Pengertian Limit Fungsi
Limit fungsi adalah perilaku suatu fungsi mendekati suatu nilai tertentu.
Jika suatu fungsi memetakan hasil $f(x)$ untuk setiap nilai $x$, maka fungsi tersebut memiliki limit dimana $x$ mendekati suatu nilai untuk $f(x)$.
Rumus Limit Fungsi
Selanjutnya, akan diberikan rumus dari limit fungsi secara umum atau bisa kita sebut sebagai sifat dari limit fungi seperti di bawah ini:
1. $\lim \limits_{x \to c} a=a$
2. $\lim \limits_{x \to c} x=c$
3. $\lim \limits_{x \to c} k.f(x)=k\lim \limits_{x \to c}f(x)$
4. $\lim \limits_{x \to c}[f(x) \pm g(x)]=\lim \limits_{x \to c}f(x) \pm \lim \limits_{x \to c}g(x)$
5. $\lim \limits_{x \to c}[f(x) . g(x)]=\lim \limits_{x \to c}f(x) . \lim \limits_{x \to c}g(x)$
6. $\lim \limits_{x \to c}\frac {f(x)}{g(x)}=\frac {\lim \limits_{x \to c}f(x)}{\lim \limits_{x \to c}g(x)}$, dengan syarat $\lim \limits_{x \to c}g(x) \ne 0$
7. $\lim \limits_{x \to c}[f(x)]^2=[\lim \limits_{x \to c}f(x)]^2$
8. $\lim \limits_{x \to c}\sqrt[3]{f(x)}=\sqrt[3]{\lim \limits_{x \to c}f(x)}$, dengan syarat $\lim \limits_{x \to c}f(x)>0$ jika $k$ genap.
Rumus-rumus yang telah diberikan di atas diharapkan dapat dipahami dengan baik, karena selain relatif mudah rumus-rumus di atas tergolong rumus yang pendek dan sederhana.
Selanjutnya kita akan membahas tentang limit fungsi aljabar dan limit fungsi tak hingga.
Limit Fungsi Aljabar
Sama seperti limit fungsi pada umumnya, limit fungsi aljabar adalah fungsi yang mendekati suatu nilai dimana $x$ mendekati suatu nilai berhingga (dapat dihitung).
Bentuk umum dari limit fungsi aljabar adalah sebagai berikut:
$\lim \limits_{x \to c}f(x)=L$
Dengan $c$ adalah suatu konstanta berhingga.
Agar lebih dapat memahami limit fungsi aljabar, perhatikan contoh soal berikut:
Contoh Soal Limit Fungsi Aljabar
Carilah nilai dari:
1. $\lim \limits_{x \to 2}f(x)=\frac{x^2-4x+4}{x-2}$
Penyelesaian :
$\lim \limits_{x \to 2}f(x)=\frac{x^2-4x+4}{x-2}$
$=\lim \limits_{x \to 2}\frac{(x-2)(x-2)}{x-2}$
$=x-2$$=2-2$
$=0$
2. $\lim \limits_{x \to 27}f(x)=\frac{x^3-27}{x-3}$
Penyelesaian :
$\lim \limits_{x \to 27}f(x)=\frac{x^3-27}{x-3}$
$=\lim \limits_{x \to 27}\frac{(x^2 +3x+9)(x-3)}{x-3}$
$=\lim \limits_{x \to 27}x^2 +3x+9$$=819$
Tips
Dalam mengerjakan soal limit fungsi aljabar, usahakan agar penyebut tidak sama dengan nol.
Salah satu caranya adalah dengan memfaktorkan pembilang dan membaginya dengan penyebut sehingga hasil yang didapatkan tepat.
3. Tentukan hasil dari persamaan limit ini
$\lim \limits_{x \to 4}\frac{x^3-64}{\sqrt x-\sqrt {3 \sqrt x -2}}$
Pembahasan
Dalam mengerjakan soal persamaan limit, kita harus membuktikan hasil persamaan tersebut merupakan bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$.
kita dapat memasukkan $x=4$ ke dalam persamaan tersebut sehingga seperti di bawah ini.
