Permutasi
Misalkan pada suatu lomba cerdas cermat yang diikuti oleh $3$ regu (regu $A$, regu $B$, dan regu $C$) hanya menyediakan $2$ macam hadiah saja yakni hadiah $I$ dan hadiah $II$. Ada berapa kemungkinan pasangan pemenang hadiah-hadiah itu?
Berdasarkan masalah di atas ternyata diperoleh bahwa terdapat $6$ pasangan yang mungkin menjadi pemenang tebak tepat, yaitu $(A, B)$, $(A,C)$, $(B, A)$, $(B,C)$, $(C, A)$, dan $(C, B)$. Perhatikan bahwa $(A, B)$≠$(B, A)$, $(B, C)≠(C, B)$, dan seterusnya. (Mengapa?) Apa arti $(A, B)$ dan $(B, A)$?
Untuk menjawab pertanyaan di atas ternyata urutan diperhatikan. Oleh karena itu, susunan yang demikian ini dinamakan dengan permutasi. Sekarang coba cari hubungan yang dapat diperoleh dari informasi pada masalah di atas bagaimana dapat menghasilkan $6$ pasangan yang mungkin jadi pemenang.
Pengertian
“Diberikan sebanyak $n$ unsur berbeda. Sebuah permutasi $k$ unsur dari $n$ unsur berbeda adalah sebuah jajaran dari $k$ unsur yang urutannya diperhatikan.”
Perhatikan huruf-huruf $A$, $B$, $C$, dan $D$.
• $BDCA$, $DCBA$, dan $ACDB$ merupakan contoh permutasi-permutasi dari $4$ huruf.
• $BAD$, $ADB$, dan $BCA$ merupakan contoh permutasi-permutasi $3$ huruf dari $4$ huruf yang diketahui.
• $AD$, $CB$, $DA$, dan $BD$ merupakan contoh permutasi-permutasi $2$ huruf dari $4$ huruf yang diketahui.
Coba tentukan permutasi $4$ huruf, $3$ huruf, dan $2$ huruf lainnya dari huruf $A, B, C, D$.
1. Permutasi dengan Semua Unsur Berbeda
Banyaknya permutasi $r$ unsur dari $n$ yang berbeda diberi notasi $P(n, r)$.
Teorema 1
Jika n dan r adalah dua bilangan bulat positif dan $r \leq n$, maka banyaknya permutasi $r$ unsur dari $n$ unsur berbeda tanpa pengulangan, diberi notasi $P(n, r)$ adalah:
$𝑃(𝑛, 𝑟)=\frac{𝑛!}{(𝑛−𝑟)!}$
Banyaknya permutasi $n$ unsur dari $n$ unsur berbeda
adalah $P(n, n) = n!$
Contoh 1.
Tentukan banyaknya susunan $4$ huruf berbeda yang dapat diperoleh dari kata MENTARI.
Jawab:
Kata MENTARI terdiri atas $7$ huruf yang berbeda.
Banyaknya susunan $4$ huruf berbeda yang dapat diperoleh dari $7$ huruf berbeda tersebut merupakan permutasi $r = 4$ dari $n = 7$ huruf atau $P(7, 4)$.
Jadi banyaknya susunan huruf yang dapat dibuat adalah
$𝑃(𝑛, 𝑟) =\frac{𝑛!}{(𝑛−𝑟)!}$
$𝑃(7, 4) =\frac{7!}{(7 − 4)!}$
$=\frac{7 × 6 × 5 × 4 × 3!}{3!}$
$= 7 × 6 × 5 × 4 = 840$
Jadi, banyak susunan $4$ huruf berbeda dari kata MENTARI adalah $840$.
Contoh 2.
Dalam berapa cara, $6$ buku pelajaran berbeda dapat disusun pada sebuah rak buku?
Jawab:
Banyaknya cara menyusun keenam buku pelajaran yang berbeda merupakan permutasi $6$ unsur dari $6$ unsur atau $P(6, 6)$.
Dengan rumus $P(n, n) = n!$ , diperoleh $P(6, 6) = 6!$
$= 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 $
$= 720$
Jadi, banyaknya cara menyusun $6$ buku pelajaran yang berbeda pada rak buku adalah $720$ cara.
Permutasi dengan Pembatasan (Semua Unsur Berbeda)
Kadang-kadang kita menemukan pembatasan dalam pemilihan penyusunan unsur- unsur tertentu. Untuk masalah seperti ini, terlebih dahulu kita selesaikan pembatasannya, kemudian baru kita gunakan kaidah pencacahan.
Contoh 3.
Diketahui $5$ mobil berbeda dan $4$ motor berbeda yang sedang diparkir berbaris. Berapa banyak carakah barisan kendaraan ini dapat dibentuk dengan urutan kendaraan yang berbeda?
Tentukan juga banyak cara barisan berbeda dapat dibentuk jika :
a. dua motor harus ada di depan
b. satu mobil di depan dan satu motor di belakang.
c. mobil harus berkelompok
d. tidak boleh dua mobil berdekatan
Penyelesaian :
Jika mobil dan motor tidak dibedakan, maka terdapat $9$ unsur berbeda (dari $5$ mobil dan $4$ motor). Jadi, Banyak cara membentuk barisan kendaraan dengan urutan yang berbeda adalah permutasi $9$ unsur dari $9$ unsur atau $P(9, 9)$.
