Invers Fungsi

 

Invers Fungsi

Invers fungsi adalah sebuah fungsi yang berkebalikan dari fungsi asalnya. Misalnya anggap saja $f$ sebuah fungsi dari himpunan $A$ ke himpunan $B$ dan $g$ fungsi dari himpunan $B$ ke himpunan $A$ sedemikian sehingga $g( f(a) ) = a$ dan $f( f(b) ) = b$ untuk setiap $a$ anggota himpunan $A$ dan $b$ anggota himpunan $B$, maka $g$ adalah invers fungsi dari $f$ sehingga bisa ditulis menjadi $f^{-1}$.

Sebelum kita membahas masalah ini secara lebih jauh, akan lebih baik jika kita mengetahui dan mengenali dahulu fungsi yang memiliki invers. Sebuah fungsi $f$ akan mempunyai fungsi invers (kebalikan) $f^{-1}$ jika $f$ adalah fungsi satu-satu dan fungsi pada (bijektif). Bisa juga dinyatakan seperti berikut ini:

$(f^{-1})^{-1} = f$

Contohnya $f$ adalah fungsi yang memetakan $x$ ke $y$, sehingga bisa dituliskan menjadi $y = f(x)$, maka $f^{-1}$ merupakan fungsi yang memetakan $y$ ke $x$, ditulis $x = f^{-1}(y)$.

Ada 3 tahapan untuk menentukan fungsi invers, yaitu:

1. Ubah bentuk $y = f(x)$ menjadi bentuk $x = f(y)$.
2. Tuliskan $x$ sebagai $f^{-1}(y)$ sehingga $f^{-1}(y) = f(y)$.
3. Ganti variabel $y$ dengan $x$ sehingga didapatkan rumus fungsi invers $f^{-1}(x)$.

Contoh:

Misalkan $f(x) = y$, maka

$f(x)=\frac{6x-3}{x+2}$

$y (x +2) = 6x – 3$

$xy +2y = 6x – 3$

$xy – 6x= -3 – 2y$

$x (y – 6) = -3 – 2y$

$x=\frac{-3-2y}{y-6}$

$x=\frac{-(-3-2y)}{-(y-6)}$

$x=\frac{3+2y}{-y+6}$

$f^{-1}(y)=\frac{3+2y}{-y+6}$

Berdasarkan persamaan akhir di atas dapat disimpulkan bahwa fungsi invers dari $f(x)$ adalah

$f^{-1}(x)=\frac{3+2x}{-x+6}$

Selain dengan persamaan di atas, ada cara yang lebih singkat untuk bisa menemukan invers dari sebuah fungsi. Yaitu dengan rumus. Kamu akan bisa dengan mudah menentukan suatu fungsi invers, yaitu seperti ini:

$f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}\rightarrow f^{-1}(x)=\frac{-dx+b}{cx-a},X\neq \frac{a}{c}$

Contoh Soal :

1. Tentukan invers fungsi dari fungsi $f(x)$ di bawah ini:

    $f(x)=\frac{6x-3}{x+2}$

    Penyelesaian :

    $f(x)=\frac{6x-3}{x+2}$

    $f^{-1}(x)=\frac{-2x-3}{x-6}$

    $f^{-1}(x)=\frac{-(-2x-3)}{-(x-6)}$

    $f^{-1}(x)=\frac{2x+3}{-x+6}$

                   $=\frac{3+2x}{6-x}$

2. Tentukan invers fungsi dari fungsi $f(x)$ di bawah ini:

    $f(x)=\frac{5x-4}{x+3}$

    Penyelesaian :

    $f(x)=\frac{5x-4}{x+3}$

    $f^{-1}(x)=\frac{-3x-4}{x-5}$

    $f^{-1}(x)=\frac{-(-3x-4)}{-(x-5)}$

    $f^{-1}(x)=\frac{3x+4}{-x+5}$

                   $=\frac{4+3x}{5-x}$

3. Tentukan fungsi invers dari $f(x) = 2x^2 + 5$!

Penyelesaian:

$f(x) = 2x^2 + 5$  $= 2x^2 + 5$

                 $y-5 = 2x^2$

                 $\frac{y-5}{2} = x^2$

                     $x = \sqrt{\frac{y-5}{2}}$

        $f^{-1}(x) = \sqrt{\frac{y-5}{2}}$

4. Tentukan fungsi invers dari $g(x) = \frac{2x – 1}{6}$!

Penyelesaian:

$g(x) = \frac{2x – 1}{6}$

     $y = \frac{2x – 1}{6}$

   $6y = 2x – 1$

$6y+1 = 2x$

      $x = \frac{6y+1}{2}$

$g^{-1}(x) = \frac{6x+1}{2}$

untuk lebih memahami fungsi invers, silahkan kamu simak video berikut ini

Selamat Belajar

Salam Matematika

sumber : kelaspintar.id