Deret Geometri Tak Hingga

1. Deret Geometri Tak Hingga

Deret geometri takhingga adalah deret geometri dengan banyak suku takberhingga. Deret geometri takhingga dengan rasio $|r| >1$ tidak dapat dihitung. Sedangkan deret geometri dengan rasio antara $–1$ dan $1$ tetapi bukan $0$ dapat dihitung sebab nilai sukunya semakin kecil mendekati nol $(0)$ jika $n$ semakin besar. Deret geometri takhingga yang tidak mempunyai nilai disebut Deret Divergen sedangkan Deret geometri takhingga yang mempunyai nilai disebut Deret Konvergen dan dirumuskan sebagai berikut

Contoh 1:

Tentukan $S_∞$ dari :

a) $1 +\frac{1}{2}+\frac{1}{4} + \frac{1}{8} +...$

b) $1000 +100+10+1+…$

Pembahasan :

a) Dik: $1 +\frac{1}{2}+\frac{1}{4} + \frac{1}{8} +...$, maka

$a=1$, $𝑟 =\frac{1}{2}$

Dit : $𝑆_∞$

Penyelesaian :

$𝑆_∞=\frac{a}{1-r}$

$=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}$

$=\frac{1}{\frac{2}{2}-\frac{1}{2}}$

$=\frac{1}{\frac{1}{2}}$

$= 2$

Jadi, nilai $𝑆_∞= 2$

b) Dik: $1000 +100+10+1+…$, maka

$a=1000$, $𝑟 =\frac{100}{1000}=\frac{1}{10}$

Dit : $𝑆_∞$

Penyelesaian :

$𝑆_∞=\frac{𝑎}{1−𝑟}$

$=\frac{1000}{1−\frac{1}{10}}$

$=\frac{1000}{\frac{10}{10}−\frac{1}{10}}$

$=\frac{1000}{\frac{9}{10}}$

$=1000\times\frac{10}{9}$

$=1111,111 $

Jadi, nilai $𝑆_∞= 1111,111$

Contoh 2:

Suatu deret geometri tak hingga jumlahnya $20$ dan suku pertamanya $10$. Hitunglah jumlah $6$ suku pertamanya!

Pembahasan:

Dik : $𝑆_∞=20$

$a=10$

Dit : $𝑆_6$...?

Penyelesaian :

$𝑆_∞=\frac{𝑎}{1−𝑟}$

$20 =\frac{10}{1−𝑟}$

$20.(1 − 𝑟)= 10$

$20 − 20𝑟 = 10 $

$20𝑟 = 20 − 10$

$20𝑟 = 10 $

$𝑟 =\frac{10}{20}$

$𝑟 =\frac{1}{2}$

Sehingga:

$𝑆_6=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$

$𝑆_6=\frac{10(1-(\frac{1}{2})^6}{1-\frac{1}{2}}$

$𝑆_6=\frac{10(1-(\frac{1}{64})}{\frac{1}{2}}$

$𝑆_6=10(\frac{63}{64})2$

$𝑆_6=\frac{315}{16}$

$𝑆_6=19\frac{11}{16}$

Jadi, nilai $𝑆_6= 19\frac{11}{16}$

2. Penerapan Deret Geometri Tak Hingga

Pada modul kali ini kita akan belajar seperti apa sih penerapan deret geometri tak hingga dalam kehidupan sehari-hari. Nah salah satu penerapan deret tak hingga yaitu untuk menghitung Panjang lintasan bola yang jatuh.

Selain itu, aplikasi deret tak hingga dapat pula digunakan untuk menghitung pertumbuhan sebuah bakteri tertentu. Lebih jelasnya lagi mengenai contoh soal cerita deret geometri tak hingga akan kita bahas setelah kita mencari rumusannya.

Sebuah bola dilemparkan ke atas ataupun langsung dijatuhkan dari ketinggian tertentu, kemudian bola tersebut menghantam lantai dan memantul kembali ke atas. Kejadian tersebut berlangsung terus menerus hingga akhirnya bola tersebut kembali memantul.

Dapatkah kalian menentukankan formula untuk menghitung Panjang lintasan yang dilalui bola hingga berhenti? Nah inilah yang akan kita pelajari di sini…

Siap…? Yukkk kita mulai…

Bola dilempar ke atas

Ketika sebuah bola dilemparkan ke atas maka terbentuk lintasan-lintasan yang dilalui bola, seperti ilustrasi di bawah ini :

Lintasan yang dilalui oleh bola ada bagian yang naik dan ada bagian yang turun.

Panjang Lintasan Naik (PLN) yaitu $𝑆_∞$ dan Panjang lintasan turun (PLT) yaitu $𝑆_∞$, sehingga total Panjang lintasan PL sama dengan Panjang lintasan naik ditambah Panjang lintasan turun.

$PL=PLN+PLT$

$PL=𝑆_∞+𝑆_∞$

$PL=2𝑆_∞$

$𝑃𝐿 = 2 (\frac{𝑎}{1 − 𝑟})$

Bola dijatuhkan ke Bawah

Hampir sama kasusnya seperti yang dilemparkan ke atas, yang membedakan adalah lintasan awal yang naik dihilangkan sebab bola langsung dijatuhkan dari atas.

