sumber gambar : sma1malteng
Definisi Turunan
Turunan merupakan suatu perhitungan terhadap perubahan nilai fungsi karena perubahan nilai input (variabel).
Turunan dapat disebut juga sebagai diferensial dan proses dalam menentukan turunan suatu fungsi disebut sebagai diferensiasi.
Menggunakan konsep limit yang sudah dipelajari, turunan dapat didefinisikan sebagai :
$f(x)=\lim \limits_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x))}{h}$
turunan tersebut didefinisikan sebagai limit dari perubahan rata-rata dari nilai fungsi terhadap variabel $x$.
Penerapan Turunan
Berikut merupakan beberapa penerapan turunan.
- Turunan dapat diterapkan untuk menghitung gradien dari garis singgung suatu kurva.
- Turunan dapat digunakan untuk menentukan interval dimana suatu fungsi naik atau turun.
- Turunan dapat diterapkan untuk menentukan nilai stasioner suatu fungsi.
- Turunan dapat diterapkan dalam menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan persamaaan gerak.
- Turunan dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan maksimum-minimum.
Rumus Turunan
Berikut merupakan beberapa rumus dasar untuk menentukan turunan.
$f(x) = c$, dengan $c$ merupakan konstanta
Turunan dari fungsi tersebut adalah $f'(x) = 0$.
$f(x) = x$
Turunan dari fungsi tersebut adalah $f'(x) = 1$.
$f(x) = a x^n$
Turunan dari fungsi tersebut adalah $f'(x) = an^{n – 1}$
Penjumlahan fungsi: $h(x) = f(x) + g(x)$
Turunan fungsi tersebut yaitu $h'(x) = f'(x) + g'(x)$.
Pengurangan fungsi: $h(x) = f(x) – g(x)$
Turunan fungsi tersebut adalah $h'(x) = f'(x) – g'(x)$
Perkalian konstanta dengan suatu fungsi $(kf)(x)$.
Turunan fungsi tersebut adalah $k . f'(x)$.
Berikut ini akan dijelaskan mengenai turunan fungsi.
Turunan Fungsi
Misalkan terdapat suatu fungsi $f(x) = ax^n$. Turunan dari fungsi tersebut yaitu $f'(x) = anx^{n – 1}$.
Contoh :
$f(x) = 3x^3$
turunan dari fungsi tersebut yaitu
$f'(x) = 3 (3) x^3 – 1 = 9 x^2$.
Contoh :
$g(x) = -5y^-3$.
Turunan dari fungsi tersebut adalah
$g'(y) = -5 (-3) y^{-3 – 1} = 15y^{-4}$.
Berikut akan dijelaskan turunan fungsi aljabar.
Turunan Fungsi Aljabar
Pembahasan turunan fungsi aljabar pada bagian ini meliputi turunan dalam bentuk perkalian dan turunan dalam pembagian fungsi aljabar.
Turunan fungsi aljabar dalam bentuk perkalian yaitu sebagai berikut.
Misalkan terdapat perkalian fungsi: $h(x) = u(x) . v(x)$.
Turunan dari fungsi tersebut yaitu $h'(x) = u'(x) . v(x) + u(x) . v'(x)$.
Keterangan:
$h(x) :$ fungsi dalam bentuk perkalian fungsi.
$h'(x) :$ turunan fungsi bentuk perkalian
$u(x)$, $v(x) :$ fungsi dengan variabel $x$
$u'(x)$, $v'(x) :$ turunan fungsi dengan variabel $x$
Turunan fungsi aljabar dalam bentuk pembagian yaitu:
Misalkan terdapat perkalian fungsi: $h(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$.
Turunan dari fungsi tersebut adalah
$h'(x) = (u'(x) . v(x) – u(x) . \frac{v'(x))}{v^2(x)}$.
Keterangan:
$h(x) :$ fungsi dalam bentuk perkalian fungsi.
$h'(x) :$ turunan fungsi bentuk perkalian
$u(x)$, $v(x) :$ fungsi dengan variabel $x$
$u'(x)$, $v'(x) :$ turunan fungsi dengan variabel $x$
Turunan Akar
Misalkan terdapat suatu fungsi akar sebagai berikut
$f(x)=\sqrt[b]{x^a}$
Untuk menentukan turunan dari fungsi tersebut, terlebih dahulu kita ubah ke dalam bentuk fungsi perpangkatan. Bentuk fungsi perpangkatannya yaitu : $f(x)=x^{\frac{a}{b}}$
Turunan dari fungsi tersebut yaitu $f'(x) = \frac{a}{b} . x^{(\frac{a}{b}) – 1}$.
Bagaimana jika fungsi berbentuk seperti ini?
$f(x)=\sqrt[b]{g(x)^a}$
Fungsi Akar
Untuk menentukan turunan fungsi di atas, terlebih dahulu diubah ke bentuk perpangkatan.
