Aturan Perkalian dan Penjumlahan
1. Aturan Perkalian
Sebelum kita membahas prinsip dasar aturan perkalian, perhatikan dua masalah berikut!
Masalah 1.1. Melambungkan Sekeping Uang Logam dan Sebuah Dadu
Di SMP, kalian telah mempelajari tentang ruang sampel.
sumber : https://www.istockphoto.com/
Banyak anggota ruang sampel dari sekeping mata uang logam ada $2$, yaitu Angka dan Gambar atau bisa ditulis dengan $S_1 = {A, G}$.
sumber : https://www.shutterstock.com/
Banyak anggota ruang sampel dari sebuah dadu ada $6$, yaitu mata dadu $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, dan $6$ atau bisa ditulis dengan $S_2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$
a. Ambillah sekeping mata uang logam dan sebuah dadu, kemudian lambungkan keduanya bersama-sama.
b. Catatlah hasil-hasil yang mungkin berupa pasangan berurutan. Misalnya, jika setelah melambungkan uang logam dan dadu tersebut diperoleh sisi gambar pada uang dan angka $1$ pada dadu, maka ditulis dalam pasangan berurutan $(A, 1)$.
c. Dapatkah kalian menentukan semua hasil yang mungkin berupa pasangan berurutan dari percobaan di atas?
Nah, untuk menjawab pertanyaan ini, kita membuat tabel untuk mencatat semua hasil yang mungkin dari percobaan seperti berikut ini.
Kalau kita mendaftarnya, kita bisa menuliskan semua hasil yang mungkin sebagai anggota himpunan ruang sampel $S$ berikut ini.
$S = {(A, 1), (A, 2), (A, 3), (A, 4), (A, 5), (A, 6), (G, 1), (G, 2), (G, 3), (G, 4), (G, 5), (G, 6)}$
Banyak anggota dari ruang sampel $S$ atau ditulis $n(S) = 12$. Berarti banyak hasil yang mungkin dari pelambungan sekeping mata uang logam dan sebuah dadu adalah $12$.
Coba kita mencari hubungan antara $n(S) = 12$ dengan banyaknya hasil yang mungkin untuk objek mata uang logam yakni $n(S_1)=2$ dan banyaknya hasil yang mungkin untuk objek dadu yakni $n(S_2)=6$.
Kalau kita amati secara seksama ternyata $n(S) = 12 = 2\times6 = n(S_1) \times n(S_2)$.
Atau $n(S)$ merupakan hasil perkalian antara banyak cara munculnya hasil yang mungkin pada sekeping mata uang logam dengan banyak cara munculnya hasil yang mungkin pada sebuah dadu.
Masalah 1.2
Faisal memiliki $4$ baju yang berbeda warna, yaitu coklat motif kotak, hijau, biru, dan abu-abu. Dia juga mempunyai $3$ celana panjang yang warnanya berbeda, yaitu coklat, biru dan hitam seperti pada gambar di bawah ini.
Dapatkah kalian menolong Faisal untuk menentukan banyaknya stelan baju dan celana berbeda yang dapat digunakan Faisal?
Nah, untuk menjawab pertanyaan ini, kalian bisa memulai dengan mendaftar anggota ruang sampel dari himpunan baju dan celana Faisal seperti berikut ini.
• Ruang sampel baju Faisal adalah $B = {coklat kotak, hijau, biru, abu-abu}$ atau ditulis lebih sederhana $B = {ck, hj, b, a}$.
• Ruang sampel celana Faisal adalah $C = {coklat, biru, hitam}$ atau $C = {ck, h}$
Selanjutnya, kalian dapat membuat tabel untuk mencatat semua stelan baju dan celana berbeda seperti berikut ini.
Dari tabel di atas diperoleh banyaknya stelan baju dan celana berbeda yang dapat digunakan Faisal ada $12$.
Jika dihubungkan dengan banyak baju dan celana berbeda yang dimiliki Faisal, maka kita bisa menuliskan $12 = 4 \times 3 = n(B) \times n(C)$.
Atau banyak stelan baju dan celana berbeda yang dapat digunakan Faisal merupakan hasil perkalian antara banyak baju berbeda dengan banyak celana berbeda yang dimiliki Faisal.
Dua masalah di atas memberikan gambaran mengenai cara mencacah yang disebut aturan perkalian.
Secara khusus aturan perkalian berbunyi sebagai berikut.
