Jarak titik ke bidang Dimensi Tiga

Konsep Jarak Titik ke Bidang 

Mari Mengamati 

Tiang penyangga dibuat untuk menyangga atap suatu gedung.Tiang penyangga ini menghubungkan suatu titik pada salah satu sisi gedung dan suatu titik pada bidang atap seperti ditunjukkan pada Gambar 1.

Gambar 1. Tiang Penyangga Atap bangunan

Sumber: https://idea.grid.id/read/09691558/batualam-mencerahkan-tampilan-fasad

Apabila dibuat gambar tampak samping diperoleh seperti pada Gambar 2.  Dari Gambar 2, cermati gambar kayu penyangga dan atap. Dapatkah Anda menentukan kondisi atau syarat agar panjang kayu penyangga seminimal mungkin?

Gambar 2. Tampak Samping Tiang Penyangga Atap Bangunan 

Ayo Mengamati 

Perhatikan gambar di samping. Titik P terletak di luar bidang $\alpha$. Jarak titik P ke bidang $\alpha$ merupakan panjang ruas  garis tegak lurus yang menghubungkan titik P ke titik tembus pada bidang $\alpha$. Panjang ruas garis PQ = jarak titik P ke bidang $\alpha$. 

Langkah-langkah menentukan jarak titik P ke bidang $\alpha$ sebagai berikut:

1. Dari titik P, tarik garis m yang tegak lurus terhadap bidang $\alpha$ . Ingat garis m tegak lurus bidang $\alpha$ apabila garis m sedikitnya tegak lurus terhadap dua garis yang berpotongan pada bidang $\alpha$. 

2. Tentukan titik tembus garis m terhadap bidang $\alpha$ . Misalkan titik tembus ini adalah titik Q, jarak titik P ke bidang $\alpha$  adalah panjang ruas garis PQ. 

Pengertian Jarak Titik ke Bidang

Contoh 1.

Diketahui kubus ABCD.EFGH. 

Manakah yang merupakan jarak antara titik dan bidang berikut.

a. titik B ke bidang DCGH? 

b. titik F ke bidang ADHE?

c. titik D ke bidang EFGH?

d. titik A ke bidang BDHF?  

Jawab: 

a. Jarak titik B ke bidang DCGH adalah panjang ruas garis BC, karena ruas garis BC tegak lurus bidang DCGH. 

b. Jarak titik F ke bidang ADHE adalah panjang ruas garis FE, karena ruas garis FE tegak lurus bidang ADHE. 

c. Jarak titik D dengan bidang EFGH adalah panjang ruas garis DH, karena ruas garus DH tegak lurus bidang CDHG. 

d. Jarak titik A dengan bidang BDHF adalah panjang ruas garis AO, karena ruas garis AO tegak lurus bidang BDHF. 

Contoh 2.

Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan  panjang rusuk 6 cm. Titik A, F, G, dan D dihubungkan sehingga terbentuk bidang AFGD seperti gambar di bawah. 

Berapakah jarak titik B ke bidang AFGD? 

Jawab:

Untuk menentukan jarak titik B ke bidang AFGD dapat ditentukan dengan mencari panjang ruas garis yang tegak lurus dengan bidang AFGD dan melalui titik B. 

Ruas garis BT tegak lurus dengan bidang AFGD, sehingga jarak titik B ke bidang AFGD adalah panjang ruas garis BT. 

Titik T adalah titik tengah diagonal AF, karena diagonal AF dan BE pada kubus berpotongan tegak lurus, dan perpotongannya di titik T. 

Panjang diagonal AF = $6\sqrt{2}$ , sehingga panjang AT = $\frac{1}{2}$AF =$\frac{1}{2} (6\sqrt{2})$ = $3\sqrt{2}$.

Karena BT tegak lurus bidang AFGD, maka segitiga ATB adalah segitiga siku-siku di T. Dengan Teorema  Pythagoras diperoleh

$TB^2$	=$AB^2-AT^2$
	=$6^2-(3\sqrt{2})^2$
	=$36-18$
$AC$	=$\sqrt{18}$=$\sqrt{9\times2}$=$3\sqrt{2}$

Jadi, jarak titik B ke bidang AFGD adalah $3\sqrt{2}$  cm. 

Contoh 3. 

Diberikan limas T.ABCD dengan alas persegi. Titik O adalah perpotongan diagonal AC dan BD. Jika AB = BC = CD = AD = $6$ cm, TA = TB = TC = TD = $3\sqrt{6}$ cm dan tinggi limas TO = $6$ cm, berapakah jarak antara titik O dengan bidang TBC?

Jawab:

Untuk menentukan jarak titik O ke bidang TBC, dibuat ruas garis OP dengan OP sejajar AB. 

OP =$\frac{1}{2}$AB =$\frac{1}{2}$(6) = $3$ cm  dan TO = $6$ cm

Misal titik R terletak pada bidang TBC, titik R  terletak pada TP dan TP terletak pada bidang TBC dan OR tegak lurus TP. 

