Dilatasi

Pengertian Dilatasi

Pernahkan kalian mencetak foto atau pasfoto? Bisaanya ketika mencetak pasfoto kita diminta menyebutkan ukuran seperti $2 \times 3$, $3 \times 4$ ataupun $4 \times 6$. Mencetak pasfoto dalam berbagai ukuran yaitu memperbesar atau memperkecil merupakan salah satu contoh dilatasi dalam kehidupan sehari-hari. Anak-anakku, untuk lebih memahami apa itu dilatasi, coba amati gambar $17$ berikut. Apa yang dapat kalian ceritakan mengenai transformasi segitiga $ABC$ ? Bagaimana transformasi yang terjadi ?

Anak-anakku, jika kita amati segitiga $ABC$ pada gambar $17$, segitiga $ABC$ akan semakin besar dengan perkalian skala $3$. Kemudian, jarak $OA′$ adalah tiga kali jarak $OA$, jarak $OB′$ adalah tiga kali jarak $OB$, jarak $OC′$ adalah tiga kali jarak $OC$. Tetapi ketika segitiga $ABC$ dikalikan dengan faktor skala $−1$ menghasilkan besar dan ukuran yang sama tetapi mempunyai arah yang berlawanan. Perhatikan juga jarak $OA$ ′′ sama dengan jarak $OA$, jarak $OB$′′ sama dengan jarak $OB$, dan jarak $OC$′′ sama dengan jarak $OC$.

Berdasarkan uraian diatas, dapat disimpulkan :

Dilatasi adalah transformasi yang mengubah jarak titik-titik dengan faktor pengali tertentu terhadap suatu titik tertentu. Faktor pengali tertentu disebut faktor dilatasi atau faktor skala dan titik tertentu disebut pusat dilatasi

Bangun yang diperbesar atau diperkecil (dilatasi) dengan skala $k$ dapat mengubah ukuran atau tetap ukurannya tetapi tidak mengubah bentuk.

• Jika $k > 1$ maka bangun akan diperbesar dan terletak searah terhadap sudut dilatasi dengan bangun semula

• Jika $k = 1$ maka bangun tidak mengalami perubahan ukuran dan letak

• Jika $0 < k < 1$ maka bangun akan diperkecil dan terletak searah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.

• Jika $−1 < k < 0$ maka bangun akan diperkecil dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula

• Jika $k = −1$ maka bangun tidak akan mengalami perubahan bentuk dan ukuran dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.

• Jika $k < −1$ maka bangun akan diperbesar dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.

Dilatasi terhadap Titik Pusat $(0, 0)$

Bentuk dilatasi terhadap titik pusat $O(0, 0)$ dapat diamati pada gambar $18$. Titik $A(x, y)$ didilatasikan dengan faktor skala $k$ terhadap titik pusat $O(0, 0)$ menghasilkan titik $A′(x′, y′)$.

Dilatasi titik $A$ pada gambar $18$ dapat dituliskan sebagai berikut.

Titik $(x, y)$ didilatasikan dengan faktor skala $k$ terhadap titik pusat $(0, 0)$ menghasilkan bayangan titik $(x′, y′)$ dalam persamaan matriks dapat dituliskan sebagai berikut.

Anak-anakku, untuk lebih memahami konsep dilatasi terhadap titik pusat $O(0,0)$ yuk kita simak contoh soal berikut

Contoh Soal 1:

Tentukan bayangan titik $A(2, 4)$ setelah didilatasikan terhadap pusat $O(0,0)$ dan faktor skala $3$ !

Pembahasan

Titik $A(2, 4)$ akan didilatasikan oleh $D_{[0,3]}$ dapat ditulis

$A(2, 4) \xrightarrow[]{D_{(0, 3)}}A'(x', y')$

$\begin{pmatrix}x'\\ y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}k &0 \\0 &k \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}x'\\ y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 &0 \\0 &3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\ 4\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}x'\\ y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\ 12\end{pmatrix}$

Jadi, bayangan titik $A$ setelah didilatasi oleh $D_{[O,3]}$ adalah $A′(6, 12)$.