“Jika kejadian pertama dapat terjadi dalam m cara dan setiap kejadian pertama diikuti oleh kejadian kedua yang terjadi dalam n cara, maka kejadian pertama dan kejadian kedua tersebut secara bersama-sama terjadi dalam $(m × n)$ cara.”
Contoh 1.
Diagram di bawah ini menunjukkan alur atau pilihan jalan untuk bepergian dari kota $A$ ke kota $C$ melalui kota $B$.
Amir berada di kota $A$ dan berencana bepergian ke kota $C$ melalui kota $B$. Berapa banyak jalan berbeda yang dapat dilalui oleh Amir.
Jawab:
Dari kota $A$ ke $B$ ada $5$ jalan berbeda, yaitu jalan $p, q, r, s$, dan $t$.
Dari kota $B$ ke $C$ ada $3$ jalan berbeda, yaitu jalan $k$, $m$, dan $n$.
Berdasarkan aturan perkalian, dari kota $A$ ke $C$ melalui kota $B$ ada $5 \times 3 = 15$ jalan berbeda.
Jadi, banyak jalan yang dapat dilalui Amir dari kota $A$ menuju kota $C$ melalui kota $B$ adalah $15$ jalan berbeda.
Contoh 2.
Pada suatu kelas akan dibentuk sebuah kepengurusan yang terdiri dari satu ketua kelas dan satu sekretaris. Ada berapa kepengurusan yang mungkin terbentuk jika ada $5$ calon ketua kelas dan $6$ calon sekretaris?
Jawab:
Perhitungan banyak kepengurusan kelas sebagai berikut:
Pemilihan ketua kelas = $5$ kemungkinan
Pemilihan sekretaris = $6$ kemungkinan
Sehingga kepengurusan yang mungkin terbentuk sebanyak $5 \times 6 = 30$ kemungkinan.
Untuk beberapa kejadian, aturan perkalian dapat diperluas sebagai berikut.
“Jika ada $k$ kejadian (pilihan) dengan setiap kejadian (pilihan) memiliki hasil $n_1$, $n_2$, $n_3$ , $…$, $n_k$ yang berbeda, maka banyak hasil berbeda yang mungkin dari $k$ kejadian (pilihan) tersebut secara berurutan diberikan oleh hasil kali : $n_1 \times n_2 \times n_3 \times …\times n_k$".
Contoh 3
Dalam ruang tunggu suatu apotik terdapat $4$ kursi. Ahmad, Umar, Ali dan Said sedang berada di ruang tunggu apotik tersebut. Berapa banyak cara yang berbeda keempat anak itu menduduki kursi tersebut ?
Jawab:
Misalkan, $4$ kotak berikut menampilkan $4$ kursi dalam ruang tunggu.
• Kotak (kursi) pertama dapat diisi dengan $4$ pilihan (cara), yaitu oleh siapa saja dari keempat anak.
• Kotak kedua dapat diisi dengan $3$ pilihan (cara), yaitu oleh siapa saja dari ketiga anak yang tersisa.
• Kotak ketiga dapat diisi dengan $2$ pilihan (cara), yaitu oleh siapa saja dari kedua anak yang tersisa.
• Kotak keempat dapat diisi dengan $1$ pilihan (cara), yaitu oleh anak terakhir yang tersisa.
Dengan demikian banyaknya pilihan (cara) menyusun posisi duduk sebagai berikut.
Dengan menggunakan aturan perkalian, maka banyaknya cara yang berbeda keempat anak menduduki kursi tersebut adalah : $4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ cara.
2. Aturan Penjumlahan
Sebelum kita membahas prinsip dasar aturan penjumlahan, perhatikan dua masalah berikut!
Masalah 2.1
Di dalam kotak pensil terdapat $5$ pulpen dan $3$ pensil, berapakah banyaknya cara memilih satu pulpen atau satu pensil?
Nah, masalah ini berbeda dengan masalah yang dibahas pada aturan perkalian, mengapa demikian? Bisakah kalian melihat perbedaannya?.
Pada masalah di aturan perkalian, misalnya pada pelambungan uang logam dan dadu, dua kejadian tersebut terjadi secara bersamaan, yaitu tampilnya satu sisi pada uang logam dan mata dadu.
Pada masalah 2.1 di atas, kejadiannya adalah pilihan antara mengambil satu pulpen atau satu pensil, bukan sekaligus mengambil satu pulpen dan satu pensil. Dengan demikian hal ini berbeda dengan masalah pada aturan perkalian.
