Ukuran Penyebaran Data

Ukuran Penyebaran Data

Ukuran penyebaran data menunjukkan berapa besar nilai-nilai pada suatu data dengan nilai yang berbeda dan data tersebut memiliki perbedaan yang satu dengan lainnya.

Jangkauan (Range)

Jangkauan atau biasa disebut range adalah selisih antara data terbesar dengan data terkecil. Sedangkan untuk data kelompok, data tertinggi diambil dari nilai tengah interval tertinggi dan data terendah diambil dari nilai tengah interval terendah.

$jangkauan=x_{max}-x_{min}$

$x-{max}=$ nilai terbesar

$x_{min}=$ nilai terkecil

Contoh soal data tunggal :

Diketahui berat badan $10$ pekerja sebagai berikut.

$50, 55, 45, 70, 45, 65, 75, 50, 60, 60$

Hitunglah jangkauan dari data tersebut !

Penyelesaian :

Urutkan supaya bisa tahu nilai terbesar dan terkecilnya :

$45, 45, 50, 50, 55, 60, 60, 65, 70, 75$

Untuk nilai terbesar adalah $75$

untuk nilai terkecil adalah $45$

Jangkauan $= x_{max} – x_{min}$

Jangkauan $= 75 – 45$

jangkauan $= 30$

Jadi, jangkauan dari data di atas adalah $30$

Contoh soal data kelompok :

Diketahui tabel kelas interval :

Tentukan jangkauan dari data di atas !

Penyelesaian :

Untuk menentukan jangkauan pada data kelompok, cari titik tengah pada interval :

Untuk nilai tertinggi adalah $92$

Untuk nilai terendah adalah $52$

Jangkauan $= 92 – 52$

Jangkauan $= 40

Jadi, jangkauan datanya adalah $40$

Simpangan Kuartil

Simpangan kuartil adalah selisih data kuartil terbesar dengan data kuartil terkecil atau selisih antara kuartil atas $(Q3)$ dengan kuartil bawah $(Q1)$, sehingga bisa ditulis dalam bentuk rumus :

Keterangan :

$Q1 =$ kuartil bawah

$Q3 =$ kuartil atas

Simpangan Rata-Rata 

Misal, terdapat data $x_1$, $x_2$, $x_3$, …., $x_4$, maka kita bisa menentukan simpangan rata-rata sehingga didapat urutan data baru, yakni :

$(x_1-\bar x),(x_2-\bar x),(x_3-\bar x),...,(x_n-\bar x)$ 

Dari urutan data tersebut, mungki ada yang positif dan mungkin ada yang negatif. Namun, konsep jarak tidak berpengaruh pada keduanya. Oleh karena itu, dibuatlah harga mutlak sehingga didapat :

$|x_1-\bar x|,|x_2-\bar x|,|x_3-\bar x|,...,|x_n-\bar x|$

Jika nilai data tersebut dijumlahkan dan dibagi banyaknya data, maka didapat simpangan rata-rata seperti :

$SR=\frac{|x_1-\bar x|,|x_2-\bar x|,|x_3-\bar x|,...,|x_n-\bar x|}{n}$

Atau bisa ditulis dalam bentuk sikma seperti :

$SR=\frac{\sum |x_i-\bar x|}{n}$

Keterangan :

$SR =$ Simpangan rata-rata

$x_i =$ nilai data ke-i

$\bar x=$ nilai rata-rata

$n =$ banyaknya data

Rumus di atas adalah simpangan rata-rata untuk data tunggal. Untuk data kelompok atau distribusi mempunyai nilai frekuensi dalam tiap interval suatu data dan nilai tengah yang diperoleh dari kelas interval, sehingga untuk data kelompok diperoleh rumus simpangan rata-rata seperti :

$SR=\frac{\sum f_i |x_i-\bar x|}{\sum n}$

Keterangan :

$SR =$ Simpangan rata-rata

$x_i =$ nilai tengah kelas ke-i

$\bar x=$ nilai rata-rata

$f_i =$ frekuensi kelas ke-i

Contoh :

Perhatikan tabel di bawah ini.

Jika rata-rata $=$ $77,21$, tentukan simpangan rata-rata dari data di atas !

Penyelesaian :

Jadi,

$SR=\frac{\sum f_i |x_i-\bar x|}{\sum n}$

       $=\frac{639,65}{80}$

       $=7,99$

Jadi, simpangan rata-rata adalah $7,99$

Ragam dan Simpangan Baku

Dalam menentukan nilai simpangan rata-rata ada kelemahannya yaitu pada harga mutlak yang berakibat simpangan rata-rata tidak bisa membedakan antara rentang yang lebih besar dan lebih kecil. Cara mengatasi hal tersebut para ahli statistika memakai rumus simpangan baku dengan penggunaan kuadrat pada rentang data, simpangan baku bisa dirumuskan seperti :

$S=\sqrt \frac{\sum f_i (x_i-\bar x)^2}{\sum n}$

Sedangkan untuk rumus ragam data kelompok sama dengan kuadrat dari simpangan baku, dengan rumus seperti :

$S^2= \frac{\sum f_i (x_i-\bar x)^2}{\sum n}$

Keterangan :

$S =$ Simpangan baku

$S^2 =$ Ragam

$f_i =$ frekuensi ke-i

$x_i =$ titik tengah interval

$\bar x =$ rata-rata

$n =$ jumlah total frekuensi

Contoh :

Perhatikan tabel berikut :

Tentukan simpangan baku dan ragam dari data di atas !

Penyelesaian :

Jadi,

Untuk simpangan baku :

$S=\sqrt \frac{\sum f_i (x_i-\bar x)^2}{\sum n}$

  $=\sqrt \frac{12505,38}{80}$

  $=\sqrt {156,31}$

  $=12,5$

Untuk ragam :

$S^2= \frac{\sum f_i (x_i-\bar x)^2}{\sum n}$

      $= \frac{12505,38}{80}$

      $= 156,31$

Selamat Belajar

Salam Matematika

sumber : rumus hitung .com