$P(9, 9) = 9!$
$= 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$
$= 362.880$ cara.
Berikutnya kita akan menentukan permutasi dari susunan mobil dan motor dengan
beberapa pembatasan. Misalkan $MT = motor$ dan $MB = mobil$.
a. Dua motor harus ada di depan
Dua kotak (tempat) pertama diisi dengan $2$ motor yang dipilih dari $4$ motor yang tersedia.
Banyak cara memilih $2$ motor dari $4$ motor tersebut adalah $P(4, 2)$.
$𝑃(4, 2) =\frac{4!}{(4 − 2)!}$
$=\frac{4!}{2!}$
$=\frac{4 \times 3 \times 2!}{2!}$
$= 4 \times 3 = 12$
Sisa $7$ kotak (tempat) lainnya, dapat diisi dengan $7$ kendaraan yang tersisa. Ini adalah $P(7, 7)$ = $7!$
Dengan aturan perkalian, maka banyak cara dua motor harus ada di depan adalah
$12 \times 7! = 12 \times 5.040 = 60.480$
Jadi, banyak cara barisan berbeda dapat dibentuk jika dua motor harus ada di depan adalah $60.480$ cara.
b. Satu mobil di depan dan satu motor di belakang
• Kotak pertama harus diisi mobil, dapat diisi dengan mobil mana saja dari $5$ mobil yang ada, jadi kotak pertama dapat diisi dengan $5$ cara.
• Kotak terakhir harus diisi motor, dapat diisi dengan motor mana saja dari $4$ motor yang ada, berarti kotak terakhir dapat diisi dengan $4$ cara.
• Sisa $7$ kotak yang dapat diisi dengan $7$ kendaraan yang tersisa, berarti $P(7, 7) =7!$.
Dengan aturan perkalian, maka banyaknya cara menyusun agar satu mobil di depan dan satu motor di belakang adalah
$5 \times 7! \times 4 = 20 \times 5.040 = 100.800 $
Jadi, banyak cara barisan berbeda dapat dibentuk jika satu mobil di depan dan satu motor di belakang adalah $60.480$ cara.
c. Mobil harus berkelompok
• Agar mobil ($5$ mobil) berkelompok, maka kita memblok dan menganggapnya sebagai satu unsur. Dalam blok ini, kelima mobil dapat dipertukarkan dalam $P(5, 5) = 5!$ cara.
• Kemudian blok mobil ini beserta 4 motor membentuk 5 unsur yang juga dapat dipertukarkan dalam $P(5, 5) = 5!$ cara.
Dengan menggunakan aturan perkalian, banyaknya cara menyusun agar mobil berkelompok adalah
$5! \times 5! = 120 \times 120 =14.400$.
Jadi, banyak cara barisan berbeda dapat dibentuk mobil harus berkempok adalah $14.400$ cara.
d. Tidak boleh dua mobil berdekatan
Supaya mobil tidak berdekatan, maka posisi mobil dan motor haruslah berselangseling seperti
ilustrasi berikut.
• Kelima posisi mobil dapat dipertukarkan dalam $P(5, 5) = 5!$ cara.
• Keempat posisi motor dapat dipertukarkan dalam $P(4, 4) = 4!$ cara.
Dengan menggunakan aturan perkalian, banyaknya cara menyusun agar tidak boleh
dua mobil berdekatan adalah $5! \times 4! = 120 \times 24 = 2.880$
2. Permutasi dengan Beberapa Unsur yang Sama
Teorema 2
Banyaknya permutasi dari n unsur yang terdiri dari $m_1$ unsur jenis pertama sama, $m_2$ unsur jenis kedua sama, $m_3$ unsur jenis ketiga sama, $…$, dan $m_k$ unsur jenis ke–$k$ sama ditentukan dengan
$𝑃 = \frac{n!}{𝑚_1! \times m_2!\times m_3! \times 𝑚_3! \times ... \times 𝑚_k!}$
dimana $𝑚_1! + m_2!+ m_3! + 𝑚_3! + ... + 𝑚_k!=n$
Contoh 4.
Berapa banyak permutasi dari huruf-huruf pada kata MATEMATIKA ?
Jawab:
Banyak huruf pada kata MATEMATIKA ada $10$ buah. Terdapat unsur yang sama, yaitu:
• huruf $M$ ada $2$ buah,
• huruf $A$ ada $3$ buah,
• huruf $T$ ada $2$ buah.
• huruf $E$, $I$, dan $K$ masing-masing $1$ buah.
Maka banyaknya permutasi dari huruf-huruf tersebut adalah
$P =\frac{10!}{2! \times 3! \times 2! \times 1! \times 1! \times 1!}$
$=\frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3!}{2 \times 3! \times 2 \times1 \times 1 \times 1}$
$= 151.200$.