Untuk masalah 2.1 dapat kita selesaikan sebagai berikut:
• Kejadian pertama (memilih satu pulpen) dapat terjadi dengan $5$ cara.
• Kejadian kedua (memilih satu pensil) dapat terjadi dengan $3$ cara.
Jadi, banyaknya cara memilih satu pulpen atau satu pensil adalah $5 + 3 = 8$ cara.
Masalah di atas memberikan gambaran mengenai cara mencacah yang disebut aturan penjumlahan.
Secara khusus aturan penjumlahan berbunyi sebagai berikut.
“Jika kejadian pertama dapat terjadi dalam $m$ cara dan kejadian kedua secara terpisah dapat terjadi dalam $n$ cara, maka kejadian pertama atau kejadian kedua dapat terjadi dalam $(m + n)$ cara.”
Contoh 4.
Ardi dan Nugroho di kota yang berbeda ingin menuju ke kota yang sama. Ardi berangkat dari kota $A$ ke kota $C$ dalam $4$ cara, sedangkan Nugroho berangkat dari kota $B$ ke kota $C$ dalam $3$ cara. Dalam berapa cara mereka bertemu di kota $C$?
Jawab:
Permasalahan di atas dapat diselesaikan sebagai berikut.
• Ardi berangkat dari kota $A$ ke kota $C$ dapat memilih $4$ jalan berbeda atau $4$ cara.
• Nugroho berangkat dari kota $B$ ke kota $C$ dapat memilih $3$ jalan berbeda atau $3$ cara.
Aturan penjumlahan dapat diperluas sebagai berikut.
“Jika kejadian pertama dapat terjadi dalam $n_1$ cara, kejadian kedua secara terpisah dapat terjadi dalam $n_2$ cara, kejadian ketiga secara terpisah dapat terjadi dalam $n_3$ cara, dan seterusnya, dan kejadian ke-p secara terpisah dapat terjadi dalam $n_p$ cara, maka kejadian pertama, atau kedua, atau ketiga, ... , atau kejadian ke-p dapat terjadi dalam $(n_1+ n_2 + n_3 + ... + n_p)$ cara.”
Contoh 5.
Di dalam kantong terdapat $10$ kelereng berwarna merah, $7$ kelereng berwarna hijau, $5$ kelereng berwarna kuning, dan $3$ kelereng berwarna biru. Berapakah banyaknya kemungkinan untuk mengambil satu kelereng berwarna merah atau hijau atau kuning atau biru?
Jawab:
Kejadian pertama (mengambil satu kelereng merah) dapat terjadi dengan $10$ cara.
Kejadian kedua (mengambil satu kelereng hijau) dapat terjadi dengan $7$ cara.
Kejadian kedua (mengambil satu kelereng kuning) dapat terjadi dengan $5$ cara.
Kejadian kedua (mengambil satu kelereng biru) dapat terjadi dengan $3$ cara.
Jadi banyaknya cara mengambil satu kelereng warna merah atau hijau atau kuning atau biru adalah $10 + 7 + 5 + 3 = 25$ cara.
3. Definisi dan Notasi Faktorial
Definisi
Untuk suatu $n$ bilangan asli, $n!$ (dibaca n faktorial) didefinisikan sebagai:
$n! = 1 \times 2 \times 3 \times … \times (n – 1) \times n$
Hal yang perlu diketahui:
$0! = 1$ (dari percobaan dan kesepakatan)
$1! = 1$ (dari kesepakatan)
$2! = 1 \times 2 = 2 \times 1! = 2$
$3! = 1 \times 2 \times 3 = 3 \times 2! = 6$
$4! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 4 \times 3! = 24$
Secara umum dapat ditulis:
$n! = n \times (n – 1)! $
Contoh 5.
Hitunglah:
a. $6!$
b. $\frac{5!}{2!}$
c. $4!\times3!$
d. $\frac{8!}{7!+6!}$
Jawab:
a. $6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$
b. $\frac{5!}{2!} = \frac{5\times4\times3\times2\times1}{2×1} =\frac{120}{2} = 60$
c. $4! \times 3! = (4 \times 3 \times 2 \times 1) \times (3 \times 2 \times 1) = 24 \times 6 = 144$
d. $\frac{8!}{7! + 6!} = \frac{8\times7\times6!}{7\times6! + 1\times6!}$ (ubah $8!$ Dan $7!$ ke dalam bentuk $6!$)
$=\frac{8×7×6!}{(7+1)6!}= \frac{8×7}{8} = 7$ (faktorkan penyebut $7\times6! + 1\times6! = (7+1)6!$ )
Contoh 6.
