Processing math: 48%

Volume Benda Putar

4 minute read
0
Jika alas sebuah tabung dinyatakan dengan fungsi A(x) dan tinggi dari benda putar tersebut adalah panjang selang dari titik a ke b pada sumbu x atau y maka volume benda putar tersebut dapat dihitung dengan menggunakan rumus

V=∫baA(x)dx

Untuk mencari volume benda putar yang dihasilkan dari sebuah luasan yang diputar menurut sumbu x dan y dapat menggunakan cara seperti penjelasan berikut:

a. Volume Benda Putar terhadap Sumbu x yang dibatasi 1 Kurva
perhatikan gambar ilustrasi di atas. Luasan di bawah kurva y=f(x) jika diputar dengan sumbu putar dengan titik batas a dan b akan menghasilkan sebuah silinder dengan tinggi selisih b dan a. Volume benda putar menurut sumbu x tersebut dapat dicari dengan rumus

V=π∫ba(f(x))2dx


Contoh 1:

Hitung volume benda putar yang terbentuk jika daerah yang dibatasi oleh kurva y=x2, sumbu x, dan 0≤x≤2 diputar terhadap sumbu x

Metode cakram:
Vx=π∫20y2dx

       =π∫20(x2)2dx


       =π∫20x4dx


       =Ï€[14+1x4+1]


       =Ï€[15x5]


       =Ï€[(1525)−(1520)]


       =Ï€[(1532)−(150)]


       =Ï€325


       =625Ï€ satuan Volume


Metode cincin silinder:

y=x2→x=±√y

Karena yang diarsir berada di sebelah kanan sumbu x, maka di pilih x=√y

Vx=2π∫40y(2−x)dy


     =2π∫40y(2−√y)dy


     =2π∫40(2y−y32)dy


     =2Ï€[y2−25y52]


     =2Ï€[(42−25452)−(02−25052)]


     =2Ï€[(16−2532)−(0−250)]


     =2Ï€[(16−645−0+0)]


     =2Ï€(805−645)


     =2Ï€165


     =325Ï€


     =625Ï€ satuan Volume


b. Volume Benda Putar terhadap Sumbu y yang dibatasi 1 Kurva


Untuk volume benda putar dengan sumbu putar adalah sumbu y, sobat harus mengubah persamaan grafik yang semula y yang merupakan fungsi dari x menjadi kebalikannya x menjadi fungsi dari y.

y=f(x) menjadi x=f(y).

Misalkan

y=x2

x=√y

Setelah persamaan diubah kebentuk x=f(y) kemudian dimasukkan ke rumus:


V=π∫ba(f(y))2dy


Contoh Soal

Tentukan volume dari benda putar jika daerah yang dibatasai oleh fungsi f(x)=4−x2, sumbu x, dan sumbu y diputar 360o terhadap:

a. sumbu x

b. sumbu y

V=π∫2−2(4−x2)2dy


    =π∫2−2(16−8x2+x4)dy


    =Ï€[(16x−83x3+15x5]


    =Ï€[(16(2)−8323+1525)−(0)]


    =Ï€[(32−643+325)−(0)]


    =25615Ï€


Jadi volume benda putar jika luasan M diputar mengelilingi sumbu x sebesar 360o adalah 25615Ï€


b. Diputar mengelilingi sumbu y


Untuk mencari volume benda putarnya sobat harus menyatakan kurva y=f(x)=4−x2 menjadi bentuk persamaan x2.

y=4−x2

x2=4−y

Luasan M memotong sumbu y di titik (0,0) dan (0,4)


V=π∫ba(f(y))2dy


    =π∫40(4−y)2dy


    =Ï€4y−11+1y1+1


    =Ï€4y−12y2


    =Ï€(4(4)−1242)−(0)


    =Ï€(16−8)


    =8Ï€


Jadi jika luasan M diputar 360o derajat mengelilingi sumbu y akan menghasilkan volume sebesar 8Ï€ satuan volume.


