 ATPH

11 DTB

Selamat Belajar