permutasi

 

A. Faktorial

Ada bendera dari $4$ negara yaitu negara $A$, $B$, $C$ dan $D$, keempat bendera tersebut akan dipasang secara berjajar. Tentukan banyaknya susunan bendera tersebut.

Menggunakan aturan perkalian, kita dapat menggunakan $4$ tempat. Posisi pertama dapat diisi $4$ bendera. Posisi kedua dapat diisi oleh $3$ bendera, karena satu bendera sudah dipasang. Posisi ketiga dapat diisi $2$ bendera dan posisi keempat dapat diisi $1$ bendera.

Sehingga banyaknya susunan bendera yang mungkin adalah : $4 \times 3 \times 2 \times 1$, yaitu $24$. Karena banyaknya perhitungan bentuk $4 \times 3 \times 2 \times 1$ atau $n \times (n-1) \times (n-2) \times ...\times 3 \times 2 \times 1$ maka bentuk perhitungan tersebut dibuatkan notasi sendiri yang disebut Faktorial, ditulis $n!$ (dibaca $n$ faktorial)

$5!= 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

$6!= 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$

sehingga

$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times...\times 3 \times 2 \times 1$

$1! = 1$

$0! = 1$ (didefinisikan tersendiri)

Contoh:

Nilai dari $3!$ Dan $4!$ adalah ....

Penyelesaian:

$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

B. Permutasi

Secara umum banyaknya permutasi dari $n$ objek diambil $r$ objek dinotasikan $nPr$ atau $P(n,r)$

$P(n,r) = \frac{n!}  {(n-r)!}$

Dengan catatan $r ≤ n$

Yang harus diperhatikan dalam permutasi adalah dalam permutasi Urutan Sangat diperhatikan $(ab ≠ ba).$

Notasi $n!$ dibaca $n$ faktorial.

Untuk setiap $n$ bilangan asli didefinisikan:

$n! = n \times (n-1) \times  (n-2) \times (n-3) \times … \times 3 \times 2\times1$

catatan: $1! = 1$ dan $0! = 1$

Contoh 1 (permasalahan Permutasi):

Berapakah banyaknya permutasi dari $6$  unsur yang diambil $4$?

Jawab:

$n = 6$ dan $r = 4$, maka:

$P(6,4) = \frac{n!}{(n-r)!}=\frac{6!}{(6-4)!} = \frac{(6.5.4.3.2.1)}{(2.1)} = 360$

Contoh 2:

Berapakah banyaknya bilangan yang terdiri dari $2$ angka yang dibentuk dari angka-angka $3,4$ dan $5$ ?

Jawab:

$P(3,2) = \frac{3!}{(3-2)!} = 6$ bilangan

PERMUTASI YANG MEMUAT BEBERAPA UNSUR YANG SAMA

Banyaknya permutasi dari $n$ objek yang memuat $k , l,$ dan $m$ objek yang sama  diambil semua, maka banyaknya permutasi adalah:

$P$ = \frac{n!}{(k! × l! × m!)}

Contoh:

Ada berapakah banyaknya kata yang dapat dibentuk dari huruf $S$, $A$, $S$ ?

Jawab:

$n = 3$, huruf $S = 2$, huruf $A = 1$

$P = \frac{3!}{2!} = 3$ , yaitu kata $SAS$, $SSA$ dan $ASS$.

jika permutasi dari $n$ objek yang memuat $k , l$, dan $m$ objek yang sama  diambil $r$ objek. maka banyaknya permutasi adalah:

$P = \frac{n! }{[(n-r)! (k! × l! × m!)]}$

Contoh:

Ada berapakah banyaknya kata yang terdiri dari $2$ huruf  yang dapat dibentuk dari huruf $S, A, S$ ?

Jawab:

$n = 3$, $r = 2$ ,  huruf $S = 2$, huruf $A = 1$

$P = \frac{3!}{[(3-2)!×2!]} = 3$ , yaitu kata $SA$, $SS$ dan $AS$.

PERMUTASI  SIKLIS

Permutasi dari n objek yang berbeda disusun secara melingkar adalah:

$P(siklis) = (n - 1) !$

Contoh:

Angga, Ana, Rizka, dan Frida akan mengadakan belajar bersama pada sebuah meja bundar. Ada berapa cara mereka dapat duduk mengelilingi meja tersebut?

Jawab:

$n = 4$

maka;

$P= (4-1)! = 3! = 6$ cara

Baca Juga cara mudah membedakan permutasi dengan kombinasi

Selamat Belajar

Salam Matematika

sumber : m4th-lab