Contoh 2:


Hitung volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva y=x2 dan garis y=2x diputar mengelilingi sumbu y

Perpotongan kurva dan garis:
x2=2x
x^2 – 2x = 0
x(x – 2) = 0
x = 0 atau x = 2
x = 0 \rightarrow y = 0^2 = 0
x = 2 \rightarrow y = 2^2 = 4
Jadi titik potong kurva dan garis adalah (0, 0) dan (2, 4)

Metode cakram:

y=x^2 \rightarrow x=\sqrt{y}

dipilih x=\sqrt{y} (separuh kurva di sebelah kanan)

y=2x \rightarrow x=\frac{1}{2}y

V_y=\pi\int_{0}^{4}(x_{1}^2-x_{2}^2)dy

     =\pi\int_{0}^{4}[(\sqrt{y})^2-(\frac{1}{2}y)^2)dy

     =\pi(y-\frac{1}{4}y^2)dy

     =\pi[\frac{1}{2}y^2-\frac{1}{12}y^3]_{0}^4

     =\pi[(\frac{1}{2}4^2-\frac{1}{12}4^3)-(\frac{1}{2}0^2-\frac{1}{12}0^3)]

     =\pi[(\frac{16}{2}-\frac{64}{12})-0-0]

     =\pi(8-\frac{16}{3})

     =\pi(\frac{24}{3}-\frac{16}{3})

     =\pi\frac{8}{3}

     =2\frac{2}{3}\pi


Metode cincin silinder:

V_y=2\pi \int_{0}{2}x(y_1-y_2)dx

V_y=2\pi \int_{0}{2}x(2x-x^2)dx

V_y=2\pi \int_{0}{2}(2x^2-x^3)dx

V_y=2\pi [\frac{2}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4]_{0}^2

V_y=2\pi [(\frac{2}{3}2^3-\frac{1}{4}2^4)-(\frac{2}{3}0^3-\frac{1}{4}0^4)]

V_y=2\pi [(\frac{2}{3}8-\frac{1}{4}16)-(\frac{2}{3}0-\frac{1}{4}0)]

V_y=2\pi(\frac{16}{3}-4-0-0)

V_y=2\pi(\frac{16}{3}-\frac{12}{3})

V_y=2\pi(\frac{4}{3})

V_y=\frac{8}{3}\pi

V_y=2\frac{2}{3}\pi

Contoh 3:

Jika daerah yang dibatasi oleh kurva x = (y – 2)^2 dan garis x + y = 4 diputar mengelilingi sumbu y, maka volume benda putar yang terjadi adalah …
Perpotongan kurva dan garis:
x + y = 4 \rightarrow x = 4 – y
(y – 2)^2 = 4 – y
y^2 – 4y + 4 = 4 – y
y^2 – 4y + 4 – 4 + y = 0
y^2 – 3y = 0
y(y – 3) = 0
y = 0 atau y = 3
y = 0 \rightarrow x = 4 – 0 = 4
y = 3 \rightarrow x = 4 – 3 = 1
Jadi titik potong kurva dan garis (4, 0) dan (1, 3)
Metode cakram:

V_y=\pi\int_{0}^{3}(x_{1}^2-x_{2}^2)dy

V_y=\pi\int_{0}^{3}[(4-y)^2-((y-2)^2)^2]dy

V_y=\pi\int_{0}^{3}[16-8y+y^2-(y-2)^4]dy

V_y=\pi[16y-4y^2+\frac{1}{3}y^3-\frac{1}{5}(y-2)^5]_{0}^3

V_y=\pi[(16.3-4.3^2+\frac{1}{3}3^3-\frac{1}{5}(3-2)^5)-(16.0-4.0^2+\frac{1}{3}0^3-\frac{1}{5}(0-2)^5)]

V_y=\pi[(48-36+9+\frac{1}{5})-(0-0+0-\frac{32}{5})]

V_y=\pi(48-36+9+\frac{1}{5})-0+0-0-\frac{32}{5})

V_y=\pi(21-\frac{33}{5})

V_y=\pi(\frac{105}{5}-\frac{33}{5})

V_y=\pi(\frac{72}{5})

