A. Faktorial
Ada bendera dari $4$ negara yaitu negara $A$, $B$, $C$ dan $D$, keempat bendera tersebut akan dipasang secara berjajar. Tentukan banyaknya susunan bendera tersebut.
Menggunakan aturan perkalian, kita dapat menggunakan $4$ tempat. Posisi pertama dapat diisi $4$ bendera. Posisi kedua dapat diisi oleh $3$ bendera, karena satu bendera sudah dipasang. Posisi ketiga dapat diisi $2$ bendera dan posisi keempat dapat diisi $1$ bendera.
Sehingga banyaknya susunan bendera yang mungkin adalah : $4 \times 3 \times 2 \times 1$, yaitu $24$. Karena banyaknya perhitungan bentuk $4 \times 3 \times 2 \times 1$ atau $n \times (n-1) \times (n-2) \times ...\times 3 \times 2 \times 1$ maka bentuk perhitungan tersebut dibuatkan notasi sendiri yang disebut Faktorial, ditulis $n!$ (dibaca $n$ faktorial)
$5!= 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$
$6!= 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$
sehingga
$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times...\times 3 \times 2 \times 1$
$1! = 1$
$0! = 1$ (didefinisikan tersendiri)
Contoh:
Nilai dari $3!$ Dan $4!$ adalah ....
Penyelesaian:
$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$
$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$
B. Permutasi
Secara umum banyaknya permutasi dari $n$ objek diambil $r$ objek dinotasikan $nPr$ atau $P(n,r)$
$P(n,r) = \frac{n!} {(n-r)!}$
Dengan catatan $r ≤ n$
Yang harus diperhatikan dalam permutasi adalah dalam permutasi Urutan Sangat diperhatikan $(ab ≠ ba).$
Notasi $n!$ dibaca $n$ faktorial.
Untuk setiap $n$ bilangan asli didefinisikan:
$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times (n-3) \times … \times 3 \times 2\times1$
catatan: $1! = 1$ dan $0! = 1$
Contoh 1 (permasalahan Permutasi):
Berapakah banyaknya permutasi dari $6$ unsur yang diambil $4$?
Jawab:
$n = 6$ dan $r = 4$, maka:
$P(6,4) = \frac{n!}{(n-r)!}=\frac{6!}{(6-4)!} = \frac{(6.5.4.3.2.1)}{(2.1)} = 360$
Contoh 2:
Berapakah banyaknya bilangan yang terdiri dari $2$ angka yang dibentuk dari angka-angka $3,4$ dan $5$ ?
Jawab:
$P(3,2) = \frac{3!}{(3-2)!} = 6$ bilangan
PERMUTASI YANG MEMUAT BEBERAPA UNSUR YANG SAMA
Banyaknya permutasi dari $n$ objek yang memuat $k , l,$ dan $m$ objek yang sama diambil semua, maka banyaknya permutasi adalah:
$P$ = \frac{n!}{(k! × l! × m!)}
Contoh:
Ada berapakah banyaknya kata yang dapat dibentuk dari huruf $S$, $A$, $S$ ?
Jawab:
$n = 3$, huruf $S = 2$, huruf $A = 1$
$P = \frac{3!}{2!} = 3$ , yaitu kata $SAS$, $SSA$ dan $ASS$.
jika permutasi dari $n$ objek yang memuat $k , l$, dan $m$ objek yang sama diambil $r$ objek. maka banyaknya permutasi adalah:
$P = \frac{n! }{[(n-r)! (k! × l! × m!)]}$
Contoh:
Ada berapakah banyaknya kata yang terdiri dari $2$ huruf yang dapat dibentuk dari huruf $S, A, S$ ?
Jawab:
$n = 3$, $r = 2$ , huruf $S = 2$, huruf $A = 1$
$P = \frac{3!}{[(3-2)!×2!]} = 3$ , yaitu kata $SA$, $SS$ dan $AS$.
PERMUTASI SIKLIS
Permutasi dari n objek yang berbeda disusun secara melingkar adalah:
$P(siklis) = (n - 1) !$
Contoh:
Angga, Ana, Rizka, dan Frida akan mengadakan belajar bersama pada sebuah meja bundar. Ada berapa cara mereka dapat duduk mengelilingi meja tersebut?
Jawab:
$n = 4$
maka;
$P= (4-1)! = 3! = 6$ cara
Baca Juga cara mudah membedakan permutasi dengan kombinasi
Selamat Belajar
Salam Matematika
sumber : m4th-lab
