Integral tak tentu

Pengertian Integral Tak Tentu

Seperti sudah disinggung pada tulisan sebelumnya, integral memiliki kaitan yang erat dengan turunan. Kira-kira kenapa, ya, integral dan turunan saling berkaitan? Ternyata, hal ini karena Integral adalah anti-turunan atau kebalikan dari turunan.

Jika kita memiliki fungsi $f(x)$ lalu mengoperasikan turunan terhadapnya, hasilnya adalah $f’(x)$. Namun, jika kita ingin membalikkan fungsi $f’(x)$ ke fungsi asalnya yaitu $f(x)$, maka kita perlu mengoperasikan integral terhadapnya.

Jika dalam operasi turunan variabel fungsi dikali ke depan dan dikurang satu, pengoperasian integral justru berlaku kebalikannya, nih. Wah, seperti apa, ya? Supaya kamu nggak bingung lagi, yuk simak rumus integral tak tentu di bawah ini. 

Rumus Integral Tak Tentu

Sekarang kamu sudah memahami apa itu integral tak tentu dan hubungannya dengan turunan. Kini, saatnya kamu berkenalan dengan rumus integral tak tentu. Catat, ya!:

$\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$

Agar lebih memahaminya, mari kita coba praktikan ke dalam contoh soal berikut ini. 

Soal: 

Jika $f(x) = x^4$, maka integral $f(x)$ terhadap $dx$ adalah….

Jawab :

$\int x^4 dx=\frac{1}{4+1}x^{4+1}+C=\frac{x^5}{5}+C$

Nah, sekarang sudah jelas ya cara menghitung integral tak tentu dari suatu fungsi. Kamu hanya perlu memasukkan angka-angka pada fungsi ke dalam rumus umum di atas. Akan tetapi, kamu mungkin bertanya-tanya dari mana datangnya huruf $C$ pada hasil pengintegralan tak tentu?

Jawabannya, integral tak tentu tidak memiliki batas atas dan bawah sehingga konstanta yang terdapat pada hasil pengintegralannya belum jelas nilainya.

Sebagai contoh, jika kita turunkan fungsi $f(x) = x^3$, akan diperoleh nilai $f’(x) = 3x^2$. Jika kita turunkan fungsi $f(x) = x^3+10$, akan diperoleh hasil yang sama yaitu $f’(x) = 3x^2$. Begitu juga kalau kita turunkan $f(x) = x^3+15$, hasilnya sama yaitu $f’(x) = 3x^2$.

Dengan demikian, kebalikan atau integral tak tentu dari fungsi $f’(x) = 3x^2$, memiliki banyak kemungkinan yang belum pasti nilainya, bisa $x^3$, $x^3+10$, atau $x^3+15$. Itulah mengapa pada rumus umum integral tak tentu disertai dengan huruf $C$ yang berarti konstanta.

Sifat Integral Tak Tentu

Dalam perhitungan, integral tak tentu memiliki sifat-sifat yang dapat digunakan. Ada tiga sifat integral tak tentu yang dapat mempermudah perhitungan yaitu sebagai berikut:

1. Sifat Pangkat

    $\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$

2. Penjumlahan dan Pengurangan

    $\int [f(x)\pm g(x)]dx=\int f(x)dx\pm g(x)dx$

3. Konstanta

    $\int k.f(x)dx=k \int f(x)dx$

Dengan memahami ketiga sifat integral tak tentu di atas, kamu pasti dapat mengerjakan soal-soal integral tak tentu dengan mudah dan benar.

Contoh Soal Integral Tak Tentu

Agar kamu makin paham dengan materi integral tak tentu, ada beberapa contoh soal integral tak tentu beserta pembahasannya yang dapat kamu pelajari di bawah ini!

Contoh Soal 1

$\int 9x^2 dx=\frac{9}{2+1}x^{2+1}+C$

                 $=\frac{9}{3}x^3+C$

                 $=3x^3+C$

Contoh Soal 2

$\int 6x^3 dx=\frac{6}{3+1}x^{3+1}+C$

                 $=\frac{6}{4}x^4+C$

                 $=\frac{3}{2}x^4+C$

Contoh Soal 3

$\int \frac{3}{x^2} dx=\int 3 x^{-2}dx$

               $=\frac{3}{(-2)+1}x^{(-2)+1}+C$
               $=\frac{3}{-1}x^{-1}+C$
               $=\frac{-3}{x}+C$

Contoh Soal 4

$\int -\frac{6}{x^3} dx=\int -6 x^{-3}dx$

                  $=\frac{-6}{(-3)+1}x^{(-3)+1}+C$
                  $=\frac{-6}{-2}x^{-2}+C$
                  $=\frac{3}{x^2}+C$

Contoh Soal 5

$\int \frac{x^2+1}{\sqrt{x}}dx=\int (\frac{x^2}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}})dx$

                   $=\int (x^{\frac{3}{2}}+x^{-\frac{1}{2}})dx$

                   $=\frac{2}{5}x^2 \sqrt{x} + 2\sqrt{x}+C$

Selamat Belajar

Salam Matematika

sumber : pijar belajar