Nilai Maksimum dan Minimum Program Linear

Program Linear

1. PENGERTIAN PROGRAM LINEAR

Kegiatan perdagangan dan produksi tidak akan terpisah dari masalah laba yaitu memperoleh pendapatan yang sebesar-besarnya dengan meminimalkan pengeluarannya. Untuk masalah tersebut biasanya pihak perusahaan menentukan cara yang harus ditempuh untuk mencapainya. Misalnya, dalam memproduksi dua macam barang dengan biaya dan keuntunganberbeda. Pihak perusahaan dapat menghitung keuntungan maksimum yang mungkin dapatdiperoleh dengan memperhatikan bahan yang diperlukan,keuntungan per unit, biaya transportasi, dan sebagainya. Untuk menyelesaikan masalah tersebut digunakan program linear.

Nah, sekarang kemukakan pendapatmu tentang pengertian program linear.

DEFINISI

Program linearadalah cara untuk menyelesaikan suatu persoalan (penyelesaian optimum) dengan menggunakan metode matematik yang dirumuskan dalam bentuk persamaan-persamaan atau pertidaksamaanpertidaksamaan linear.

2. MODEL MATEMATIKA

Perhatikan masalah berikut.

Misalkan ada seorang penjual buah-buahan di pasar. Kios buah-buahan tersebut hanya menampung $100$ kg buah. Penjual tersebut ingin membeli buah apel dengan harga $Rp20.000,00$/kg dan buah jeruk denganharga $Rp16.000,00$/kg. Ia mempunyai modal $Rp336.000,00$. Ia berharap memperoleh keuntungan maksimal dari hasil jualan buah-buahan pada itu jika harga jual buah apel adalah $Rp 25.000$/kg dan harga jual buah jeruk adalah $Rp 20.000$.Menurut kalian, apakah yang harus dilakukan oleh agen tersebut agar memperoleh keuntungan maksimum?

Program linear dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah tersebut. Akan tetapi masalah-masalah tersebut terlebih dahulu harus diterjemahkan ke dalam bahasa matematika sampai ke tingkat yang paling sederhana.

Sekarang, apa yang kamu pikirkan tentang pengertian model matematika?

Cocokkan hasil pemikiranmu tadi dengan definisi berikut.

DEFINISI

Model matematika adalah suatu cara sederhana untuk menerjemahkan suatu masalah nyata ke dalam bahasa matematika dengan menggunakan persamaan, pertidaksamaan, atau fungsi.

Bagan proses pemodelan matematika dapat digambarkan sebagai berikut.

Penyelesaian untuk masalah penjual buah-buahan tadi adalah sebagai berikut. Langkah pertama yaitu memodelkan permasalahan tersebut dengan melakukan pemisalan. Pada permasalahan tersebut, ada $2$ macam buah yang ingin dibeli oleh penjual buah , yaitu buah apel dan buah jeruk.

Misalkan:

banyaknya buah apel yang dibeli adalah $x$ buah

banyaknyabuah jeruk yang dibeli adalah $y$ buah.

Karena keuntungan yangdiharapkan dari menjual buah apel dan menjual buah jeruk berturut-turut adalah $Rp 5.000,00$ dan $Rp 4.000,00$ maka keuntungan yang mungkin diperoleh agen tersebutditentukan oleh $𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 5.000𝑥 + 4.000𝑦$.

Fungsi $𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)$ tersebut dinamakan fungsi objektif (fungsi tujuan). Dari permasalahan yang ada, diinginkan untuk memaksimumkan keuntungan yang didasarkan pada kondisi-kondisi yang ada (kendala). Setiap kendala yang ada, bentuknya berupa pertidaksamaan. Fungsi kendala dari permasalahan agen buah tersebut adalah sebagai berikut:

Banyaknya sepeda yang akan dibeli oleh agen tersebut:

$𝑥 + 𝑦 ≤ 100$

Besarnya modal yang dimiliki agen buah:

$20.000𝑥 + 16.000𝑦 ≤ 336.000$

$⇔ 5𝑥 + 4𝑦 ≤ 84$

Banyaknya buah yang dibeli tidak mungkin negatif sehingganilai $𝑥 ≥ 0$ dan $𝑦 ≥0$.