3. Permutasi Siklik
Perhatikan bahwa permutasi yang kita bicarakan di atas adalah permutasi yang objek objeknya dijajar atau disusun pada satu garis. Permutasi demikian ini dinamakan permutasi linear. Namun, jika objek-objek tersebut dijajar/disusun melingkar (pada suatu lingkaran) dan arah melingkarnya diperhatikan, misalnya searah putaran jarum jam, maka permutasi yang demikian dinamakan permutasi siklik.
Coba kalian perhatikan gambar berikut.
Tiga objek $A$, $B$, dan $C$ di atas disusun secara melingkar. Walaupun nampak berbeda, namun jika dilihat dari urutan (searah jarum jam misalnya) maka ketiga susunan ini adalah sama.
Jadi, dari tiga buah permutasi linear $ABC$, $BCA$, dan $CAB$ diperoleh hanya satu permutasi siklik $(ABC)$. Demikian juga untuk tiga permutasi linear $ACB$, $CBA$, dan $BAC$ diperoleh hanya satu permutasi siklik $(ACB)$. Dengan demikian terdapat dua permutasi-$3$ siklik dari tiga objek $A$, $B$, dan $C$, yaitu $(ABC)$ dan $(ACB)$.
Selanjutnya secara umum, jika pengulangan tidak diperkenankan, hubungan antara banyaknya permutasi siklik dan banyaknya permutasi linear dinyatakan dalam teorema berikut.
Definisi Permutasi Siklik
Banyaknya permutasi untuk $n$ unsur berbeda yang diatur dalam sebuah lingkaran disebut permutasi siklik. Permutasi siklik dari $n$ unsur $(n > 1)$ ditentukan oleh rumus:
$P_s(n) = (n – 1)!$
Contoh 5.
$6$ orang manager perusahaan duduk mengelilingi sebuah meja berbentuk melingkar untuk mengadakan rapat. Berapa banyak cara mereka dapat duduk mengelilingi meja rapat tersebut dengan urutan yang berbeda?
Jawab:
Banyaknya cara agar $6$ orang manager dapat duduk mengelilingi meja rapat sama dengan permutasi melingkar dari $6$ unsur, yaitu
$Ps (6) = (6 – 1)! = 5!= 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$
Jadi, banyak cara $6$ orang manager perusahaan dapat duduk mengelilingi meja rapat tersebut dengan urutan yang berbeda adalah $120$ cara.
Contoh 6.
Satu keluarga terdiri dari ayah, ibu, dan $4$ orang anaknya. Mereka duduk di meja makan yang bentuknya melingkar. Ada berapa cara anggota keluarga tersebut duduk mengelilingi meja jika ayah dan ibu selalu duduk berdampingan?
Jawab:
• Syarat khusus, ayah dan ibu selalu duduk berdampingan. Posisinya dapat dipertukarkan sebanyak $2! = 2$ cara.
• Ayah dan ibu selalu duduk berdampingan, sehingga posisi ini diblok dan dianggap $1$ unsur. Blok (ayah dan ibu) dan $4$ orang anaknya menjadi $5$ unsur yang duduk melingkar, sehingga dengan permutasi siklik diperoleh:
$Ps(5) = (5 – 1)! = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$
Dengan Aturan perkalian diperoleh banyak cara anggota keluarga duduk mengelilingi meja jika ayah dan ibu selalu duduk berdampingan adalah $2 \times 24 = 48$ cara.
Latihan Soal
1. Seorang kandidat presiden hanya dapat mengunjungi enam provinsi dari sepuluh provinsi yang ingin dikunjunginya. Berapa banyak cara dengan urutan berbeda, ia dapat mengunjungi provinsi-provinsi itu?
2. Bilangan terdiri dari $4$ angka disusun dari angka-angka $1, 2, 3, 5, 6$, dan $7$. Hitung banyak susunan bilangan dengan angka-angka yang berlainan (angka-angkanya tidak boleh berulang).
3. Pada suatu pameran karya seni, lukisan-lukisan ditempatkan pada satu baris. Dengan berapa cara penempatan lukisan dapat dilakukan jika ada $10$ lukisan yang dipamerkan?
4. Terdapat $4$ buku matematika, $3$ buku fisika, dan $5$ buku kimia yang berbeda akan disusun ke dalam rak yang dapat memuat semua buku. Berapa susunan yang mungkin jika:
a. buku yang sejenis saling berdampingan
b. buku-buku fisika saja yang saling berdampingan
5. Berapa banyak permutasi dari huruf-huruf pada kata STATISTIKA?
6. Pada suatu ruas jalan dipasang lampu hias yang terdiri dari $3$ bohlam kuning, $6$ bohlam merah, dan $4$ bohlam hijau. Tentukan banyaknya cara memasang lampu hias tersebut jika bohlam berwarna sama tidak dapat dibedakan?
7. Tujuh orang duduk mengelilingi meja bundar. Berapa banyaknya susunan duduk yang berbeda dari ketujuh orang itu?
8. Dengan berapa cara $5$ anak laki-laki dan $3$ anak perempuan dapat disusun pada suatu lingkaran jika anak perempuan selalu berdekatan (berkumpul)?
Sumber : @2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN
Selamat Belajar
