Deret Aritmatika

 

sumber gambar : pelajaran.co.id

Deret Aritmatika

Deret Aritmatika adalah jumlah susku-suku dari suatu barisan aritmatika.

Bentuk umum deret aritmatika 

$a + (a + b) + (a+2b) + (a+3b) + … + (a+(n-1)b )$

Rumus:

$S_n = \frac{n}{2} (a+U_n)$

atau

$S_n = \frac{n}{2} (2a+(n-1)b)$

Keterangan:

Sn = jumlah n suku pertama

Contoh Soal

1. Diketahui $10 + 12 + 14 +……+ U_{10}$

a. Tentukan suku ke-$10$

b. Jumlah sepuluh suku pertama ($U_{10}$)

Jawab:

a. Suku ke-$10$

$U_n = a + (n-1)b$

$U_{10} = 10 + (10-1) 2$

$U_{10}= 10 + (9) 2$

$U_{10}= 10 + 18$

$U_{10}= 28$

b. Jumlah sepuluh suku pertama

$S_n = \frac{n}{2} (a + U_n)$

$S_{10} = \frac{10}{2} (10 + 28)$

$S_{10} = 5 ( 38)$

$U_{10} = 190$

Soal 1

Setiap akhir bulan, Dita selalu rajin menabung di bank dengan besaran uang yang selalu lebih tinggi dari sebelumnya. Apabila pada bulan pertama ia menabung sebesar $RP10.000$ dan di bulan kedua $RP12.000$, begitu juga bulan selanjutnya selalu naik $RP2.000$ dari sebelumnya. 

Maka, berapakah jumlah tabungan Dita ketika sudah mencapai $10$ bulan?

Pembahasan:

Contoh soal deret aritmatika dalam kehidupan sehari-hari dapat diselesaikan dengan rumus umum yaitu 

$S_n = \frac{1}{2} n (2a + (n-1) b)$, maka:

$S_{10} = \frac{1}{2} 10 (2(10.000) + (10-1)2.000)$

$S_{10} = 5 (20.000 + (9) 2.000)$

$S_{10} = 5 (20.000 + 18.000)$

$S_{10} = 5 ( 38.000 )$

$S_{10} = 180.000$

Jadi, setelah mencapai $10$ bulan, jumlah tabungan Dita akan menjadi $Rp 180.000$. 

Soal 2

Jika suatu pabrik memiliki produktivitas tinggi dengan kemampuan produksi $1.000$ alat di tahun pertamanya, serta dapat menaikkan nilai produksi tersebut sebesar $200$ alat di tahun-tahun selanjutnya. Lalu, berapa banyak produksi alat pabrik jika sudah di tahun $10$?

Pembahasan:

Dari contoh soal deret aritmatika dalam kehidupan sehari-hari tersebut dapat diketahui $a = 1.000$, $b = 200$ dan $n = 10$, dengan rumus $U_n = a + (n – 1) b$, maka:

$U_n= 1.000 + (n – 1) b$

$U_n= 1.000 + 1.800$ 

$U_n= 2.800$

Sehingga, jumlah produksi pabrik alat tersebut di tahun $10$ sebesar $2.800$ unit alat. 

Soal 3

Seorang petani semangka mengambil buah di sawahnya setiap hari dan selalu mencatat hasil petiknya. Ternyata setelah didata, petani semangka tersebut di hari ke-$n$ memenuhi rumus deret $U_n=50+25n$. Berapa jumlah semangka yang berhasil dipanen ketika mencapai $10$ hari pertama?

Pembahasan:

Dalam soal sudah diketahui $U_n = 50 +25n$, artinya $U_1 = 75$ dan $U_{10} = 300$ (cara hitungnya dengan dimasukkan dalam rumus tersebut). Kemudian hitung nilai $S_n$ dengan rumus 

$S_n = \frac{n}{2} (a + U_n)$, maka:

$S_n = \frac{10}{2} (75 + 300)$

$S_n = 5 ( 375)$

$S_n = 1.875$

Jadi, jumlah buah semangka yang dipanen oleh petani di hari $10$ adalah $1.875$.

Selamat Belajar

Salam Matematika

sumber : pelajaran.co.id, mamikos.com