Volume Benda Putar

Jika alas sebuah tabung dinyatakan dengan fungsi $A(x)$ dan tinggi dari benda putar tersebut adalah panjang selang dari titik $a$ ke $b$ pada sumbu $x$ atau $y$ maka volume benda putar tersebut dapat dihitung dengan menggunakan rumus

$V = \int_{a}^{b} A(x) dx$

Untuk mencari volume benda putar yang dihasilkan dari sebuah luasan yang diputar menurut sumbu $x$ dan $y$ dapat menggunakan cara seperti penjelasan berikut:

a. Volume Benda Putar terhadap Sumbu $x$ yang dibatasi $1$ Kurva

perhatikan gambar ilustrasi di atas. Luasan di bawah kurva $y=f(x)$ jika diputar dengan sumbu putar dengan titik batas $a$ dan $b$ akan menghasilkan sebuah silinder dengan tinggi selisih $b$ dan $a$. Volume benda putar menurut sumbu $x$ tersebut dapat dicari dengan rumus

$V=\pi \int_{a}^{b}(f(x))^2dx$

Contoh 1:

Hitung volume benda putar yang terbentuk jika daerah yang dibatasi oleh kurva $y = x^2$, sumbu $x$, dan $0 ≤ x ≤ 2$ diputar terhadap sumbu $x$

Metode cakram:

$V_x=\pi \int_{0}^{2}y^2dx$

$=\pi \int_{0}^{2}(x^2)^2dx$

$=\pi \int_{0}^{2}x^4dx$

$=\pi [\frac{1}{4+1}x^{4+1}]$

$=\pi [\frac{1}{5}x^{5}]$

$=\pi [(\frac{1}{5}2^5)-(\frac{1}{5}2^0)]$

$=\pi [(\frac{1}{5}32)-(\frac{1}{5}0)]$

$=\pi \frac{32}{5}$

$=6\frac{2}{5}\pi$ satuan Volume

Metode cincin silinder:

$y=x^2 \rightarrow x= \pm \sqrt{y}$

Karena yang diarsir berada di sebelah kanan sumbu $x$, maka di pilih $x=\sqrt{y}$

$V_x=2\pi \int_{0}^{4}y(2-x)dy$

$=2\pi \int_{0}^{4}y(2-\sqrt{y})dy$

$=2\pi \int_{0}^{4}(2y-y^{\frac{3}{2}})dy$

$=2\pi [y^2-\frac{2}{5}y^{\frac{5}{2}}]$

$=2\pi [(4^2-\frac{2}{5}4^{\frac{5}{2}})-(0^2-\frac{2}{5}0^{\frac{5}{2}})]$

$=2\pi [(16-\frac{2}{5}32)-(0-\frac{2}{5}0)]$

$=2\pi [(16-\frac{64}{5}-0+0)]$

$=2\pi(\frac{80}{5}-\frac{64}{5})$

$=2\pi \frac{16}{5}$

$=\frac{32}{5}\pi$

$=6\frac{2}{5}\pi$ satuan Volume

b. Volume Benda Putar terhadap Sumbu y yang dibatasi $1$ Kurva

Untuk volume benda putar dengan sumbu putar adalah sumbu $y$, sobat harus mengubah persamaan grafik yang semula $y$ yang merupakan fungsi dari $x$ menjadi kebalikannya $x$ menjadi fungsi dari $y$.

$y = f(x)$ menjadi $x = f(y)$.

Misalkan

$y = x^2$

$x = \sqrt{y}$

Setelah persamaan diubah kebentuk $x = f(y)$ kemudian dimasukkan ke rumus:

$V=\pi\int_{a}^{b}(f(y))^2dy$

Contoh Soal

Tentukan volume dari benda putar jika daerah yang dibatasai oleh fungsi $f(x) = 4 -x^2$, sumbu $x$, dan sumbu $y$ diputar $360^o$ terhadap:

a. sumbu $x$

b. sumbu $y$

$V=\pi\int_{-2}^{2}(4-x^2)^2dy$

$=\pi\int_{-2}^{2}(16-8x^2+x^4)dy$

$=\pi[(16x-\frac{8}{3}x^3+\frac{1}{5}x^5]$

$=\pi[(16(2)-\frac{8}{3}2^3+\frac{1}{5}2^5)-(0)]$

$=\pi[(32-\frac{64}{3}+\frac{32}{5})-(0)]$

$=\frac{256}{15}\pi $

Jadi volume benda putar jika luasan $M$ diputar mengelilingi sumbu $x$ sebesar $360^o$ adalah $\frac{256}{15}\pi$

b. Diputar mengelilingi sumbu y

Untuk mencari volume benda putarnya sobat harus menyatakan kurva $y = f(x) = 4-x^2$ menjadi bentuk persamaan $x^2$.

