sumber gambar : www.wardayacollege.com
Lingkaran merupakan bangun datar yang memiliki satu sisi lengkung dan membentuk sudut $360^o$. Jarak setiap titik pada sisi luar lingkaran dengan titik pusat lingkaran adalah sama dan disebut dengan jari-jari $(r)$ atau radius. Persamaan lingkaran adalah persamaan matematika dengan dua variabel yang memiliki bentuk lingkaran pada kordinat kartesius. Dalam soal persamaan lingkaran, biasanya terdapat hubungan antara titik pusat dengan titik tertentu pada lingkaran. Mengutip Zenius, terdapat dua aturan yang perlu dipahami dari suatu bentuk persamaan lingkaran, yaitu pusat $(0,0)$ dan $(a,b)$ dengan masing-masing berjari-jari $r$.
Apabila sebuah lingkaran memiliki pusat $(0,0)$ dengan jari-jari $r$, maka bentuk persamaannya $x^2+y^2=r^2$. Jika suatu lingkaran memiliki pusat $(a,b)$ dengan jari-jari $r$, maka bentuk persamaannya $(x-a)^2+(y-b)^2= r^2$.
Contoh Soal
1. Sebuah lingkaran dengan pusat $(1,2)$ dan memiliki jari-jari $5$.
Tentukan persamaan lingkaran tersebut!
Jawaban:
$p = (1,2)$$\rightarrow$ pusat lingkaran $(a,b)$
$r = 5$
Karena pusat lingkarannya $(a,b)$,
digunakan aturan:
$(x-a)^2+(y-b)^2= r^2$
$(x-1)^2+(y-2)^2= 5^2$
Konversi bentuk standar ini ke bentuk umum:
$x^2-2x+1+y^2-4y+4=25$
$x^2+y^2-2x-4y-20=0$
Sehingga, bentuk umum persamaan lingkaran dengan pusat $(2,3)$ dan jari-jari $5$ adalah
$x^2+y^2-2x-4y-20=0$.
2.Tentukan persamaan lingkaran di titik pusat $(4,3)$ dan melalui titik $(0,0)$!
Jawaban:
$a=4$, $b=3$, $x=0$ dan $y=0$
Pertama-tama, tentukan $r^2$ lingkaran dengan menggunakan persamaan berikut:
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
$(0-4)^2+(0-3)^2=r^2$ 1
$6+9=r^2$
$r^2=25$
Jadi, persamaan lingkaran sebagai berikut:
$(x-4)^2+(y-3)^2=25$
3. Persamaan lingkaran $L=(x–5)^2+(y–1)^2=1$ memotong garis $y=1$.
Hitunglah persamaan garis singgung lingkarannya?
Jawaban:
Diketahui persamaan lingkaran $(x–5)^2+(y–1)^2=1$, $y=1$ di titik:
$(x–5)^2+(y–1)^2=1$
$(x–5)^2+(1–1)^2=1$
$(x–5)^2+0=1$
$x–5=1$ atau $x–5=-1$
$x=6$ atau $x=4$
Jadi, terdapat dua titik potong yaitu $(6,1)$ dan $(4,1)$ Kemudian hitung persamaan lingkarannya seperti di bawah ini:
$(x–5)^2+(y–1)^2=1$
$x^2–10x+25+y^2–2y+1=1$
$x^2+y^2–10x–2y+26=1$
$x^2+y^2–10x–2y+25=0$
Perhatikan persamaan garis singgung yang melalui titik $(6,1)$ terhadap lingkaran $L$ yaitu:
$x_{1}.x+y_{1}.y+a(x_{1}+x)+b(y_{1}+y)+c=0$
$6x+y–\frac{1}{2}.10(6+x)\frac{1}{2}.2(1+y)+25=0$
$6x+y–5(6+x)–1(1+y)+25=0$
$6x+y–30–5x–1–y+25=0$
$x–6=0$
$x=6$
Persamaan garis singgung yang melalui titik $(4,1)$ terhadap lingkaran $L$ ialah:
$x_{1}.x+y_{1}.y+a(x_{1}+x)+b(y_{1}+y)+c=0$
$4x+y–\frac{1}{2}.10(4+x)–\frac{1}{2}.2(1+y)+25=0$
$4x+y–5(4+x)–1(1+y)+25=0$
$4x+y–20–5x–1–y+25=0$
$-x+4=0$
$-x=-4$
$x=4$
Jadi, persamaan garis singgung lingkarannya adalah $x=6$ dan $x=4$
Selamat Belajar
Salam Matematika
sumber : https://katadata.co.id
