kombinasi

 

Kombinasi adalah menggabungkan beberapa objek dari suatu kumpulan tanpa memperhatikan urutannya.

Karena tidak memperhatikan urutan maka disinilah letak perbedaan antara kombinasi dan permutasi.

Pada kombinasi, susunan $XY$ sama saja dengan susunan $YX$, sedangkan pada permutasi susunan $XY$ dan $YX$ dianggap susunan yang berbeda.

Lambang notasi dari kombinasi adalah $C$. Jika disebutkan $n$ kombinasi $r$, maka dapat ditulis menjadi 

$^nC_k$ . Rumus kombinasi adalah sebagai berikut.

$^nC_k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

Notasi $!$ adalah faktorial

Untuk pemahaman lebih lanjut, berikut ini diberikan sebuah contoh soal tentang kombinasi.

Contoh 1

Sebuah perusahaan yang bergerak di bidang konstruksi memiliki $4$ orang ahli statistik. Salah satu kegiatan dari perusahaan tersebut adalah melakukan survei kualitas bangunan yang pernah dikerjakannya. Jumlah ahli statistik yang dibutuhkan untuk kegiatan survei adalah $2$ orang. Berapa cara menentukan $2$ dari empat $4$ orang ahli statistik yang dibutuhkan?

Jawab:

Banyaknya cara memilih $2$ orang dari $4$ orang dapat dihitung menggunakan rumus kombinasi. Pada soal di atas dapat kita ketahui $k=2$ dan $n=4$.

$^nC_k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

            $=\frac{4!}{2!(4-2)!}$

            $=6$

Sehingga banyaknya pemilihan yang bisa dilakukan adalah $6$ cara.

Contoh 2

Di sebuah sanggar tari terdapat $15$ orang penari, yaitu $9$ penari laki-laki dan $6$ penari perempuan. Sanggar tari tersebut membuat sebuah tari kreasi baru yang membutuhkan $5$ penari laki-laki dan $3$ penari perempuan. Berapakah banyaknya cara yang dapat diambil untuk menentukan komposisi penari yang ikut tari kreasi tersebut?

Jawab:

Dari soal tersebut dapat kita ketahui bahwa $n=15$, $n_1=9$, $n_2=6$, $k_1=5$, $k_2=3$. Dengan menggunakan rumus kombinasi, maka kita dapat menyelesaikan permasalahan tersebut.

$^{n1}C_{k1} \times^{n2}C_{k2}=\frac{n_1!}{k_1!(n_1-k_1)!}\times \frac{n_2!}{k_2!(n_2-k_2)!}$

                               $=\frac{9!}{5!(9-5)!}\times \frac{6!}{3!(6-3)!}$

                               $=\frac{9!}{5!.4!}\times \frac{6!}{3!.3!}$

                               $=126\times20$

                               $=2520$

Cara yang dapat diambil untuk menentukan komposisi penari yang ikut tari kreasi $2520$ cara.

Contoh 3

Sebuah kotak berisi $3$ bola putih, $4$ bola merah, dan $5$ bola biru. Tiga bola diambil secara acak dari dalam kotak tersebut. Hitunglah peluang bahwa :

1. Terpilih paling banyak satu bola berwarna putih,
2. Masing-masing warna terwakili ($1$ bola putih, $1$ bola merah, dan $1$ bola biru),
3. Jika bola diambil satu per satu tanpa pengembalian, tentukan peluang dimana bola terambil pertama adalah putih, kedua adalah merah, dan ketiga adalah biru!

Jawab:

Diketahui $n=12$, $n_1 =3$, $n_2=4$ dan $n_3 =5$. Misalkan jumlah bola putih terpilih dinotasikan dengan

$x$, jumlah bola merah terpilih dinotasikan dengan $y$ dan jumlah bola biru terpilih dinotasikan dengan $z$.

Jawaban 3.1

Terpilih paling banyak satu bola berwarna putih artinya bola putih bisa terpilih $1$ atau tidak terpilih sama sekali $(0)$. Dengan demikian peluangnya adalah :

$P(x\leq 1)=P(x=0)+P(x=1)$

                     $=\frac{(^{n1}C_{0})(^{n2+n3}C_{3})}{(^nC_3)}+\frac{(^{n1}C_{1})(^{n2+n3}C_{2})}{(^nC_3)}$

                     $=\frac{(^{3}C_{0})(^{9}C_{3})}{(^{12}C_3)}+\frac{(^{3}C_{1})(^{9}C_{2})}{(^{12}C_3)}$

                     $=\frac{84}{220}+\frac{108}{220}$

                     $=0,8727$

Jawaban 3.2

Jika masing-masing warna terwakili, maka peluangnya adalah

$P(x=1, y=1, z=1)=\frac{(^{n1}C_1).(^{n2}C_1).(^{n3}C_1)}{^{n}C_3}$

                                       $=\frac{(^{3}C_1).(^{4}C_1).(^{5}C_1)}{^{12}C_3}$

                                       $=\frac{3\times4\times5}{220}$

                                       $=0,2727$

Jawaban 3.3

Jumlah bola sebelum pengambilan adalah $12$. Pada pengambilan pertama, peluang terambilnya bola putih adalah :

$P(x)=\frac{n_1}{n}=\frac{4}{12}=\frac{1}{4}$

Bola yang tersisa dari hasil pengambilan pertama adalah $11$, yaitu $2$ bola putih, $4$ bola merah dan $5$ bola biru. Peluang terpilih bola merah pada pengambilan kedua adalah :

$P(y \mid x)=\frac{n_2}{n-1}=\frac{4}{12-1}=\frac{4}{11}$

Selanjutnya bola yang tersisa adalah $10$, yaitu $2$ bola putih, $3$ bola merah dan $5$ bola biru. Peluang terpilih bola biru pada pengambilan ketiga adalah :

$P(z \mid y \mid x)=\frac{n_3}{n-2}=\frac{5}{12-2}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$

Dengan demikian peluang terambil bola pertama adalah putih, kedua adalah merah, dan yang ketiga adalah biru adalah :

$P(x=1, y=1, z=1)=P(y \mid x)+P(y \mid x)+P(z \mid y \mid x)$

                                                   $=\frac{1}{4}+\frac{4}{11}+\frac{1}{2}$

                                                   $=0,0455$

Selamat Belajar

Salam Matematika

sumber : rumusstatistik