Contoh Soal 2:

Garis $g ∶ 2x + 4y − 3 = 0$ didilatasikan dengan faktor skala $−2$ terhadap titik pusat $(0, 0)$. Persamaan garis $g$ setelah didilatasi adalah ...

Pembahasan

Misalkan titik $A(x, y)$ memenuhi persamaan garis $g: 2x + 4y − 3 = 0$

$A(x, y) \xrightarrow[]{D_{(0, -2)}}A'(x', y')$

$\begin{pmatrix}x'\\ y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}k &0 \\0 &k \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}x'\\ y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2 &0 \\0 &-2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}x'\\ y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2x\\ -2y\end{pmatrix}$

Berdasarkan kesamaan dua matriks diperoleh

$x′ = −2x → x = −\frac{1}{2}x′$

$y′ = −2y → y = −\frac{1}{2}y′$

Substitusi $x = −\frac{1}{2}x′$ dan $y = −\frac{1}{2}y′$ ke persamaan garis $g: 2x + 4y − 3 = 0$ sehingga diperoleh

$2x + 4y − 3 = 0$

$2 (−\frac{1}{2}x′) + 4 (−\frac{1}{2}y′) − 3 = 0$

$−x′ − 2y′ − 3 = 0$

$x′ + 2y′ + 3 = 0$

$x + 2y + 3 = 0$

Jadi, persamaan garis $g$ setelah didilatasi adalah $g′: x + 2y + 3 = 0$

Dilatasi terhadap Titik Pusat $(a, b)$

Bentuk dilatasi terhadap titik pusat $P(a, b)$ dapat diamati pada gambar $19$. Titik $A(x, y)$ didilatasikan dengan faktor skala $k$ terhadap titik pusat $P(a, b)$ menghasilkan titik $A′(x′, y′).

Dilatasi titik $A$ pada gambar $19$ dapat dituliskan sebagai berikut.

$A(x, y) \xrightarrow[]{D_{(a, b),k}}A'(x', y')$

Titik $(x, y)$ didilatasikan dengan faktor skala $k$ terhadap titik pusat $(a, b)$ menghasilkan bayangan titik $(x′, y′)$ dalam persamaan matriks dapat dituliskan sebagai berikut.

Anak-anakku, untuk lebih memahami konsep dilatasi terhadap titik pusat $P(a, b)$ yuk kita simak contoh soal berikut

Contoh Soal 1 :

Tentukan bayangan titik $A(−5, 2)$ setelah didilatasikan terhadap pusat $(3, 4)$ dan faktor skala $−3$ !

Pembahasan:

Titik $A(−5, 2)$ akan didilatasikan oleh $D_{[(3,4),− 3]}$ dapat ditulis

$A(-5, 2) \xrightarrow[]{D_{[(3, 4),-3]}}A'(x', y')$

$\begin{pmatrix}x'\\ y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}k &0 \\0 &k \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x-a \\y-b \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}x'\\ y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3 &0 \\0 &-3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}-5-3 \\2-4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\ 4\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}x'\\ y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3 &0 \\0 &-3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}-8 \\-2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\ 4\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}x'\\ y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}24\\6 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3\\ 4\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}x'\\ y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}24+3\\6+4 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}x'\\ y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}27\\10 \end{pmatrix}$

Jadi, bayangan titik $A$ setelah didilatasi oleh $D_{[(3,4),− 3]} adalah$A′(27, 10)$.

Contoh Soal 2:

Garis $g ∶ 2x + 4y − 3 = 0$ didilatasikan dengan faktor skala $−2$ terhadap titik pusat $(2, −4)$. Persamaan garis $g$ setelah didilatasi adalah ...

