Baris Aritmatika

sumber gambar : rumushitung.com

Pengertian Barisan Aritmatika

Barisan aritmatika $(U_n)$ adalah barisan bilangan yang memiliki pola yang tetap. Nah, polanya itu bisa berdasarkan operasi penjumlahan atau pengurangan. Jadi, setiap urutan suku memiliki selisih atau beda yang sama. Selisih inilah yang dinamakan beda. Biasa disimbolkan dengan $b$.

Misalnya, di suatu barisan memiliki suku pertama, yaitu $2$. Suku pertama disimbolkan dengan $U_1$ atau $a$. Lalu, di suku kedua $(U_2)$, yaitu $5$. Suku ketiga $(U_3)$, yaitu $8$, dan seterusnya. 

Berarti, barisan ini memiliki beda $3$ pada setiap sukunya.

$2, 5, 8, …$ (setiap suku memiliki selisih atau beda, yaitu $3$)

Adapun rumus untuk menentukan beda pada barisan aritmatika yaitu;

$b=U_n-U_{n-1}$

Keterangan;

$b$ : beda,

$U_n$ : buku ke-$n$,

$U_{n-1}$ : suku sebelum suku ke-$n$, dan

$n$ : banyaknya suku

1). Bentuk Barisan Aritmatika

Berikut ini merupakan bentuk dari barisan aritmatika;

$U_1,U_2,U_3, ... , U_n$ dengan $n \in$ Asli

Adapun rumus selisih atau beda yaitu;

$U_{n+1}-U_n=b$

Keterangan;

$U_{n+1}$ : suku ke-$n + 1$,

$U_n$ : suku ke-$n$, dan

$b$ : beda atau selisih

Dari rumus suku ke-n tersebut, maka dapat diperoleh;

$U_1, U_2, U_3, …. , U_{n-2} , U_{n-1}, U_n$

Apabila banyaknya suku ($n$) ganjil, kita dapat menentukan suku tengah (UT) barisan aritmatika dengan rumus;

$U_t=\frac{1}{2}(a+U_n)$, dengan $t=\frac{1}{2}(n+1)$

Namun, apabila di antara $2$ buah suku $U_1, U_2, U_3, …. , U_n$ disisipkan $k$ buah bilangan baru, sehingga membentuk barisan geometri yang baru, beda dan banyaknya suku barisan tersebut perubahannya dapat diketahui melalui rumus berikut;

$b'=\frac{b}{k+1}$

$n'=n+(n-1)k$

Keterangan;

$b’$ : Beda barisan aritmatika baru,

$b$ : beda barisan aritmatika lama,

$k$ : banyaknya bilangan yang disisipkan,

$n’$ : banyaknya suku barisan aritmatika baru, dan

$n$ : banyaknya suku barisan aritmatika lama.

Yang perlu diingat yakni suku pertama barisan yang baru adalah sama dengan suku pertama barisan yang lama.

2). Suku ke-$n$ Barisan Aritmatika

Saat kita diminta untuk mencari suku ke-$n$ pada barisan aritmatika, cara yang termudah ialah dengan mencarinya satu-persatu hingga suku ke-$n$. Akan tetapi cara ini tidaklah praktis dan membutuhkan waktu yang lama. Maka jika diminta mencari suku ke-$12$ mungkin masih bisa dicari, namun bagaimana jika diminta suku ke $2.000$ maka sangat sulit bukan?. Nah, untuk untuk mencari suku ke-$n$ dengan mudah kita dapat menggunakan rumus berikut ini;

$U_n=a+(n+1)b$

Keterangan;

$a$ : suku awal ($U_1$),

$U_n$ : suku ke-$n$, dan

$b$ : beda atau selisih.

Untuk lebih memahaminya simaklah contoh soal berikut ini;

Contoh 1

Tentukanlah suku ke-$20$ dari barisan $18, 22, 26, 20…$

Pembahasan;

Diketahui

$a = 18$, $b = 4$

Ditanya $U_{20}$ = ….?

