sumber gambar : mathcyber1997
Dalam kehidupan sehari-hari seringkali kita bertemu dengan masalah-masalah seperti bagaimana dokter harus menentukan dosis minimum untuk suatu obat yang dapat menyembuhkan penyakit tertentu, bagaimana perusahaan harus menentukan biaya pendistribusian barang agar keuntungan maksimum atau bagaimana petani harus memilih kadar pupuk yang pas agar hasil panen maksimum . Masalah tersebut biasanya dirumuskan sebagai masalah menentukan nilai maksimum dan minimum suatu fungsi. Kalkulus menyediakan alat yang bisa digunakan untuk menyelesaikan masalah tersebut.
Maksimum dan minimum fungsi
Jika diberikan sebuah fungsi $f(x)$ dengan daerah asal $S$ , beberapa pertanyaan berikut mungkin muncul : Apakah $f(x)$ memiliki nilai maksimum dan minimum pada $S$, di mana nilai maksimum dan minimum dicapai, dan berapa nilai maksimum dan minimumnya ?
Definisi
Misal $S$ daerah asal dari $f$ dan memuat titik $c$. Dikatakan bahwa :
(1) $f(c)$ nilai maksimum dari $f(x)$ pada $S$ jika $f(c)\geq f(x)$ untuk semua $x$ pada $S$
(2) $f(c)$ nilai minimum dari $f(x)$ pada $S$ jika $f(c)\leq f(x)$ untuk semua $x$ pada $S$
(3) $f(c)$ nilai ekstrim dari $f(x)$ pada $S$ jika $f(c)$ adalah nilai maksimum atau minimum
(4) Fungsi yang akan dicari nilai maksimum dan minimumnya dikatakan fungsi objektif
Perhatikan grafik fungsi $f(x)=\frac{1}{x}$ dan $g(x)=\begin {cases} x& \text{ jika }\ 1\ \le x < 2\\ x-2 & \text{ jika }\ 2\ \le x \le 3 \end{cases}$ berikut ini.
Fungsi $f$ tidak memiliki nilai maksimum dan minimum pada selang buka $(0,\infty)$ , tapi pada selang tutup $[1,3]$ nilai maksimum dari $f$ adalah $f(1)=1$ dan nilai minimum adalah $f(3)=\frac{1}{3}$. Sedangkan fungsi $g$ - yang tidak kontinu pada selang tutup $[1,3]$ - tidak memiliki nilai maksimum pada selang tersebut. Kita bisa membuat dugaan bahwa ada kaitan antara selang dan kekontinuan fungsi dengan eksistensi nilai maksimum dan minimum.
Berikut adalah teorema yang secara intuisi bisa diterima kebenarannya, tapi bukti yang lebih ketat tidak akan kita bahas di sini.
Teorema
Jika $f$ kontinu pada selang tutup $[a,b]$ maka mencapai nilai maksimum dan minimum di selang tersebut
Gambar berikut adalah ilustrasi yang menunjukkan tempat-tempat di mana sustu fungsi mungkin mencapai nilai maksimum dan minimum
titik ujung selang
titik di mana turunan sama dengan $0$
titik di mana fungsi tidak dapat diturunkan
Selanjutnya titik di mana fungsinya bernilai nol di namakan titik stasioner, sedangkan titik di mana fungsinya tidak dapat diturunkan dinamakan titik singular. Titik ujung selang, titik stasioner dan titik singular dinamakan titik-titik kritis.
Titik-titik kritis memegang peran penting dalam menentukan nilai maksimum dan minimum, seperti yang ditunjukkan dalam teorema berikut :
Teorema
( Teorema Titik Kritis )
Misal didefinisikan pada interval $I$ yang memuat $c$. Jika $f(c)$ adalah nilai ekstrim, maka $c$ haruslah titik kritis, yakni
(1) Titik ujung dari $I$
(2) Titik stasioner dari $f$, yakni $f'(c)=0$
(3) Titik singular dari $f$, yakni $f'(c)$ tidak ada
Berdasarkan kedua teorema di atas, untuk mencari nilai maksimum dan minimum dari suatu fungsi kontinu di selang tutup kita dapat melakukan langkah-langkah sebagai berikut :
1. Cari titik-titik kritis dari $f$ pada selang tutup yang diberikan
2. Cari nilai $f$ pada titik-titik kritis
3. Nilai yang paling besar pada langkah ke $2$ menjadi nilai maksimum dan yang paling kecil menjadi nilai minimum
Soal :
Carilah nilai maksimum dan minimum mutlak $f$ pada selang yang diberikan
a. $f(x)=x|x|$ pada $-2\le x \le 1$
b. $f(x)=5^{\frac{2}{3}}-x^{\frac{5}{3}}$ pada $-1\le x \le 5$
Kemonotonan dan Kecekungan
Jika kita mengamati grafik berikut , adalah suatu yang natural jika kita mengatakan $f$ turun di kiri $c$ dan naik di kanan $c$
Definisi persis tentang naik dan turunnya suatu fungsi diberikan sebagai berikut :
Definisi
Misal $f$ didefinisikan pada interval $I$ ( buka, tutup atau bukan keduanya ). Kita katakan bahwa
(i) $f$ naik pada $I$ jika untuk setiap pasangan bilangan $x_1$ dan $x_2$ dalam $I$
$x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$
(i) $f$ turun pada $I$ jika untuk setiap pasangan bilangan $x_1$ dan $x_2$ dalam $I$
$x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1)>f(x_2)$
(ii) $f$ monoton murni pada $I$ jika $f$ naik pada $I$ atau turun pada $I$
Bagaimana kita memutuskan grafik suatu fungsi adalah naik ? Kita dapat saja menggambar grafiknya. Tapi biasanya grafik digambarkan dengan memplot beberapa titik dan menghubungkannya dengan suatu kurva mulus. Siapa yang bisa menjamin bahwa grafik tidak bergoyang diantara titik-titik tersebut ? Kita membutuhkan cara yang lebih baik.