$\lim \limits_{x \to 4}\frac{x^3-64}{\sqrt x-\sqrt {3 \sqrt x -2}}=\frac{64-64}{\sqrt 4-\sqrt {3 \sqrt 4 -2}}=\frac{0}{0}$
Hasil ini menunjukkan jika $x=4$, mengakibatkan persamaan tersebut menjadi tak tentu. Untuk mengerjakan soal tak tentu, kita dapat menggunakan metode perkalian akar sekawan dan pemfaktoran seperti penyelesaian di bawah ini.
$=\lim \limits_{x \to 4}\frac{x^3-64}{\sqrt x-\sqrt {3 \sqrt x -2}}\times \frac{\sqrt x-\sqrt {3 \sqrt x -2}}{\sqrt x-\sqrt {3 \sqrt x -2}}$
$=\lim \limits_{x \to 4}\frac{(x^3-64)(\sqrt x-\sqrt {3 \sqrt x -2}}{x-(3 \sqrt x -2)}$
$=\lim \limits_{x \to 4}\frac{(x^2+4x+16)(\sqrt x-2)(\sqrt x-2)(\sqrt x-{3 \sqrt x -2})}{(\sqrt x -2)(\sqrt x -1)}$
$=\lim \limits_{x \to 4}\frac{(x^2+4x+16)(\sqrt x-2)(\sqrt x-{3 \sqrt x -2})}{(\sqrt x -1)}$
Setelah kita mendapatkan persamaan limit seperti di atas, kita dapat memasukkan nilai $x=4$ ke dalam persamaan tersebut sehingga di dapatkan hasil akhir dari fungsi limit aljabar tersebut.
$=\frac{(x^2+4x+16)(\sqrt x-2)(\sqrt x-{3 \sqrt x -2})}{(\sqrt x -1)}$
$=\frac{(4^2+4x+16)(\sqrt 4 -2)(\sqrt 4-{3 \sqrt 4 -2})}{(\sqrt 4 -1)}$
$=768$
4. Tentukan nilai dari $a+b$ jika diberikan persamaan limit berikut ini
$=\lim \limits_{x \to 4}\frac{x^2+a\sqrt x+b}{x-4}=5$
Pembahasan
Untuk mengerjakan soal di atas, sama seperti pembahasan sebelumnya, kita dapat membuktikan operasi tersebut adalah bentuk tak tentu.
Kita dapat menggunakan dalil L’Hospital pada persamaan tersebut sehingga di dapatkan persamaan baru yaitu
$=\lim \limits_{x \to 4}\frac{x^2 + a \sqrt x + b}{x-4}=\frac{4^2 + a \sqrt 4 + b}{(4-4)}=\frac{2a+b+16}{0}=\frac{0}{0}$, Maka $2a+b+16=0$
Setelah mendapatkan persamaan tersebut, kita dapat menurunkan fungsi limit di atas menjadi seperti di bawah ini.
$=\lim \limits_{x \to 4}\frac{x^2 + a \sqrt x + b}{x-4}=5$
$\xrightarrow{LH}\lim \limits_{x \to 4}\frac{2x+\frac{1}{2\sqrt x}a}{1}=5$
$\frac{2x+\frac{1}{2\sqrt x}a}{1}=5$
$8+\frac{1}{4}a=5$
$\frac{1}{4}a=-3$
$a=-12$
Nilai a kita masukkan pada persamaan awal
$2a+b+16 = 0$ sehingga di dapatkan $b = 8$.
Maka $a+b = -12 + 8 = -4$.
5. Diketahui sebuah persamaan limit trigonometri sebagai berikut, tentukan hasil operasi hitungnya
Selamat Belajar
$=\lim \limits_{x \to 0}\frac{\sqrt{5x^5+4 \text{ sin}^4 x}}{\sqrt {x^2+1}-1}$
Pembahasan
Untuk mengerjakan persamaan limit di atas, kita dapat menggunakan perkalian akar sekawan.