$y = 4-x^2$

$x^2 = 4-y$

Luasan $M$ memotong sumbu $y$ di titik $(0,0)$ dan $(0,4)$

$V=\pi \int_{a}^{b}(f(y))^2dy$

$=\pi \int_{0}^{4}(4-y)^2dy$

$=\pi 4y-\frac{1}{1+1}y^{1+1}$

$=\pi 4y-\frac{1}{2}y^2$

$=\pi(4(4)-\frac{1}{2}4^2)-(0)$

$=\pi(16-8)$

$=8\pi$

Jadi jika luasan $M$ diputar $360^o$ derajat mengelilingi sumbu $y$ akan menghasilkan volume sebesar $8\pi$ satuan volume.

Contoh 2:

Hitung volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva $y = x^2$ dan garis $y = 2x$ diputar mengelilingi sumbu $y$

Perpotongan kurva dan garis:

$x^2 = 2x$

$x^2 – 2x = 0$

$x(x – 2) = 0$

$x = 0$ atau $x = 2$

$x = 0 \rightarrow y = 0^2 = 0$

$x = 2 \rightarrow y = 2^2 = 4$

Jadi titik potong kurva dan garis adalah $(0, 0)$ dan $(2, 4)$

Metode cakram:

$y=x^2 \rightarrow x=\sqrt{y}$

dipilih $x=\sqrt{y}$ (separuh kurva di sebelah kanan)

$y=2x \rightarrow x=\frac{1}{2}y$

$V_y=\pi\int_{0}^{4}(x_{1}^2-x_{2}^2)dy$

$=\pi\int_{0}^{4}[(\sqrt{y})^2-(\frac{1}{2}y)^2)dy$

$=\pi(y-\frac{1}{4}y^2)dy$

$=\pi[\frac{1}{2}y^2-\frac{1}{12}y^3]_{0}^4$

$=\pi[(\frac{1}{2}4^2-\frac{1}{12}4^3)-(\frac{1}{2}0^2-\frac{1}{12}0^3)]$

$=\pi[(\frac{16}{2}-\frac{64}{12})-0-0]$

$=\pi(8-\frac{16}{3})$

$=\pi(\frac{24}{3}-\frac{16}{3})$

$=\pi\frac{8}{3}$

$=2\frac{2}{3}\pi$

Metode cincin silinder:

$V_y=2\pi \int_{0}{2}x(y_1-y_2)dx$

$V_y=2\pi \int_{0}{2}x(2x-x^2)dx$

$V_y=2\pi \int_{0}{2}(2x^2-x^3)dx$

$V_y=2\pi [\frac{2}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4]_{0}^2$

$V_y=2\pi [(\frac{2}{3}2^3-\frac{1}{4}2^4)-(\frac{2}{3}0^3-\frac{1}{4}0^4)]$

$V_y=2\pi [(\frac{2}{3}8-\frac{1}{4}16)-(\frac{2}{3}0-\frac{1}{4}0)]$

$V_y=2\pi(\frac{16}{3}-4-0-0)$

$V_y=2\pi(\frac{16}{3}-\frac{12}{3})$

$V_y=2\pi(\frac{4}{3})$

$V_y=\frac{8}{3}\pi$

$V_y=2\frac{2}{3}\pi$

Contoh 3:

Jika daerah yang dibatasi oleh kurva $x = (y – 2)^2$ dan garis $x + y = 4$ diputar mengelilingi sumbu $y$, maka volume benda putar yang terjadi adalah …

Perpotongan kurva dan garis:

$x + y = 4 \rightarrow x = 4 – y$

$(y – 2)^2 = 4 – y$

$y^2 – 4y + 4 = 4 – y$

$y^2 – 4y + 4 – 4 + y = 0$

$y^2 – 3y = 0$

$y(y – 3) = 0$

$y = 0$ atau $y = 3$

$y = 0 \rightarrow x = 4 – 0 = 4$

$y = 3 \rightarrow x = 4 – 3 = 1$

Jadi titik potong kurva dan garis $(4, 0)$ dan $(1, 3)$

Metode cakram:

$V_y=\pi\int_{0}^{3}(x_{1}^2-x_{2}^2)dy$

$V_y=\pi\int_{0}^{3}[(4-y)^2-((y-2)^2)^2]dy$

$V_y=\pi\int_{0}^{3}[16-8y+y^2-(y-2)^4]dy$

$V_y=\pi[16y-4y^2+\frac{1}{3}y^3-\frac{1}{5}(y-2)^5]_{0}^3$

$V_y=\pi[(16.3-4.3^2+\frac{1}{3}3^3-\frac{1}{5}(3-2)^5)-(16.0-4.0^2+\frac{1}{3}0^3-\frac{1}{5}(0-2)^5)]$

$V_y=\pi[(48-36+9+\frac{1}{5})-(0-0+0-\frac{32}{5})]$

$V_y=\pi(48-36+9+\frac{1}{5})-0+0-0-\frac{32}{5})$

$V_y=\pi(21-\frac{33}{5})$

$V_y=\pi(\frac{105}{5}-\frac{33}{5})$

$V_y=\pi(\frac{72}{5})$

$V_y=14-\frac{2}{5}\pi$ satuan volume

Metode cincin silinder:

$x=(y-2)^2 \rightarrow \pm \sqrt{x}=y-2 \rightarrow y=\pm \sqrt{x}+2$

Untuk separuh kurva bagian atas : $y=\sqrt{x}+2$

Untuk separuh kurva bagian atas : $y=-\sqrt{x}+2$

$x+y=4 \rightarrow y=4-x$

$V_y=2\pi \int_{a}^{b}x(y_1-y_2)dx$

$V_y=2\pi \int_{0}^{1}x[(\sqrt{x}+2)-(-\sqrt{x}+2)]dx+2\pi \int_{1}^{4}x[(4-x)-(-\sqrt{x}+2)]dx$

$V_y=2\pi \int_{0}^{1}x.2\sqrt{x}dx+2\pi\int_{1}^{4}x(2-x+\sqrt{x})dx$

$V_y=2\pi \int_{0}^{1}2x^{\frac{3}{2}}dx+2\pi \int_{1}^{4}(2x-x^2+x^{\frac{3}{2}})dx$

$V_y=2\pi[\frac{4}{5}x^{\frac{5}{2}}]_{0}^1+2\pi[x^2-\frac{1}{3}x^3+\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}]_{1}^4$

$V_y=2\pi(\frac{4}{5}1^{\frac{5}{2}}-\frac{4}{5}0^{\frac{5}{2}})+2\pi[(4^2-\frac{1}{3}4^3+\frac{2}{5}4^{\frac{5}{2}})-(4^2-\frac{1}{3}0^3+\frac{2}{5}0^{\frac{5}{2}})]$

$V_y=2\pi(\frac{4}{5}-0)+2\pi[(16-\frac{64}{3}+\frac{64}{5}-1+\frac{1}{3}-\frac{2}{5})]$

$V_y=2\pi(\frac{4}{5}+\frac{64}{5}-\frac{2}{5}+16-1-\frac{64}{3}-\frac{1}{3})$

$V_y=2\pi(\frac{66}{5}+15-21)$

$V_y=2\pi(13\frac{1}{5}-6)$

$V_y=2\pi(7\frac{1}{5})$

$V_y=14\frac{2}{5}\pi$ satuan volume

c. Volume Benda Putar yang Dibatasi Dua Kurva Jika Diputar Mengelilingi Sumbu $x$

Jika ada sebuah luasan yang dibatasi oleh dua kurva yaitu $f(x)$ dan $g(x)$ dimana $|f(x)| ≥ |g(x)|$ dengan interval $[a,b]$ diputar mengelilingi sumbu $x$, maka volume benda putar tersebut dapat dihitung dengan rumus:

$V(T)=\pi\int_{a}^{b}(f(x))^2-(g(x))^2dx$

c. Volume Benda Putar yang Dibatasi Dua Kurva Jika Diputar Mengelilingi Sumbu $y$

Sama prinsipnya dengan yang ada di huruf $b$, jika ada sebuah luasan yang terbentuk dari dua buah kurva $x = f(y)$ dan $x = g(y)$ dan interval $[a.b]$ yang diputar mengitari sumbu $y$ maka volume yang dihasilkan dapat dicari dengan rumus

$V(U)=\pi\int_{a}^{b}(f(x))^2-(g(x))^2dy$

Contoh Soal

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daereah yang dibatasi oleh kurva $y = \sqrt{x}$ , garis $x = 2$, garis $y = 4$, dan garis $y = 3$.

Jawab:

Kita gambar dulu luasan dimaksud