Turunan pertama $f'(x)$ memberikan informasi tentang kemiringan garis singgung terhadap kurva $y=f(x)$ pada titik $x$. Pada interval di mana $f'(x)>0$, garis singgungnya bergerak naik dan jika $f'(x)<0$ garis singgungnya bergerak turun.
Ini bukan bukti tetapi paling tidak membuat teorema berikut masuk akal :
Teorema
( Teorema Kemonotonan)
Misal $f$ dapat didiferensialkan pada titik dalam selang $I$
(i) Jika $f'(x)>0$ untuk semua titik dalam $x$ dari $I$ maka $f$ naik pada $I$
(ii) Jika $f'(x)<0$ untuk semua titik dalam $x$ dari $I$ maka $f$ turun pada $I$
Dengan teorema di atas kita dapat menentukan di mana suatu di mana suatu fungsi naik dan dimana suatu fungsi turun. Selanjutnya misal kita mengetahui dua titik yang dilalui suatu fungsi, dan kita tahu bahwa pada selang tersebut fungsinya naik. Bagaimana kita menghubungkan kedua titik ? Perhatikan ilustrasi berikut :
Ilustrasi tersebut menyarankan kita untuk memperhatikan kecekungan grafik.
Perhatikan gambar berikut :
Pada grafik yang cekung ke atas garis singgung bergerak searah jarum jam ( kemiringan bertambah ) dan pada grafik yang cekung ke bawah garis singgung bergerak berlawanan jarum jam ( kemiringan berkurang ) . Intuisi kita tentunya dapat menerima definisi berikut :
Definisi :
Misal $f$ dapat didiferensialkan pada selang selang buka $I$ . Jika $f'$ naik pada $I$ dikatakan $f$ cekung ke atas di $I$ dan jika $f'$turun pada $I$ dikatakan $f$ cekung ke bawah di $I$
Karena $f"$ adalah turunan dari $f'$, maka dengan mengingat teorema kemonotonan, maka masuk akal jika kemudian kita bisa menerima teorema berikut ( bukti yang lebih ketat tidak akan kita bahas di sini )
Teorema :
( Teorema Kecekungan)
Misal $f$ dapat didiferensialkan dua kali pada selang buka $I$
(i) Jika $f"(x)>0$ untuk semua titik dalam $x$ dari $I$ maka $f$ cekung ke atas pada $I$
(ii) Jika $f"(x)<0$ untuk semua titik dalam $x$ dari $I$ maka $f$ cekung ke bawah pada $I$
Misal $f$ kontinu pada $c$ . Titik $(c,f(c))$ dikatakan titik belok dari grafik $f$ jika $f$ cekung ke atas di satu sisi dari $c$ dan $f$ cekung ke bawah di sisi lainnya. Gambar berikut menunjukkan beberapa kemungkinan :
Dengan mempertimbangkan teorema kecekungan dan ilustrasi di atas maka kita bisa menduga bahwa titik-titik dimana $f"(x)=0$ dan dimana $f"(x)$ tidak adalah calon titik dimana terjadi perubahan kecekungan. Apakah selalu berlaku demikian ?
Perhatikan untuk $f(x)=x^4$ kita punyai $f"(0)=0$ tetapi titik $(0,0)$ bukan titik belok. Ini menyarankan kita dalam menentukan titik belok langkah-langkah yang bisa dilakukan adalah : menentukan semua titik dimana $f"(x)=0$ atau $f"(x)$ tidak ada kemudian pada titik yang demikian, dilihat apakah dikiri kanan titik tersebut $f"(x)$ berbeda tanda.
Soal :
Tentukan dimana fungsi-fungsi berikut naik, turun, cekung ke atas atau cekung ke bawah dan titik beloknya ( jika ada )
a. $f(x)=\frac{x}{1+x^2}$
b. $g(x)=2x^2+ \text{ cos}^2 x$
Selamat Belajar
Salam Matematika
sumber : spada.uns.ac.id