Pembahasan

Misalkan titik $A(x, y)$ memenuhi persamaan garis $g: 2x + 4y − 3 = 0$

$A(x, y) \xrightarrow[]{D_{[(2, -4),-2]}}A'(x', y')$

$\begin{pmatrix}x'\\ y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}k &0 \\0 &k \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x-a \\y-b \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}x'\\ y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2 &0 \\0 &-2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x-2 \\y-(-4) \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\ -4\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}x'\\ y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2 &0 \\0 &-2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x-2 \\y+4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\ -4\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}x'\\ y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2(x-2)\\-2(y+4) \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\ -4\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}x'\\ y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2x-+4\\-2y-8 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\ -4\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}x'\\ y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2x+4-2\\-2y-8+(-4)  \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}x'\\ y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2x-2\\-2y-12  \end{pmatrix}$

Berdasarkan kesamaan dua matriks diperoleh

$x′ = −2x + 6$

$2x = 6 − x′$

$x =\frac{6 − x′}{2}$

$2y′ = −2y − 12$

$2y = −y′ − 12$

$y =\frac{−y − 12}{2}$

Substitusi $x =\frac{6−x′}{2}$ dan $y =\frac{−y−12}{2}$ ke persamaan garis $g: 2x + 4y − 3 = 0$ sehingga diperoleh

$2x + 4y − 3 = 0$

$2 (\frac{6−x′}{2}) + 4 (\frac{−y − 12}{2}) − 3 = 0$

$6 − x′ + 2(−y′ − 12) − 3 = 0$

$6 − x′ − 2y′ − 24 − 3 = 0$

$−x′ − 2y′ − 21 = 0$

$x′ + 2y′ + 21 = 0$

$x + 2y + 21 = 0$

Jadi, persamaan garis $g$ setelah didilatasi adalah $g′: x + 2y + 21 = 0$

Latihan Soal

Anak- anak untuk mengukur kemampuan pemahaman konsep kalian terhadap dilatasi kerjakan soal latihan berikut:

Soal Essay:

1. Titik $A(−2, −5)$ didilatasikan dengan faktor skala $−2$ terhadap titik pusat $(0, 0)$. Hasil dilatasi titik A adalah ...

2. Titik $B$ didilatasikan dengan faktor skala $−2$ terhadap titik pusat $(0, 0)$ menghasilkan titik $B′(−4, 6)$. Koordinat titik $B$ adalah ...

3. Titik $A(2, −3)$ didilatasikan dengan faktor skala $3$ terhadap titik pusat $(1, −2)$. Hasil dilatasi titik $A$ adalah ...

4. Bayangan titik $Q(2, −1)$ oleh dilatasi terhadap titik pusat $(3, 4)$ dengan faktor skala

$−3$ adalah ...

5. Titik $D$ didilatasikan dengan faktor skala $2$ terhadap titik pusat $(2, −3)$ menghasilkan

titik $D′(3, 6)$. Koordinat titik $D$ adalah ...

6. Titik $C(−2, −1)$ didilatasikan dengan faktor skala $k$ terhadap titik pusat $(0, −3)$ menghasilkan titik $C′(4, −7)$. Nilai $k$ yang memenuhi adalah ...

7. Titik $R(−4, −2)$ didilatasikan dengan faktor skala $\frac{1}{3}$ dilanjutkan dengan dilatasi faktor skala $−2$ terhadap titik pusat $(−1, 1)$. Hasil dilatasi titik $R$ adalah ...

8. Persamaan bayangan garis $4x − y + 6 = 0$ oleh dilatasi $[O, −2]$ adalah ...

9. Garis $g ∶ x + 2y − 4 = 0$ didilatasikan dengan faktor skala $2$ terhadap titik pusat $(0, 0)$. Hasil dilatasi garis $g$ adalah ...

10. Lingkaran $L ∶ (x − 1)^ 2 + (y + 1)^2 = 9$ didilatasikan dengan faktor skala $\frac{1}{3}$ terhadap

titik pusat $(1, 2)$. Hasil dilatasi lingkran $L$ adalah ...

Pembahasan

Sumber Modul Matematika Umum Kelas XI KD 3.5 @2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN

Selamat Belajar