$f(x) = g(x)^{\frac{z}{b}}$
Turunan dari fungsi tersebut yaitu $f'(x) = \frac{a}{b} . g(x)^{(\frac{a}{b}) – 1} . g'(x)$.
Berikut ini akan dijelaskan mengenai turunan parsial.
Turunan Parsial
Apa itu turunan parsial? Turunan parsial merupakan suatu turunan dari fungsi peubah banyak terhadap suatu peubah, sedangkan peubah yang lain dipertahankan.
Misalkan terdapat suatu fungsi: $f(x, y) = 2xy$, turunan parsial dari fungsi tersebut terhadap variabel $x$ yaitu $fx'(x, y) = 2y$.
Contoh lainnya yaitu, terdapat fungsi $g(x, y) = -3xy^2$
Turunan parsial terhadap variable $y$ yaitu $fy'(x, y) = -6xy$.
Berikutnya akan dijelaskan mengenai turunan implisit.
Turunan Implisit
Turunan implisit ditentukan berdasarkan variabel yang terdapat dalam fungsi.
Suatu fungsi dengan variabel $x$, turunannya : $x \frac{d}{dx}$.
Suatu fungsi dengan variabel $y$, turunannya : $y \frac{d}{dy}. \frac{dy}{dx}$.
Suatu fungsi dengan variabel $x$ dan $y$, turunannya : $xy \frac{d}{dx} + xy \frac{d}{dy} . \frac{dy}{dx}$.
Contoh Soal Turunan
1. Tentukan turunan dari fungsi berikut.
- $f(x) = 8$
- $g(x) = 3x + 5$
- $h(x) = 6x^3$
- $k(x) = 3x^{\frac{5}{3}}$
- $m(x) = (3x^2 + 3)^4$
Pembahasan
- $f'(x) = 0$
- $g'(x) = 3$
- $h'(x) = 6 (3) x^{3 – 1} = 18x^2$
- $k'(x) = 3 (\frac{5}{3}) x^{(\frac{5}{3}) – 1} = 5x^{\frac{2}{3}}$
- $m'(x) = 4 . (3x^2 + 3)^{4 – 1} . 6x = 24x . (3x^2 + 3)^3$
2. Tentukan turunan dari fungsi berikut.
$f(x) = (3x + 2) . (2x^2 – 1)$
Pembahasan
Misal: $u(x) = 3x + 2$ dan $v(x) = 2x^2 – 1$
$f'(x) = u'(x) . v(x) + u(x) . v'(x)$
$f'(x) = 3 . (2x^2 – 1) + (3x + 2) . (4x)$
$f'(x) = 6x^2 – 3 + 12x^2 + 8x = 18x^2 + 8x – 3$
3. Diberikan sebuah fungsi ordo 2 seperti di bawah ini
$f(x)=\frac{x^2+3}{2x+1}$
Tentukan nilai $f(0) + 3f'(1)$
Pembahasan
Untuk mengerjakan soal ini, kita dapat memasukkan nilai $0$ ke dalam fungsi tersebut.
$f(x)=\frac{x^2+3}{2x+1}$
$f(0)=\frac{0^2+3}{2(0)+1}$
$=3$
Setelah Anda, mendapatkan nilai f(0). Kita dapat mengerjakan turunan fungsi hasil bagi menggunakan salah sifat turunan.
$f(x)=\frac{u}{v}$
$f(x)=\frac{u'v - u.v'}{v^2}$
Untuk menggunakan rumus tersebut, kita dapat menggunakan pemisalan dan turunannya seperti di bawah ini.
$u = x^2 + 3$ ; $u' = 2x$
$v = 2x + 1$ ; $v' = 2$
Kemudian, kita bisa memasukkan pemisalan tersebut ke dalam rumus turunan yang sebelumnya serta kita dapat secara langsung memasukkan $f'x(1)$.
$f'(x)=\frac{2x(2x+1)-(x^2+3)2}{(2x+1)^2}$
$f'(1)=\frac{2(1)(2(1)+1)-((1)^2+3)2}{(2(1)+1)^2}$
$f'(1)=\frac{0}{(3)^2}=0$
Maka, hasil $f(0) + 3f'(1) = 3 + 3(0) = 3$
4. Tentukan hasil turunan $f(x) = (x^2 + 2x + 3)(3x + 2)$
Pembahasan
Sama seperti soal sebelumnya, Untuk mengerjakan soal turunan dalam bentuk perkalian, kita dapat menggunakan rumus sifat turunan serta menggunakan pemisalan dalam fungsi tersebut seperti di bawah ini.
