Jika alas sebuah tabung dinyatakan dengan fungsi A(x) dan tinggi dari benda putar tersebut adalah panjang selang dari titik a ke b pada sumbu x atau y maka volume benda putar tersebut dapat dihitung dengan menggunakan rumus
V=∫baA(x)dx
Untuk mencari volume benda putar yang dihasilkan dari sebuah luasan yang diputar menurut sumbu x dan y dapat menggunakan cara seperti penjelasan berikut:
a. Volume Benda Putar terhadap Sumbu x yang dibatasi 1 Kurva
perhatikan gambar ilustrasi di atas. Luasan di bawah kurva y=f(x) jika diputar dengan sumbu putar dengan titik batas a dan b akan menghasilkan sebuah silinder dengan tinggi selisih b dan a. Volume benda putar menurut sumbu x tersebut dapat dicari dengan rumus
V=π∫ba(f(x))2dx
Contoh 1:
Hitung volume benda putar yang terbentuk jika daerah yang dibatasi oleh kurva y=x2, sumbu x, dan 0≤x≤2 diputar terhadap sumbu x
Metode cakram:
Vx=π∫20y2dx
=π∫20(x2)2dx
=π∫20x4dx
=Ï€[14+1x4+1]
=Ï€[15x5]
=π[(1525)−(1520)]
=π[(1532)−(150)]
=Ï€325
=625Ï€ satuan Volume
Metode cincin silinder:
y=x2→x=±√y
Karena yang diarsir berada di sebelah kanan sumbu x, maka di pilih x=√y
Vx=2π∫40y(2−x)dy
=2π∫40y(2−√y)dy
=2π∫40(2y−y32)dy
=2π[y2−25y52]
=2π[(42−25452)−(02−25052)]
=2π[(16−2532)−(0−250)]
=2π[(16−645−0+0)]
=2π(805−645)
=2Ï€165
=325Ï€
=625Ï€ satuan Volume
b. Volume Benda Putar terhadap Sumbu y yang dibatasi 1 Kurva
Untuk volume benda putar dengan sumbu putar adalah sumbu y, sobat harus mengubah persamaan grafik yang semula y yang merupakan fungsi dari x menjadi kebalikannya x menjadi fungsi dari y.
y=f(x) menjadi x=f(y).
Misalkan
y=x2
x=√y
Setelah persamaan diubah kebentuk x=f(y) kemudian dimasukkan ke rumus:
V=π∫ba(f(y))2dy
Contoh Soal
Tentukan volume dari benda putar jika daerah yang dibatasai oleh fungsi f(x)=4−x2, sumbu x, dan sumbu y diputar 360o terhadap:
a. sumbu x
b. sumbu y
V=π∫2−2(4−x2)2dy
=π∫2−2(16−8x2+x4)dy
=π[(16x−83x3+15x5]
=π[(16(2)−8323+1525)−(0)]
=π[(32−643+325)−(0)]
=25615Ï€
Jadi volume benda putar jika luasan M diputar mengelilingi sumbu x sebesar 360o adalah 25615Ï€
b. Diputar mengelilingi sumbu y
Untuk mencari volume benda putarnya sobat harus menyatakan kurva y=f(x)=4−x2 menjadi bentuk persamaan x2.
y=4−x2
x2=4−y
Luasan M memotong sumbu y di titik (0,0) dan (0,4)
V=π∫ba(f(y))2dy
=π∫40(4−y)2dy
=π4y−11+1y1+1
=π4y−12y2
=π(4(4)−1242)−(0)
=π(16−8)
=8Ï€
Jadi jika luasan M diputar 360o derajat mengelilingi sumbu y akan menghasilkan volume sebesar 8Ï€ satuan volume.