V_y=14-\frac{2}{5}\pi satuan volume

Metode cincin silinder:

x=(y-2)^2 \rightarrow \pm \sqrt{x}=y-2 \rightarrow y=\pm \sqrt{x}+2

Untuk separuh kurva bagian atas : y=\sqrt{x}+2
Untuk separuh kurva bagian atas : y=-\sqrt{x}+2

x+y=4 \rightarrow y=4-x

V_y=2\pi \int_{a}^{b}x(y_1-y_2)dx

V_y=2\pi \int_{0}^{1}x[(\sqrt{x}+2)-(-\sqrt{x}+2)]dx+2\pi \int_{1}^{4}x[(4-x)-(-\sqrt{x}+2)]dx

V_y=2\pi \int_{0}^{1}x.2\sqrt{x}dx+2\pi\int_{1}^{4}x(2-x+\sqrt{x})dx

V_y=2\pi \int_{0}^{1}2x^{\frac{3}{2}}dx+2\pi \int_{1}^{4}(2x-x^2+x^{\frac{3}{2}})dx

V_y=2\pi[\frac{4}{5}x^{\frac{5}{2}}]_{0}^1+2\pi[x^2-\frac{1}{3}x^3+\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}]_{1}^4

V_y=2\pi(\frac{4}{5}1^{\frac{5}{2}}-\frac{4}{5}0^{\frac{5}{2}})+2\pi[(4^2-\frac{1}{3}4^3+\frac{2}{5}4^{\frac{5}{2}})-(4^2-\frac{1}{3}0^3+\frac{2}{5}0^{\frac{5}{2}})]

V_y=2\pi(\frac{4}{5}-0)+2\pi[(16-\frac{64}{3}+\frac{64}{5}-1+\frac{1}{3}-\frac{2}{5})]


V_y=2\pi(\frac{4}{5}+\frac{64}{5}-\frac{2}{5}+16-1-\frac{64}{3}-\frac{1}{3})


V_y=2\pi(\frac{66}{5}+15-21)

V_y=2\pi(13\frac{1}{5}-6)

V_y=2\pi(7\frac{1}{5})

V_y=14\frac{2}{5}\pi satuan volume

c. Volume Benda Putar yang Dibatasi Dua Kurva Jika Diputar Mengelilingi Sumbu x

Jika ada sebuah luasan yang dibatasi oleh dua kurva yaitu f(x) dan g(x) dimana |f(x)| ≥ |g(x)| dengan interval [a,b] diputar mengelilingi sumbu x, maka volume benda putar tersebut dapat dihitung dengan rumus:

V(T)=\pi\int_{a}^{b}(f(x))^2-(g(x))^2dx

c. Volume Benda Putar yang Dibatasi Dua Kurva Jika Diputar Mengelilingi Sumbu y

Sama prinsipnya dengan yang ada di huruf b, jika ada sebuah luasan yang terbentuk dari dua buah kurva x = f(y) dan x = g(y) dan interval [a.b] yang diputar mengitari sumbu y maka volume yang dihasilkan dapat dicari dengan rumus

V(U)=\pi\int_{a}^{b}(f(x))^2-(g(x))^2dy

Contoh Soal

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daereah yang dibatasi oleh kurva  y = \sqrt{x} , garis x = 2, garis y = 4, dan garis y = 3.
Jawab:
Kita gambar dulu luasan dimaksud
daerah berwarna biru muda di atas akan diputar mengelilingi sumbu x maka volume benda putar yang terjadi:

V=\pi \int_{2}^{4}3^2-(\sqrt{x})^2dx

V=\pi \int_{2}^{4}9-x dx

V=\pi[9x-\frac{1}{2}x^2]_{2}^4

V=\pi(9.4-\frac{1}{2}4^2)-(9.2-\frac{1}{2}2^2)

V=\pi(36-8)-(18-2)

V=12\pi

Semoga Bermanfaat

Salam Matematika


sumber : yunidionisia.blogspot.com

Tags

Posting Komentar

0 Komentar
Posting Komentar (0)
To Top