$=\lim \limits_{x \to 0}\frac{\sqrt{5x^5+4 \text{ sin}^4 x}}{\sqrt {x^2+1}-1}\times \frac{\sqrt {x^2+1}+1}{\sqrt {x^2+1}+1}$
$=\lim \limits_{x \to 0}\frac{\sqrt{5x^5+4 \text{ sin}^4 x} \times \sqrt {x^2+1}-1}{x^2}$
Kita dapat memasukkan angka $0$ ke dalam persamaan tersebut.
$=\frac{\sqrt{5.0^5+4 \text{ sin}^4 .0} \times \sqrt {0^2+1}-1}{0^2}$
$=\sqrt 4.(\sqrt 1 +1 )=4$
6. Terdapat sebuah fungsi dengan $f(x) = 3x – p$, dimana $x ≤ 2$ dan $f(x) = 2x + 1$ untuk $x > 2$. Tentukan nilai $p$ agar persamaan limit $\lim \limits_{x \to 2}f(x)$ memiliki nilai…
Pembahasan
Untuk mengerjakan soal ini, kita harus memperhatikan persamaan sisi kanan dan kiri memiliki hasil yang sama sehingga kita dapat menuliskan persamaan limit seperti di bawah ini.
$\lim \limits_{x \to 2^-}f(x)=\lim \limits_{x \to 2^+}f(x)$
$\lim \limits_{x \to 2}(3x-p)=\lim \limits_{x \to 2}(2x-1)$
$3(2)-p=2(2)+1$
$6-p=5$
$p=1$
Untuk membuat persamaan limit $f(x)$ memiliki nilai, maka nilai $p = 1$
7. Jika terdapat persamaan limit trigonometri berikut
$\lim \limits_{x \to 0}\frac{\text{ cos}x-1}{ax \text{ sin}x+b}=1$
Tentukan nilai $a+b$ !
Pembahasan
Untuk menentukan besaran nilai dari $a+b$, seperti biasanya, kita dapat memasukkan $x=0$ untuk memperlihatkan persamaan tersebut dalam bentuk tak tentu.
$\lim \limits_{x \to 0}\frac{\text{ cos}x-1}{ax \text{ sin}x+b}=1$
memasukkan angka $0$ ke dalam persamaan limit tersebut.
$\frac{\text{cos }0-1}{a.0 \text{ sin }0+b}=\frac{0}{0}$
$\frac{1-1}{0+b}=\frac{0}{0}$
Sehingga, didapatkan nilai $0+b = 0$, maka nilai $b=0$. Langkah selanjutnya adalah melakukan perkalian akar sekawan pada persamaan limit di atas.
$\lim \limits_{x \to 0}\frac{\text{ cos}x-1}{ax \text{ sin}x+b}\times \frac{ax \text{ sin}x+b}{ax \text{ sin}x+b}=1$
$\lim \limits_{x \to 0}\frac{\text{ cos}^2x-1}{ax \text{ sin}x+b(\text{ cos }x+1)}=1$
$-\frac{1}{a}\lim \limits_{x \to 0}\frac{\text{ cos}^2x-1}{x \text{ sin}x+b(\text{ cos }x+1)}=1$
Kita dapat mengubah $\text{cos}^2x -1$ menjadi $\text{sin}^2x$
$-\frac{1}{a}\lim \limits_{x \to 0}\frac{\text{ sin}^2x-1}{x \text{ sin}x+b(\text{ cos }x+1)}=1$
Lakukan pemisahan persamaan limit
$-\frac{1}{a}\lim \limits_{x \to 0}\frac{\text{ sin}x}{x}$.$\lim \limits_{x \to 0}\frac{\text{ sin}x}{x}$.$\lim \limits_{x \to 0}\frac{1}{x}=1$
$-\frac{1}{a}.1.1.\frac{1}{\text{cos }0+1}=1$
$-\frac{1}{2a}=1$ ; maka nilai $a=-\frac{1}{2}$
Sehingga nilai $a+b=-\frac{1}{2}+0=-\frac{1}{2}$
Salam Matematika
sumber : rumus pintar.com