Contoh 2:
Hitung volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva y=x2 dan garis y=2x diputar mengelilingi sumbu y
Perpotongan kurva dan garis:
x2=2x
x^2 – 2x = 0
x(x – 2) = 0
x = 0 atau x = 2
x = 0 \rightarrow y = 0^2 = 0
x = 2 \rightarrow y = 2^2 = 4
Jadi titik potong kurva dan garis adalah (0, 0) dan (2, 4)
Metode cakram:
y=x^2 \rightarrow x=\sqrt{y}
dipilih x=\sqrt{y} (separuh kurva di sebelah kanan)
y=2x \rightarrow x=\frac{1}{2}y
V_y=\pi\int_{0}^{4}(x_{1}^2-x_{2}^2)dy
=\pi\int_{0}^{4}[(\sqrt{y})^2-(\frac{1}{2}y)^2)dy
=\pi(y-\frac{1}{4}y^2)dy
=\pi[\frac{1}{2}y^2-\frac{1}{12}y^3]_{0}^4
=\pi[(\frac{1}{2}4^2-\frac{1}{12}4^3)-(\frac{1}{2}0^2-\frac{1}{12}0^3)]
=\pi[(\frac{16}{2}-\frac{64}{12})-0-0]
=\pi(8-\frac{16}{3})
=\pi(\frac{24}{3}-\frac{16}{3})
=\pi\frac{8}{3}
=2\frac{2}{3}\pi
Metode cincin silinder:
V_y=2\pi \int_{0}{2}x(y_1-y_2)dx
V_y=2\pi \int_{0}{2}x(2x-x^2)dx
V_y=2\pi \int_{0}{2}(2x^2-x^3)dx
V_y=2\pi [\frac{2}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4]_{0}^2
V_y=2\pi [(\frac{2}{3}2^3-\frac{1}{4}2^4)-(\frac{2}{3}0^3-\frac{1}{4}0^4)]
V_y=2\pi [(\frac{2}{3}8-\frac{1}{4}16)-(\frac{2}{3}0-\frac{1}{4}0)]
V_y=2\pi(\frac{16}{3}-4-0-0)
V_y=2\pi(\frac{16}{3}-\frac{12}{3})
V_y=2\pi(\frac{4}{3})
V_y=\frac{8}{3}\pi
V_y=2\frac{2}{3}\pi
Contoh 3:
Jika daerah yang dibatasi oleh kurva x = (y – 2)^2 dan garis x + y = 4 diputar mengelilingi sumbu y, maka volume benda putar yang terjadi adalah …
Perpotongan kurva dan garis:
x + y = 4 \rightarrow x = 4 – y
(y – 2)^2 = 4 – y
y^2 – 4y + 4 = 4 – y
y^2 – 4y + 4 – 4 + y = 0
y^2 – 3y = 0
y(y – 3) = 0
y = 0 atau y = 3
y = 0 \rightarrow x = 4 – 0 = 4
y = 3 \rightarrow x = 4 – 3 = 1
Jadi titik potong kurva dan garis (4, 0) dan (1, 3)
Metode cakram:
V_y=\pi\int_{0}^{3}(x_{1}^2-x_{2}^2)dy
V_y=\pi\int_{0}^{3}[(4-y)^2-((y-2)^2)^2]dy
V_y=\pi\int_{0}^{3}[16-8y+y^2-(y-2)^4]dy
V_y=\pi[16y-4y^2+\frac{1}{3}y^3-\frac{1}{5}(y-2)^5]_{0}^3
V_y=\pi[(16.3-4.3^2+\frac{1}{3}3^3-\frac{1}{5}(3-2)^5)-(16.0-4.0^2+\frac{1}{3}0^3-\frac{1}{5}(0-2)^5)]
V_y=\pi[(48-36+9+\frac{1}{5})-(0-0+0-\frac{32}{5})]
V_y=\pi(48-36+9+\frac{1}{5})-0+0-0-\frac{32}{5})
V_y=\pi(21-\frac{33}{5})
V_y=\pi(\frac{105}{5}-\frac{33}{5})
V_y=14-\frac{2}{5}\pi satuan volume
Metode cincin silinder:
x=(y-2)^2 \rightarrow \pm \sqrt{x}=y-2 \rightarrow y=\pm \sqrt{x}+2
Untuk separuh kurva bagian atas :
y=\sqrt{x}+2Untuk separuh kurva bagian atas : y=-\sqrt{x}+2
x+y=4 \rightarrow y=4-x
V_y=2\pi \int_{a}^{b}x(y_1-y_2)dx
V_y=2\pi \int_{0}^{1}x[(\sqrt{x}+2)-(-\sqrt{x}+2)]dx+2\pi \int_{1}^{4}x[(4-x)-(-\sqrt{x}+2)]dx
V_y=2\pi \int_{0}^{1}x.2\sqrt{x}dx+2\pi\int_{1}^{4}x(2-x+\sqrt{x})dx
V_y=2\pi \int_{0}^{1}2x^{\frac{3}{2}}dx+2\pi \int_{1}^{4}(2x-x^2+x^{\frac{3}{2}})dx
V_y=2\pi[\frac{4}{5}x^{\frac{5}{2}}]_{0}^1+2\pi[x^2-\frac{1}{3}x^3+\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}]_{1}^4
V_y=2\pi(\frac{4}{5}1^{\frac{5}{2}}-\frac{4}{5}0^{\frac{5}{2}})+2\pi[(4^2-\frac{1}{3}4^3+\frac{2}{5}4^{\frac{5}{2}})-(4^2-\frac{1}{3}0^3+\frac{2}{5}0^{\frac{5}{2}})]
V_y=2\pi(\frac{4}{5}-0)+2\pi[(16-\frac{64}{3}+\frac{64}{5}-1+\frac{1}{3}-\frac{2}{5})]
V_y=2\pi(\frac{4}{5}+\frac{64}{5}-\frac{2}{5}+16-1-\frac{64}{3}-\frac{1}{3})
V_y=2\pi(\frac{66}{5}+15-21)
V_y=2\pi(13\frac{1}{5}-6)
V_y=14\frac{2}{5}\pi satuan volume
c. Volume Benda Putar yang Dibatasi Dua Kurva Jika Diputar Mengelilingi Sumbu x
Jika ada sebuah luasan yang dibatasi oleh dua kurva yaitu f(x) dan g(x) dimana |f(x)| ≥ |g(x)| dengan interval [a,b] diputar mengelilingi sumbu x, maka volume benda putar tersebut dapat dihitung dengan rumus:
V(T)=\pi\int_{a}^{b}(f(x))^2-(g(x))^2dx
c. Volume Benda Putar yang Dibatasi Dua Kurva Jika Diputar Mengelilingi Sumbu y
Sama prinsipnya dengan yang ada di huruf b, jika ada sebuah luasan yang terbentuk dari dua buah kurva x = f(y) dan x = g(y) dan interval [a.b] yang diputar mengitari sumbu y maka volume yang dihasilkan dapat dicari dengan rumus
V(U)=\pi\int_{a}^{b}(f(x))^2-(g(x))^2dy
Contoh Soal
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daereah yang dibatasi oleh kurva y = \sqrt{x} , garis x = 2, garis y = 4, dan garis y = 3.
Jawab:
Kita gambar dulu luasan dimaksud
daerah berwarna biru muda di atas akan diputar mengelilingi sumbu x maka volume benda putar yang terjadi:
V=\pi \int_{2}^{4}3^2-(\sqrt{x})^2dx
V=\pi \int_{2}^{4}9-x dx
V=\pi[9x-\frac{1}{2}x^2]_{2}^4
V=\pi(9.4-\frac{1}{2}4^2)-(9.2-\frac{1}{2}2^2)
V=\pi(36-8)-(18-2)
V=12\pi
Semoga Bermanfaat
Salam Matematika
sumber : yunidionisia.blogspot.com