Sehingga formula untuk mencari Panjang lintasannya adalah sebagai berikut:

$PL=2𝑆_∞-a$

$𝑃𝐿 = 2 (\frac{𝑎}{1 − 𝑟})-a$

Contoh 1:

Sebuah bola dilemparkan ke atas mencapai ketinggian $6$m, bola tersebut jatuh dan memantul kembali dengan ketinggian $\frac{1}{2}$ dari tinggi sebelumnya, berapakah Panjang lintasan yang dilalui bola sampai berhenti?

Pembahasan:

Diketahui : $a=6$ dan $𝑟 =\frac{1}{2}$

Bola dilempar ke atas, artinya menggunakan rumus:

$𝑃𝐿 = 2 (\frac{𝑎}{1 − 𝑟})$

$𝑃𝐿 = 2 (\frac{6}{1 − \frac{1}{2}})$

$𝑃𝐿 = 2 (\frac{6}{ \frac{1}{2}})$

$𝑃𝐿 = 2.(6\frac{1}{2})$

$𝑃𝐿 = 2.12$

$𝑃𝐿=24$ 𝑚

Jadi, Panjang lintasan yang dilalui bola sampai berhenti $24$ m

Contoh 2:

Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian $5$m, dan memantul Kembali dengan ketinggian $\frac{3}{5}$ dari tinggi sebelumnya, berapakah Panjang lintasan bola sampai berhenti?

Pembahasan:

Diketahui : $a=5$ dan $𝑟 =\frac{3}{5}$

Bola dijatuhkan, artinya menggunakan rumus:

$𝑃𝐿 = 2 (\frac{𝑎}{1 − 𝑟})-a$

$𝑃𝐿 = 2 (\frac{5}{1 − \frac{3}{5}})-5$

$𝑃𝐿 = \frac{10}{1- \frac{3}{5}}-5$

$𝑃𝐿 = \frac{10}{\frac{2}{5}}-5$

$𝑃𝐿 = (10\frac{5}{2})-5$

$𝑃𝐿 = (5.5)-5$

$𝑃𝐿 = 20-5$

$𝑃𝐿=20$ 𝑚

Jadi, Panjang lintasan yang dilalui bola sampai berhenti $20$ m

Latihan Soal

Untuk mengukur kemampuan kalian, kerjakan Latihan berikut

1. Jumlah tak hingga dari deret geometri $18 + 6 + 2 + 2/3 + …$ adalah …

A. $81$ B. $64$ C. $48$ D. $32$ E. $27$

2. Suatu deret geometri tak hingga diketahui jumlahnya $81$. Jika rasionya $\frac{2}{3}$ maka suku ketiganya adalah …

A. $32$ B. $24$ C. $18$ D. $16$ E. $12$

3. Jika $2 +\frac{2}{𝑝} +\frac{2}{𝑝^2} +\frac{2}{𝑝^3} + … = 2𝑝$, maka nilai $𝑝$ sama dengan …

A. $\frac{–1}{2}$ B. $\frac{1}{2}$ C. $2$ D. $3$ E. $4$

4. Suatu deret geometri diketahui suku kedua adalah $12$ dan suku kelima adalah $\frac{3}{2}$, maka jumlah sampai tak hingga suku-sukunya adalah

A. $20$ B. $24$ C. $36$ D. $48$ E. $64$

5. Sebuah benda bergerak sepanjang garis lurus. Benda itu mula – mula bergerak ke kanan sejauh $S$, kemudian bergerak ke kiri sejauh $\frac{1}{2} S$, kemudian ke kanan lagi sejauh $\frac{1}{4} S$, demikian seterusnya. Panjang lintasan yang ditempuh benda tersebut sampai berhenti adalah ….

A. $3 S$ B. $1\frac{1}{2}S$ C. $\frac{1}{2} S$ D. $2\frac{1}{2} S$ E. $2 S$

6. Jumlah deret geometri tak hingga adalah $10$. Jika suku pertamanya $2$, suku kedua deret tersebut adalah …

A. $\frac{1}{5}$ B. $\frac{4}{5}$ C. $1$ D. $1\frac{1}{5}$ E. $1\frac{3}{5}$

7. Dari suatu deret geometri diketahui $𝑈_1+U_2= 5$ dan jumlah deret tak hingganya $9$. Rasio positif deret tersebut adalah …

A.$\frac{7}{8}$ B. $\frac{5}{6}$ C.$\frac{2}{3}$ D. $\frac{1}{3}$ E. $\frac{1}{2}$

8. Sebuah bola dijatuhkan ke lantai dari ketinggian $5$ m dan memantul kembali dengan tinggi $\frac{3}{4}$ dari ketinggian semula. Panjang lintasan bola tersebut sampai bola tersebut sampai bola berhenti adalah … m

A. $25$ B. $30$ C. $35$ D. $45$ E. $65$

9. Sebuah ayunan mencapai lintasan pertama sejauh $90$ cm dan lintasan berikutnya hanya mencapai $\frac{5}{8}$ dari lintasan sebelumnya. Panjang lintasan seluruhnya hingga ayunan berhenti adalah …cm

A. $120$ B. $144$ C. $240$ D. $250$ E. $260$

10. Sebuh bola mengglinding diperlambat dengan kecepatan tertentu. Pada detik ke-$1$ jarak yang ditempuh $8$ meter, pada detik ke-$2$ jarak yang ditempuh $6$ meter, pada detik ke-$3$ jarak yang ditempuh $4,5$ meter, dan seterusnya mengikuti pola barisan geometri. Jarak yang ditempuh bola sampai dengan berhenti adalah … meter

A. $32$ B. $28$ C. $24$ D. $22,5$ E. $20,5$