$f'(x) = u'v + uv'$
$u = x^2 + 2x + 3$ ; $u' = 2x + 3$
$v = 3x + 2$ ; $v' = 3$
$f'(x) = u’v + uv’$
$f'(x) = (2x+3)(3x + 2) + (x^2 + 2x + 3)(3)$
$f'(x) = 6x^2 + 13x + 6 + 3x^2 + 6x + 9$
$f'(x) = 9x^2 + 19x + 15$
Sehingga bentuk akhir $f'(x)$ adalah $9x^2 + 19x + 15$
5. Jika terdapat $f(x) = (2x-1)^2(x+2)$. Berapakah nilai $f'(2)$
Pembahasan
Untuk mengerjakan soal ini, kita bisa menggunakan sifat turunan fungsi $f'(x) = u’v + v’u$ untuk mendapatkan hasil akhir. Sehingga kita dapat melakukan pemisalan kembali.
$f'(x) = u’v + uv’$
$u= (2x-1)^2 = 4x^2 – 4x + 1$ ; $u' = 8x – 4$
$v = x + 2$ ; $v' = 1$
$f’(x) = u’v + uv’$
$f'(x) = (8x – 4)(x + 2) + (4x^2 – 4x + 1)(1)$ ; kita dapat memasukkan nilai $2$ seperti di soal
$f'(2) = ((8(2) – 4)(2 + 2)) + ((4(2)^2 – 4(2) + 1)(1))$
$f'(2) = ((16-4)(4)) + ((16-8+1)(1))$
$f'(2) = 96 + 9 = 105$
Sehingga nilai akhir $f'(2)$ adalah $105$
6. Tentukan sebuah garis singgung pada kurva $y= -2x^2 + 6x + 7$ yang tegak lurus dengan garis $x – 2y +13 = 0$
Pembahasan
Disebutkan di dalam soal bahwa terdapat $2$ garis yang saling tegak lurus, sehingga kita dapat mengasumsikan bahwa kedua garis memiliki kemiringan tertentu. Kita dapat menentukan nilai $m_1$ dan $m_2$ dari kedua garis.
$m_1$ merupakan slope dari garis $y= -2x^2 + 6x + 7$. Untuk mencari nilai $m_1$, dapat dilakukan dengan cara menurunkan fungsi $y= -2x^2 + 6x + 7$.
$m_1 = y’(x) = -4x + 6$
$m_2$ merupakan slope dari $x – 2y +13$. Untuk mencari nilai $m_2$, kita harus mengubah fungsi tersebut menjadi fungsi $y$.
$x – 2y +13 = 0$
$x + 13 = 2y$
$y = 0,5x + 6.5$
$m_2 = y’(x) = 0,5$
Dikarenakan kedua garis saling tegak lurus, maka nilai $m_1 \times m_2 = -1$.
$m_1 \times m_2 = -1$
$(-4x + 6)0,5 = -1$
$-2x + 3 = -1$
$-2x = -4$
$x = 2$
Kita masukkan ke dalam persamaan $m_1$ sehingga di dapatkan nilai $m_1 = -2$. Setelah menemukan nilai $x$, kita masukkan nilai tersebut ke fungsi $y$ sehingga di dapatkan nilai $y = 11$.
Untuk membuat sebuah garis singgung, rumus yang digunakan adalah $(y-y_1) = m_1(x – x_1)$.
$(y – 11) = -2 (x – 2)$
$y – 11 = -2x +4$
$y = -2x + 15$
Garis singgung adalah $y+2x-15 = 0$
7. Terdapat sebuah box tanpa tutup dengan alas berbentuk persegi memiliki luas sebesar $512$ $ cm^2$. Berapakah panjang rusuk agar volumenya memiliki nilai maksimum
Pembahasan
Pada soal tersebut, dijelaskan bahwa box tidak memiliki tutup. Sehingga, box tersebut terdiri dari $4$ sisi dan $1$ alas. Anggap sisi alas adalah $s$ dan tinggi sisi adalah $t$. Kita dapat menuliskan persamaan box seperti di bawah ini.
$512 =$ luas alas + $4$ sisi box
$512 = s.s + 4.s.t$
$512 = s^2 + 4st$
$512 – s^2 = 4st$
$\frac{128}{s}-\frac{s}{4}=t$
Setelah mendapatkan $t$, kita bisa mencari volume dari box tersebut
$v = s^3 = s^2 . t$
$v=s^2(\frac{128}{s}-\frac{s}{4})$
$v=128s-\frac{s^3}{4}$
Untuk mendapatkan volume maksimum, kita dapat menurunkan persamaan volume di atas
$v’(s) = 0$
$128-3\frac{s^2}{4}=0$
$s^2 = 170,67$ $cm^2$
$s = 13,07$ cm
Sehingga, panjang $s$ yang dibutuhkan agar volumenya maksimum adalah $13,07$ cm.
Selamat Belajar
Salam Matematika
sumber : rumus pintar . com
