Ukuran Pemusatan Data

 

UKURAN TENDENSI SENTRAL

Suatu kumpulan data biasanya memiliki kecenderungan memusat (tendensi sentral) ke sebuah nilai tertentu yang dapat mewakili seluruh data. Nilai tersebut biasanya terletak di pusat data dan disebut nilai sentral (nilai pusat).

Ukuran tendensi sentral yang banyak digunakan adalah :

1. Rata-rata hitung (mean /$\bar{x}$)

a. Data Tunggal

Jika terdapat n buah nilai $x_1$, $x_2$, $x_3$,……,$x_n$ maka

Mean $\bar{x} = x_1 + x_2 + x_3 + ...... + x_n$ atau $\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}$ atau $\bar{x}=\frac{\sum x}{n}$

dengan $\sum x=$ jumlah semua data dan $n =$ banyak data.

Contoh: 

Carilah mean (rata-rata hitung) dari data : 8, 4, 5, 3, 6

Jawab :

$\bar x=\frac{8 + 4 + 5 + 3 + 6}{5}=\frac{25}{5}=5,2$

Untuk data berbobot yaitu apabila setiap $x_i$ mempunyai frekuensi $f_i$ maka mean (rata-rata hitung) adalah : 

$\bar x=\frac{\sum_{i=1}^{k}f_ix_i}{\sum_{i=1}^{k}f_i}$ atau $\bar x=\frac{\sum fx}{\sum f}$

Contoh : 

Hitung mean data nilai fisika $40$ anak berikut :

Penyelesaian

$\bar x=\frac{\sum fx}{\sum f}=\frac{261}{40}=6,5$

b. Data Berkelompok

Untuk menentukan mean (rata-rata hitung) data berkelompok dengan menggunakan rumus berikut :

$\bar x=\frac{\sum_{i=1}^{k}f_ix_i}{\sum_{i=1}^{k}f_i}$ atau $\bar x=\frac{\sum fx}{\sum f}$

Keterangan :

$x_i=x=$  titik tengah interval kelas ke-i

$f_i = f$ = frekuensi pada interval kelas ke-i

$\sum fi=\sum f$ = banyak data ( jumlah semua frekuensi )

Contoh : 

Tentukan mean (rata-rata hitung) dari data berikut :

Penyelesaian

Maka mean $\bar x=\frac{\sum f_i.x_i}{\sum f_i}$

                            $=\frac{1020}{30}$

                            $=34$

c. Mencari mean Data Berkelompok Dengan Rata-rata Sementara ($x_s$)

Caranya dengan terlebih dulu menentukan rata-rata sementara $x_s$ , biasanya diambil dari titik tengah data frekuensi terbesar. Kemudian menghitung besarnya simpangan tiap data terhadap rata-rata sementara dengan rumus $d_i = x_i -\bar x_s$.

Dan mean (rata-rata hitung) sebenarnya diperoleh dengan rumus 

$\bar x =\bar x_s +\frac{\sum f_i d_i}{\sum f_i}$ atau $\bar x =\bar x_s +\frac{\sum f .d}{\sum f}$

Contoh.

Hitung mean (rata-rata) data pada tabel di atas dengan menggunakan rata-rata sementara.

Penyelesaian ;

Maka Mean $\bar x =\bar x_s +\frac {\sum f_i d_i}{\sum f_i}$

                            $=33+\frac{30}{30}$

                            $=34$

2. Nilai tengah (median / $Me$ )

Median adalah nilai yang membagi sekelompok data menjadi dua bagian sama panjang, setelah data diurutkan dari nilai terkecil sampai terbesar (dibuat statistic jajaran).

Notasi Median = $Me$.

a. Median Data Tunggal

• Jika banyak data ganjil maka $Me$ adalah data yang terletak tepat di tengah setelah diurutkan.
• Jika banyak data genap maka $Me$ adalah rata-rata dari dua data yang terletak di tengah setelah diurutkan.

Contoh:

Tentukan Median dari data

• 7, 8, 3, 4, 9, 10, 4
• 5, 7, 3, 8, 5, 6, 10, 9

Penyelesaian ;

• Data diurutkan menjadi 3, 4, 4, 7, 8, 9, 10

            Nilai yang di tengah adalah $7$, maka $Me$ $=$ $7$

• Data diurutkan menjadi 3, 5, 5, 6, 7, 8, 9, 10

            Nilai yang di tengah adalah $6$ dan $7$, maka Median $Me =\frac{6 + 7}{2}= 6,5$

b. Median Data Berkelompok

Median data berkelompok ditentukan dengan menggunakan rumus sebagai berikut:

$Me=Tb+p.\frac{\left ( \frac{i.n}{2}-F \right )}{f}$

dengan 

$Tb =$ tepi bawah kelas Median

$p =$ panjang kelas interval

$n =$ banyak data

$F =$ frekuensi komulatif sebelum kelas $Me$

$f =$ frekuensi pada kelas $Me$

Contoh:

Tentukan Median dari data berikut:

Penyelesaian

Letak median dapat ditetapkan dengan

$\frac {1}{2}n=\frac{60}= 30$ (data ke-$30$ terletak pada kelas ke-$3$; $40 – 49$)

$Tb = 39,5$

$n=\sum f=60$

$p=10$

$F=20$

$f=20$

Maka Median $Me=39,5+10.\frac{\left ( \frac{1}{2}.60-20 \right )}{20}$

                                     $=39,5+10.\frac{\left ( 30-20 \right )}{20}$

                                     $=39,5+10.\frac{10}{20}$
                                     $=39,5+5$

                                     $=44,5$

3. Modus ( Mo )

Modus dari suatu data yang paling sering muncul atau yang memiliki frekuensi terbanyak.

a. Modus Data Tunggal

Contoh:

• Sekumpulan data : 2, 3, 4, 4, 5

            Maka modusnya adalah 4.

• Sekumpulan data : 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 9

            Maka modusnya adalah 3 dan 5.

• Sekumpulan data : 3, 4, 5, 6, 7

            Maka modusnya tidak ada.

b. Modus Data Berkelompok

Untuk menentukan modus data berkelompok digunakan rumus:

$Mo=Tb+p.\left ( \frac{d_1}{d_1+d_2} \right )$

Keterangan:

$Tb =$ tepi bawah kelas modus

$p =$ panjang kelas interval

$d_1 =$ selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelumnya.

$d_2 =$ selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelumnya.

Contoh:

Tentukan modus dari data berikut:

Penyelesaian ;

Frekuensi paling banyak adalah $9$ pada interval $31 – 35$.

Jadi kelas modus pada interval $31 – 35$.

$Tb = 30,5$

$p = 5$

$d_1 = 9 – 8 = 1$

$d_2 = 9 – 6 = 3$

Maka $Mo = 30,5 + 5\left ( \frac{1}{1+3} \right )$

                    $= 30,5 + 1,25$

                    $= 31,75$

Selamat Belajar

Salam Matematika

sumber : file sim pkb