Dengan demikian, terbentuklah model matematika berikut.

Fungsi tujuan: $𝑧_{𝑚𝑎𝑘𝑠} = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 5.000𝑥 + 4.000𝑦$

Tujuannya memaksimumkan fungsi tujuan yang didasarkan pada kondisi/kendala:

(i). $𝑥 + 𝑦 ≤ 100$

(ii). $5𝑥 + 4𝑦 ≤ 84$

(iii). $𝑥 ≥ 0$

(iv). $𝑦 ≥ 0$

INGAT !

Model matematika dari setiap permasalahan program linear secara umum terdiri atas $2$ komponen, yaitu:

1. Fungsi tujuan $𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚$ dan

2. Fungsi kendala (berupa pertidaksamaan linear)

Contoh Soal

Sebuah kios roti dipasar ingin memproduksi $2$ jenis roti, yaitu roti coklat dan roti keju. Untuk membuat $2$ jenis roti tersebut diperlukan bahan mentah berupa tepung dan telur yang masing-masing tersedia $40 kg$ dan $20kg$. Untuk setiap $1$ satuan roti coklat memerlukan $2kg$ tepung dan $3kg$ telur sedangkan untuk setiap $1$ satuan roti keju memerlukan $5 kg$ tepung dan $2kg$ telur. Keuntungan tiap 1 satuan roti coklat adalah $Rp10.000,00$ dan untuk roti keju adalah $Rp7.500,00$. Perusahaan mengharapkan keuntungan maksimal. Buatlah model matematikanya!

Penyelesaian:

Misalkan 

$𝑥$: banyaknya roti coklat (satuan)

$𝑦$: banyaknya roti keju (satuan)

Permasalahan tersebut dapat disusun dalam bentuk tabel seperti berikut.

	Roti coklat $(x)$	Roti keju $(y)$	Bahan yang tersedia $(kg)$
Tepung (kg)	$2$	$5$	$40$
Telur (kg)	$3$	$2$	$20$
Keuntungan	$Rp10.000,00$	$Rp7.500,00$

Keuntungan yang diharapkan, dipenuhi oleh fungsi tujuan berikut.

$𝑧_{𝑚𝑎𝑘𝑠} = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 10.000𝑥 + 7.500𝑦$

Banyaknya tepung yang tersedia memenuhi pertidaksamaan berikut.

$2𝑥 + 5𝑦 ≤ 40$

Banyaknya telur yang tersedia memenuhi pertidaksamaan berikut.

$3𝑥 + 2𝑦 ≤ 20$

Karena 𝑥 dan 𝑦 menyatakan banyaknya roti coklat dan banyaknya roti keju, maka $𝑥 ≥ 0$ dan $𝑦 ≥ 0$

Jadi, model matematika dari permasalahan tersebut adalah

Fungsi tujuan

$𝑧_{𝑚𝑎𝑘𝑠} = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 10.000𝑥 + 7.500𝑦$

dengan fungsi kendala:

(i) $2𝑥 + 5𝑦 ≤ 40$

(ii) $3𝑥 + 2𝑦 ≤ 20$

(iii) $𝑥 ≥ 0$

(iv) $𝑦 ≥ 0$

3. MENENTUKAN NILAI OPTIMUM DENGAN METODE TITIK POJOK

Setiap kali produksi ban mobil, dibutuhkan $3$ kuintal karet mentah dalam waktu $6$ jam kerja mesin, sedangkan untuk memproduksi sebuah ban motor membutuhkan $2$ kuintal karet mentah dalam waktu $8$ jam kerja mesin. Pabrik hanya beroperasi selama $6$ hari dengan total waktu kerja mesin adalah $108$ jam serta mendapat pasokan $3,6$ ton karet. Jika setiap satu ban mobil dijual seharga $Rp 400.000,00$ dan setiap satu ban motor $Rp 150.000,00$. Jika pabrik memiliki target memperoleh hasil penjualan sekali produksi lebih dari $Rp 4.500.000,00$. Apakah target tersebut tercapai?