Nyatakan bentuk berikut dalam notasi faktorial
a. $4! (5\times 6)$
b. $8 \times 7 \times 6 \times 5$
c. $k(k – 1)(k – 2)$
Jawab:
a. $4! (5\times 6) = (4 \times 3 \times 2 \times 1) \times (5 \times 6) = 6!$
b. $8 \times 7 \times 6 \times 5 = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times \frac{ 4 \times 3 \times 2 \times 1}{4 \times 3 \times 2 \times 1}=\frac{8!}{4!}$
c. $k(k – 1)(k – 2) = k(k – 1)(k – 2) \frac{(𝑘−3)!}{(𝑘−3)!}=\frac{k!}{(k-3)!}$
Contoh 7.
Sederhanakanlah penjumlahan pecahan $\frac{2}{7!}+\frac{5}{8!}$.
Jawab.
$\frac{2}{7!}+\frac{5}{8!} = \frac{2}{7!}\times \frac{8}{8}+\frac{5}{8!}$ (samakan penyebutnya, caranya $\frac{2}{7!}\times\frac{8}{8}$)
$=\frac{16}{8!}+\frac{5}{8!}=\frac{21}{8!}$ (jumlahkan pembilangnya)
Latihan
1. Akan disusun nomor telepon rumah yang terdiri atas 6 angka, dengan ketentuan angka pertama tidak boleh angka 0. Tentukan banyaknya nomor telepon yang dapat dibuat dari angka-angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, jika :
a. angka-angka boleh berulang
b. tidak boleh ada angka yang diulang
c. hanya angka pertama yang tidak boleh diulang.
2. Dalam suatu kelas akan diadakan pemilihan pengurus kelas yang terdiri dari ketua kelas, sekretaris dan bendahara. Apabila calon ketua kelas ada 6 rang, calon sekretaris ada 4 orang, dan calon bendahara ada 3 orang, ada berapa susunan pengurus kelas yang mungkin terbentuk ?
3. Pada suatu konferensi yang dihadiri oleh 9 negara di Asia, bendera masing-masing negara dipasang berjajar pada halaman gedung. Berapa banyak urutan bendera berbeda yang dapat dipasang dari 9 bendera tersebut ?
4. Guru Matematika memberikan ulangan harian yang terdiri atas 10 pertanyaan pilihan ganda dengan 5 pilihan (mengandung 1 jawaban benar). Budi menjawab semua soal dengan cara menebak karena ia tidak belajar. Berapa banyak carakah Budi dapat menjawab soal ulangan harian tersebut ?
5. Sebuah plat nomor mobil di suatu daerah terdiri dari sebuah huruf, diikuti empat angka, dan diakhiri sebuah huruf, di mana angka 0 tidak boleh menempati posisi pertama.
a. Ada berapakah plat nomor mobil yang dapat dibentuk?
b. Jika disyaratkan tidak boleh ada huruf yang sama dan tidak ada angka yang sama, maka ada berapa plat nomor yang bisa dibuat?
6. Dari 100 siswa yang mengikuti lomba kecerdasan Bahasa Indonesia dan Matematika, 60 siswa lolos seleksi Bahasa Indonesia, 50 siswa lolos seleksi Matematika, dan 30 siswa lolos seleksi kedua bidang studi tersebut. Hitung banyak siswa yang:
a. Hanya lolos matematika
b. Tidak lolos keduanya
7. Dua dadu bermata enam yaitu 1, 2, 3, 4, 5, 6. Hitung:
a. Banyaknya pasangan mata dadu yang berjumlah 10.
b. Banyaknya pasangan mata dadu yang jumlahnya paling sedikit 9.
8. Hitunglah :
a. $\frac{15!}{10!×6!}$
b. $\frac{1}{7!}−\frac{2}{8!}+\frac{3}{9!}$
9. Tentukan nilai $n$ jika $n! = 56(n – 2)!$
10. Buktikan bahwa : $\frac{𝑘!(𝑘−2)!}{(𝑘−1)!(𝑘−3)!}= 𝑘^2-2k$
Sumber : @2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN
