KOMBINASI
1. Kombinasi
Misalkan dari $4$ bersaudara Amir $(A)$, Budi $(B)$, Cahya $(C)$, dan Doni $(D)$ diundang $2$ orang wakilnya untuk rapat keluarga. Ada berapa cara undangan itu dapat dipenuhi?
Bagaimana pula jika yang diundang adalah 3 orang dari 4 bersaudara itu?
Dari permasalahan di atas diperoleh bahwa objek eksperimennya adalah $O = {A, B, C, D}$ sedangkan eksperimennya adalah mengundang hadir dalam rapat keluarga sebanyak $2$ orang wakilnya.
Jika rapat keluarga itu yang diundang $2$ orang, maka apakah arti dari $(A, B)$ dan $(B, A)$?
Apakah $(A, B) = (B, A)$?
Demikian juga, jika rapat keluarga itu yang diundang $3$ orang, maka apakah arti dari $(C, A, D)$ dan $(A, C, D)$?
Apakah $(C, A, D) = (A, C, D)$?
Nah, ternyata untuk permasalahan di atas, $(A, B) = (B, A)$, karena jika yang hadir Amir dan Budi, tentunya sama saja jika yang hadir Budi dan Amir. Demikian juga $(C, A, D) = (A, C, D)$.
Untuk menjawab pertanyaan di atas ternyata urutan tidak diperhatikan. Susunan yang demikian ini dinamakan dengan kombinasi. Sekarang coba cari hubungan yang dapat diperoleh dari informasi pada masalah di atas, jika rapat keluarga itu yang diundang $2$ orang, maka banyaknya pasangan anggota keluarga yang mungkin ikut rapat ada $6$.
Pengertian
“Diberikan sebanyak $n$ unsur berbeda. Sebuah kombinasi $k$ unsur dari $n$ unsur berbeda adalah sebuah jajaran dari $k$ unsur yang urutannya tidak diperhatikan.”
Untuk lebih memahami pengertian ini, perhatikan huruf-huruf $A, B, C,$ dan $D$.
a. $ABC$, $ABD$, $ACD$, dan $BCD$ merupakan kombinasi $3$ huruf dari $4$ huruf yang diketahui tanpa pengulangan.
b. $AAB$, $ABB$, $ACC$, dan $BDD$ merupakan kombinasi-$3$ huruf dari $4$ huruf yang diketahui dengan pengulangan. (Coba cari kombinasi lainnya selain $4$ kombinasi tersebut!)
c. $AD$, $CB$, $AB$, dan $BD$ merupakan kombinasi-kombinasi-$2$ huruf dari $4$ huruf yang diketahui. (Coba cari kombinasi lainnya selain $4$ kombinasi tersebut!)
Teorema
Misalkan $n$ dan $k$ bilangan bulat non negatif dengan $k \leq n$. Banyaknya kombinasi $k$ unsur dari $n$ unsur berbeda tanpa pengulangan ditentukan dengan rumus:
$𝐶(𝑛, 𝑘)= (\frac{𝑛}{𝑘}) = \frac{𝑛!}{𝑘!(𝑛−𝑘)!}$
Contoh 1.
Dalam suatu ujian, setiap siswa diharuskan menjawab $4$ soal dari $7$ soal yang disediakan. Jika seorang siswa memilih secara acak soal yang akan dikerjakannya, berapa banyak cara atau pilihan untuk mengerjakan soal ujian tersebut ?
Jawab:
Dalam kasus di atas, urutan nomor-nomor soal diabaikan. Sehingga banyaknya cara untuk menngerjakan $4$ soal dari $7$ soal ujian adalah kombinasi $4$ soal dari $7$ soal, sehingga diperoleh:
$𝐶(7, 4) =\frac{7!}{4! (7 − 4)!}$
$=\frac{7!}{4! .3!}$
$=\frac{7 \times 6 \times 5 \times 4!}{4! .3 \times 2 \times 1}$
$= 35 $
Jadi, banyak cara untuk mengerjakan soal ujian tersebut adalah $35$ cara.
Contoh 2.
Sebuah kontingen Olimpiade Matematika yang terdiri atas $5$ siswa akan dipilih dari $6$ siswa putra dan $4$ siswa putri. Tentukan banyak cara kontingen ini dapat dibentuk jika:
a. tidak ada pembatasan (tidak dibedakan antara putra dan putri)
b. kontingen memiliki tepat $2$ siswa putra
c. kontingen memiliki paling sedikit $1$ siswa putri
Jawab :
Masalah ini termasuk masalah kombinasi, karena urutan pemilihan siswa tidak diperhatikan (tidak dipentingkan).
a. tidak ada pembatasan
Jumlah siswa tanpa membedakan putra dan putri adalah $6 + 4 = 10$. dari $10$ siswa tersebut akan dipilih $5$ siswa, sehingga banyak cara membentuk kontingen adalah
$𝐶(10, 5) =\frac{10!}{5!(10−5)!}$
$= \frac{10!}{5!.5!}
$=\frac{10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5!}{5! .5 × 4 × 3 × 2 × 1}$
$= 252$ cara
b. kontingen memiliki tepat $2$ siswa putra
$2$ siswa putra dapat dipilih dari $6$ siswa putra, dengan banyaknya cara memilihnya adalah $C(6, 2)$.
Kontingen terdiri dari $5$ siswa, berarti masih tersedia $3$ tempat yang harus diisi oleh siswa putri. Banyaknya cara memilih $3$ siswa putri dari $4$ siswa putri adalah $C(4, 3)$.
Dengan aturan perkalian, banyaknya cara membentuk kontingen yang memiliki tepat $2$ siswa putra adalah
$𝐶(6, 2) \times 𝐶(4, 3) = \frac{6!}{2! (6 − 2)!}\times \frac{4!}{3! (4 − 3)!}$
$=\frac{6!}{2!.4!}\times \frac{4!}{3!.1!}$
$=\frac{6\times5\times4!}{2\times 1 . 4!}\times \frac{4\times3!}{3!.1}$
$=15 \times 4 = 60$ cara.
c. kontingen memiliki paling sedikit $1$ siswa putri
Banyaknya cara membentuk kontingen yang terdiri atas $5$ siswa dengan semuanya putra adalah $C(6, 5)$
$𝐶(6, 5) = \frac{6!}{5!(6−5)!}$
$=\frac{6 \times 5!}{5! .1}$
$= $6$ cara.
Banyaknya cara membentuk kontingen adalah $C(10, 5)$.
Jadi, banyaknya cara membentuk kontingen yang memiliki paling sedikit $1$ siswa putri adalah
$C(10, 5) − C(6, 5) = 252 – 6 = 246$ cara
2. Ekspansi Binomial
Penjabaran Binomial Newton berbentuk $(a + b)$, koefisien variabelnya dapat bersandarkan pada Segitiga Pascal atau konsep kombinasi.
Teorema Binomial
atau dijabarkan:
Contoh 3.
Tentukan ekspansi dari $(2x + y^2)^5$.
Jawab:
$(2x + y^2)^5= C(5, 0)(2x)^5 + C(5, 1)(2x)^4(y^2)^1 + C(5, 2)(2x)^3(y^2)^2 + C(5, 3)(2x) + C(5, 4)(2x)^1(y^2)^4 + C(5, 5)(y^2)^5$
$= 1(32x^5) + 5(16x^4)(y^2) + 10(8x^3)(y^4) + 10(4x^2)(y^6) + 5(2x)(y^8)+1(y^{10})$
$= 32x^5 + 80x^4 y^2 + 80x^3 y^4 + 40x^2 y^6 + 10x y^8 + y^{10}$
Contoh 4.
Tentukan suku ketujuh dari ekspansi $(4x – y^3)^9$.
Jawab:
Bentuk umum ekspansi binomial $(a + b)^n$ terlebih dahulu diidentikkan dengan ekspansi binomial yang diketahui di soal untuk menentukan nilai-nilai $a$, $b$, dan $n$.
$(a + b)^n \equiv (4x – y^3)^9$ , diperoleh $a = 4x$, $b = − y$ dan $n = 9$
Ditanyakan suku ketujuh, berarti $r = 7 – 1 = 6$,
Jadi, suku ketujuh :
$𝐶(𝑛, 𝑟) 𝑎^{𝑛−𝑟} 𝑏^𝑟 = 𝐶(9, 6) (4𝑥)^{9-6}(-y^3)^6$
$=\frac{9!}{6!.3!} (4𝑥)^3(-y^3)^6$
$= 84. (64𝑥^3 (𝑦^{18})$
$=5.376.𝑥^3 𝑦^{18}$
Latihan Soal
1. Berapa banyak segitiga yang berbeda yang dapat dibentuk dengan menghubungkan diagonal-diagonal segi-$10$?
2. Seorang siswa diminta mengerjakan $7$ soal dari $10$ soal yang tersedia, dengan syarat nomor $1$ sampai dengan nomor $5$ harus dikerjakan. Berapa banyak pilihan yang dapat diambil oleh siswa tersebut?
3. Suatu tim bulu tangkis beranggotakan $5$ pemain putra dan $3$ pemain putri.
Tentukanlah banyaknya tim:
a. ganda putra yang dapat disusun.
b. ganda campuran yang dapat disusun.
4. Pengurus inti kelas yang terdiri dari $4$ siswa putra dan $3$ siswa putri akan dipilih dari $7$ siswa putra dan $5$ siswa putri. Berapa banyak pilihan berbeda untuk membentuk pengurus inti kelas tersebut?
5. Sebuah kotak berisi $5$ bola merah, $4$ bola putih, dan $3$ bola biru. Tiga bola diambil dari kotak tersebut.
a. berapa banyak cara terambil $3$ bola berwarna sama?
b. berapa banyak cara terambil $1$ bola putih dan $2$ bola merah ?
6. Seorang ahli kimia memiliki $9$ contoh larutan. Terdapat $4$ jenis larutan $A$ dan $5$ jenis larutan $B$. Jika ahli kimia tersebut memilih tiga larutan secara acak, berapa cara ahli kimia tersebut akan mengambil lebih dari satu jenis larutan $A$?
7. Tentukan ekspansi dari $(2x – y^2)^6$.
8. Tentukan suku kelima dari ekspansi $(x + 2y)^{10}$.
Sumber : @2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN
Selamat Belajar