Penyelesaian:

1. Membuat model matematika

    $𝑥$: banyaknya produksi ban motor

    $𝑦$: banyaknya produksi ban mobil

Fungsi Tujuan / Objektif 

$z_{𝑚𝑎𝑥} = 400.000 𝑥 + 150.000y$

	Ban Motor	Ban Mobil	Total penggunaan	Ketersediaan
Bahan	$3$ kuintal	$2$ kuintal	$3x+2y$	$36$ kuintal
Kerja Mesin	$6$ jam	$8$ jam	$6x+8y$	$108$ jam
Harga Jual	$Rp 400.000,00$	$Rp 150.000,00$

Fungsi kendala

1. $3𝑥 + 2𝑦 ≤ 36$

2. $6𝑥 + 8𝑦 ≤ 108$

3. $𝑥 ≥ 0$

4. $𝑦 ≥ 0$

2. Menggambar Daerah Penyelesaian

 

$3x+2y=   36$
$x$	$0$	$12$
$y$	$18$	$0$
$(x,y)$	$(0,18)$	$(12,0)$

Uji titik $(0,0)$

$3𝑥 + 2𝑦 ≤ 36$

$3(0) + 2(0) ≤ 36$

$0 ≤ 36$ (Benar)

Jadi $(0,0)$ termasuk DP

$6x+8y=   108$
$x$	$0$	$12$
$y$	$13,5$	$0$
$(x,y)$	$(0$, $13,5)$	$(12,0)$

Uji titik $(0,0)$

$6𝑥 + 8𝑦 ≤ 108$

$6(0) + 8(0) ≤ 108$

$0 ≤ 108$ (Benar)

Jadi $(0,0)$ termasuk DP

3. Menentukan titik pojok dari daerah penyelesaian

Titik pojoknya adalah $O$ $(0,0)$, $A$ $(12,0)$, $B$ dan $C$ $(0,$ $13,5)$

Menentukan titik $B$ yang merupakan perpotongan garis $3𝑥 + 2𝑦 = 36$ dan $6𝑥 + 8𝑦 = 108$

Eliminasi dan substitusi

$\left.\begin{matrix}3x+2y=36\\6x+8y=108\end{matrix}\right|\left.\begin{matrix}\times2\\\times1\end{matrix}\right|\begin{matrix}6x+6y=72\\6x+8y=108\end{matrix}$

                                           __________________- 

                                                  $-4y=-36$

                                                     $y=9$

Substitusikan $𝑦 = 9$ pada salah satu persamaan

$3𝑥 + 2𝑦 = 36$

$3𝑥 + 2(9) = 400$

$3𝑥 + 18 = 36$

$3𝑥 = 18$

$𝑥 = 6$

Jadi titik $𝐵(6,9)$

4. Mensubstitusikan titik-titik pojok pada fungsi objektif/ fungsi tujuan

Titik Pojok	$z_{𝑚𝑎𝑥}=   400.000 𝑥 + 150.000y$	Keterangan
$O(0,0)$	$400.000 (0) + 150.000(0) = 0$
$A(12,0)$	$400.000 (12) + 150.000(0)$ $= 4.800.000$	Maksimal
$B(6,9)$	$400.000 (6) + 150.000(9)$ $= 2.530.000$
$C(0,13,5)$	$400.000 (0) + 150.000(13,5)$ $= 2.025.000$

5. Membandingkan nilai fungsi tujuan

hasil penjualan maksimal adalah $Rp 4.800.000,00$. Karena target pabrik memperoleh hasil penjualan lebih dari $Rp 4.500.000,00$ dapat disimpulkan target pabrik tersebut tercapai.

langkah–langkah dalam menentukan nilai optimum masalah program linear dengan menggunakan metode uji titik pojok.

1. Menyusun model matematika (mendefinisikan variabel penentu, menentukan fungsi objektif, menentukan fungsi kendala,)
2. Menggambar daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear yang diperoleh
3. Menentukan titik pojok dari daerah penyelesaian
4. Mensubstitusikan titik-titik pojok pada fungsi objektif/ fungsi tujuan
5. Membandingkan nilai fungsi tujuan disetiap titik pojok DP untuk menetapkan nilai maksimum atau minimumnya

Selamat Belajar

Salam Matematika

sumber : guru berbagi