Pembahasan;

$U_{20} = a + (n – 1)b$

$U_{20} = 18 + (20 -1)4$

$U_{20} = 18 + (19 (4))$

$U_{20} = 94$

3). Suku Tengah Barisan Aritmatika

Jika sobat menjumpai suatu barisan aritmatika yang banyak sukunya ganjil. Pasti baris aritmatika tersebut mempunyai suku tengah ( $U_t$ ). Untuk mencari suku tengah tersebut kita dapat menggunakan rumus berikut;

$U_t=\frac{a+U_n}{2}$

Keterangan

$U_n$ = Suku terakhir

$t=\frac{n+1}{2}$

Untuk lebih jelasnya, simaklah contoh soal berikut;

Contoh 2

Suatu barisan aritmatika dengan suku tengah $15$, mempunyai suku barisan sebanyak $11$. Suku ke-$4$ ( $U_4$ ) bernilai $-3$, tentukanlah suku terakhirnya!

Pembahasan;

Diketahui;

$U_t : 15$,

$n : 11$

Ditanya : $U_n$ = ….?

Pembahasan;

Mula-mula kita harus mencari nilai $t$ terlebih dahulu yakni;

$t=\frac{n+1}{2}$

$t=\frac{11+1}{2}$

$t=6$

Suku tengahnya ialah suku ke-$6$ , sehingga $U_6 = 15$.

$U_6=a+5b=15$ .... (1)

$U_4=a+3b=-3$ .... (2)

Untuk menemukan nilai $a$ dan $b$, maka kita gunakan metode eliminasi;

$a+5b=15$

$a+3b=-3$

______________-

      $2b=18$

         $b=9$

Kemudian kita subtitusikan nilai $b$ pada persamaan (1);

$a+5b=15$

$a+5(9)=15$

$a+45=15$

$a=-30$

Setelah itu kita Tentukan suku terakhir barisan tersebut;

$U_{11}=a+10b$

$U_{11}=(-30)+10(9)$

$U_{11}=(-30)+90$

$U_{11}=60$

Jadi suku terakhirnya ialah $60$.

4). Sisipan Bilangan Pada Barisan Aritmatika

Jika kita menjumpai sebuah barisan aritmatika dengan beda $b$, kemudian barisan aritmatika tersebut disisipi oleh k bilangan pada setiap dua bilangan yang berdekatan. Setelah disisipi oleh $k$ bilangan tersebut, maka akan terbentuklah aritmatika baru yang bedanya disebut $b’$. Nah bagaimanakah cara menentukan beda bilangan Aritmatika yang baru tersebut?.

Untuk menentukannya kita dapat menggunakan rumus persamaan berikut;

$b'=\frac{b}{k+1}$

Dengan ketentuan, suku pertama pada barisan yang baru sama dengan suku pertama pada barisan sebelumnya. Sebab bilangan yang disisipkan tidak berada pada awal baris.

Contoh Soal

Si Dadap berhasil lulus ujian saringan masuk PT (Perguruan Tinggi). Sebagai mahasiswa, mulai $1$ Januari $2008$ ia menerima uang saku sebesar $Rp. 500.000,00$ untuk satu triwulan. Uang saku ini diberikan setiap permulaan triwulan. Untuk setiap triwulan berikutnya uang saku yang diterimanya dinaikkan sebesar $Rp. 25.000$. Berapa besar uang saku yang akan diterima si Dadap pada awal tahun $2011$?

Penyelesaian:

Triwulan ke-$1$: $U_1 = a = Rp. 500.000,00$

Triwulan ke-$2$: $U_2 = a + b = Rp. 525.000,00$, dst

Jadi $b = U_2-U_1=525.000-500.000=25.000$

Pada awal tahun $2011$ telah dipakai kuliah selama $3$ tahun atau $12$ triwulan, berarti: 

$U_{12} = a + (12 – 1)b$

$U_{12} = 500.000 + (12-1)  25.000$

$U_{12} = 500.000 + 11(25.000)$

$U_{12} = 500.000 + 275.000$

$U_{12} = 775.000$

Jadi besarnya uang yang akan diterima si Dadap pada awal tahun $2011$ adalah $Rp. 775.000,00$.

Selamat Belajar

Salam Matematika

sumber : ruang guru, rumus hitung