sumber gambar : rumusrumus.com
Permutasi dan kombinasi adalah dua cara berbeda untuk menyusun suatu himpunan. Tidak jarang kita bingung dalam membedakan keduanya. Ketika urutan diperhatikan, itulah permutasi. Ketika urutan tidak diperhatikan, itulah kombinasi.
Mari kita pahami bersama apa perbedaan permutasi dan kombinasi dengan contoh berikut:
Terdapat suatu lomba dengan dua babak yaitu babak penyisihan dan babak final. Pada babak penyisihan dipilih $5$ peserta terbaik yang akan melanjutkan ke babak final, pemilihan ini dapat disebut sebagai kombinasi, karena posisi $ke-1$, $ke-2$, $ke-3$, $ke-4$, dan $ke-5$ dari $5$ peserta yang dipilih tidak diperhatikan.
Selanjutnya pada babak final akan dipilih juara $1$, juara $2$, dan juara $3$, pemilihan ini disebut sebagai permutasi, karena dari $3$ peserta yang dipilih sebagai juara, posisi $ke-1$, $ke-2$, dan $ke-3$ dari $3$ peserta yang dipilih diperhatikan.
Lalu bagaimana cara menghitung banyaknya susunan yang mungkin dari permutasi dan kombinasi pada contoh di atas?
Yuk simak penjelasannya di bawah ini!
Pengertian Permutasi dan Kombinasi
Apa itu permutasi?
Permutasi adalah pengaturan sebagian atau seluruh himpunan dalam urutan tertentu (urutan elemen diperhatikan).
Terdapat dua macam permutasi:
1. Pengulangan dibolehkan: contohnya adalah kunci pin pada gawai sobat, angkanya bisa saja $2-4-4-9$.
2. Pengulangan tidak dibolehkan: contohnya adalah tiga pembalap pertama yang melewati garis akhir, tidak mungkin satu pembalap menjadi juara $1$ dan juara $2$ secara bersamaan.
Apa itu kombinasi?
Kombinasi adalah proses pemilihan elemen dari himpunan, dimana urutan pemilihan elemen tidak diperhatikan.
Terdapat dua macam kombinasi:
1. Pengulangan dibolehkan: contohnya ketika sobat mengambil $3$ bola dari suatu wadah yang berisi $3$ bola merah dan $3$ bola biru, bisa saja terambil $2$ bola merah dan $1$ bola biru.
2. Pengulangan tidak dibolehkan: contohnya ketika sobat pintar memilih $2$ orang dari kelompok beranggotakan $5$ orang. Tidak mungkin orang pertama dan orang kedua adalah $1$ orang yang sama.
Setelah Sobat Pintar tahu pengertian dari masing-masing permutasi dan kombinasi, apakah Sobat Pintar sudah tahu apa yang membedakan permutasi dan kombinasi? Untuk melihat lebih jelas perbedaannya yuk lanjut ke perbedaan permutasi dan kombinasi.
Perbedaan Permutasi dan Kombinasi
Perbedaan utama antara permutasi dan kombinasi adalah permutasi memperhatikan urutan elemen yang dipilih, sedangkan kombinasi tidak memperhatikan urutan elemen yang dipilih.
Agar lebih jelas tentang perbedaan antara permutasi dan kombinasi, Sobat Pintar bisa cek tabel contoh berikut.
| Permutasi | Kombinasi |
|---|---|
| Menyusun kata sandi | Memilih kelompok |
| Memilih pemenang dengan juara bertingkat (juara 1, 2, dan 3) | Memilih peserta yang lolos untuk babak selanjutnya |
| Menyusun susunan organisasi (ketua, sekretaris, bendahara) | Memilih delegasi |
| Menentukan posisi tempat duduk pada meja | Mengambil dua bola dari wadah |
Setelah mengetahui pengertian serta perbedaan dari permutasi dan kombinasi, yuk kita lanjutkan ke perhitungan matematika dari permutasi dan kombinasi.
Rumus Permutasi dan Kombinasi
Sebelum lanjut ke rumus permutasi dan kombinasi, Sobat Pintar masih ingat dengan faktorial?
$n!=n\times (n-1)\times (n-2)\times (n-3)\times ...\times 1$
dengan n bilangan bulat positif
Faktorial dilambangkan dengan ‘!’ adalah salah satu perhitungan dasar matematika yang berkaitan erat dengan permutasi dan kombinasi nih, Sobat.
Kalau sudah ingat faktorial, mari kita lanjut ke rumus permutasi. Secara umum rumus permutasi adalah sebagai berikut.
$P_{r}^{n}=\frac{n!}{(n-r)!}$
Keterangan
$P_{r}^{n}$ = banyaknya permutasi
$n$ = banyaknya elemen himpunan keseluruhan
$r$ = banyaknya elemen himpunan yang diamati
Selain rumus permutasi umum di atas, ada juga rumus permutasi siklik yang bisa digunakan untuk soal semacam contoh soal 3. Berikut rumus dari permutasi siklik.
$P_{siklik}^{n}=(n-r)!$
Keterangan
$P_{siklik}^{n}$ = banyaknya permutasi
$n$ = banyaknya elemen himpunan keseluruhan
$r$ = banyaknya elemen himpunan yang diamati
Terakhir ada rumus permutasi dengan unsur yang sama, dimana rumus ini digunakan ketika terdapat elemen yang sama pada himpunan keseluruhan
$P_{unsur sama}=\frac{n!}{a!\times b!\times c! ...}$
Keterangan
$P_{unsur sama}$ = banyaknya permutasi
$n$ = banyaknya elemen himpunan keseluruhan
$r$ = banyaknya elemen himpunan yang diamati
Selanjutnya adalah rumus kombinasi secara umum
$C_{r}^{n}=\frac{n!}{r!(n-r)!}$
Keterangan
$C_{r}^{n}$ = banyaknya kombinasi
$n$ = banyaknya elemen himpunan keseluruhan
$r$ = banyaknya elemen himpunan yang diamati
Untuk memahami permutasi dan kombinasi lebih dalam Sobat Pintar bisa simak contoh soal yaa!
Contoh Soal Permutasi dan Kombinasi
Untuk mempertajam kemampuan Sobat Pintar, yuk perhatikan beberapa contoh soal permutasi dan kombinasi berikut!
Contoh soal 1
Dalam suatu kelompok terdapat 6 orang. Jika 2 orang diantaranya akan melakukan presentasi di depan kelas, berapa banyak susunan yang mungkin untuk memilih dua orang tersebut?
Pembahasan:
Karena dari 2 orang yang dipilih tidak memperhatikan urutan, maka soal ini dapat diselesaikan dengan rumus kombinasi, dengan n=6 dan r=2
Selamat Belajar, Semoga Sukes
Salam Matematika
sumber : akupintar.id