Perhatikan segitiga TOP siku-siku di O, sehingga dengan Teorema Pythagoras diperoleh 

$TP^2=TO^2+OP^2= 36 + 9 = 45$

$TP  = \sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} =  3\sqrt{5}$ 

Jarak titik O ke bidang TBC adalah panjang ruas garis OR. Panjang ruas garis OR dapat dihitung dengan menggunakan Luas $\Delta$ POT dari dua sudut pandang, yaitu 

Luas $\Delta POT=\frac{1}{2}\times OP\times TO=\frac{1}{2}\times OR\times TP$

Sehingga diperoleh 

$OP \times TO$	=$OR \times TP$
$OR$	=$\frac{OP \times TO}{TP}$
	=$\frac{3 \times 6}{3\sqrt{5}}$
$OR$	=$\frac{6}{\sqrt{5}}$=$\frac{6}{5}\sqrt{5}$

Jadi, jarak titik O ke bidang TBC adalah $\frac{6}{5}\sqrt{5}$ cm.

Contoh 4.

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 9 cm. Buat ilustrasi kubus dan  langkah menentukan jarak titik F ke bidang BEG. Kemudian hitunglah jarak titik F ke bidang BEG. 

Jawab:

Langkah menentukan jarak titik F ke bidang BEG.

a. Hubungkan titik F dengan titik H, diperoleh perpotongan ruas garis HF dengan  BEG. Misal perpotongan tersebut titik O.

b. Hubungkan titik O dengan titik B. Karena titik O dan titik B terletak pada bidang  BEG, ruas garis OB terletak pada bidang BEG.

c. Misal P adalah proyeksi titik F pada bidang BEG. Jarak titik F ke bidang BEG adalah  panjang ruas garis FP.

FH adalah diagonal bidang, sehingga panjang FH = $9\sqrt{2}$ cm.

Panjang OF =$\frac{1}{2}$FH =$\frac{9}{2}\sqrt{2}$ cm.

Segitiga BOF siku-siku di F, sehingga dengan Teorema Pythagoras diperoleh 

$BO^2$	=$BF^2+OF^2$
	=$9^2+(\frac{9}{2}\sqrt{2})^2$
	=$81+\frac{81}{2}$=$\frac{243}{2}$
$BO$	=$\sqrt{\frac{243}{2}}$=$\sqrt{\frac{81\times3}{2}}$ =$9\sqrt{\frac{3}{2}}$=$\frac{9}{2}\sqrt{6}$

Panjang ruas garis FP dapat dihitung dengan menggunakan Luas $\Delta$ BOF dari dua sudut pandang, yaitu 

Luas $\Delta BOF=\frac{1}{2}\times OF\times BF=\frac{1}{2}\times OB\times FP$

Sehingga diperoleh

$OF\times BF$	=$OB\times FP$
$FP$	=$\frac{OF\times BF}{OB}$
	=$\frac{\frac{9}{2}\sqrt{2} \times 9}{\frac{9}{2}\sqrt{6}}$
$FP$	=$\frac{9\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$=$\frac{9}{\sqrt{3}}$=$3\sqrt{3}$

Jadi, jarak titik F ke bidang BEG adalah $3\sqrt{3}$ cm.

LATIHAN

1. Diketahui kubus ABCD.EFGH yang panjang rusuknya $8$ cm. Titik Q adalah titik  tengah rusuk BF. Tentukan jarak titik H ke bidang ACQ.

2. Suatu kepanitiaan membuat papan nama dari kertas yang membentuk bangun seperti berikut. 

Ternyata ABE membentuk segitiga sama sisi, panjang BF = $13$ cm dan BC = $12$ cm. Tentukan jarak antara titik A dan bidang BCFE!

 

3. Dari gambar di bawah, jika diketahui panjang AB = $8$ cm, BC = $6$ cm, dan EC = $5\sqrt{5}$ cm, tentukan jarak antara titik B dan bidang ACE. 

4. Diketahui limas segitiga beraturan T.ABC. Panjang AB = $6$ cm dan TA = $8$ cm. Tentukan jarak antara titik T dengan bidang ABC.

5. Diketahui luas permukaan kubus ABCD.EFGH adalah $294$ cm

. Tentukan:

a.  Jarak antara titik F ke bidang ADHE.

b.  Jarak antara titik B ke bidang ACH. 

6. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk $a$ cm. P dan Q masing-masing merupakan titik tengah AB dan CD, sedangkan R merupakan titik potong EG dan FH. Tentukan jarak titik R ke bidang EPQH. 

7. Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan AB = $8$ cm dan TA = $12$ cm. Hitung jarak titik T ke bidang ABCD. 

8. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 12 cm. Hitung jarak titik G ke bidang BDE. 

Pembahasan Latihan

Kembali Kelas Online

Kelas 12 ATPH

Kelas 12 DTB

sumber : @2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN