Jarak titik dengan bidang

Perhatikan gambar berikut!

Dari titik $A$ dibuat garis $g$ tegak lurus bidang. Syarat sebuah garis tegak lurus bidang adalah minimal tegak lurus dengan dua garis pada bidang tersebut. Garis $g$ memotong bidang di titik $P'$, maka $P'$ merupakan proyeksi tegak lurus titik $P$ pada bidang.Jarak titik $P$ pada bidang sama dengan panjang ruas garis $PP'$.

Contoh:

Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $10$ cm.

Tentukan jarak:

1. titik $A$ ke bidang $EFGH$

2. titik $A$ ke bidang $BDHF$

3. titik $A$ ke bidang $BDE$

4. titik $A$ ke bidang $CFH$

Alternatif penyelesaian:

1. Jarak titik A ke bidang EFGH

Proyeksi tegak lurus titik $A$ pada bidang $EFGH$ adalah titik $E$. Sehingga, jarak titik $A$ ke bidang $EFGH$ sama dengan panjang ruas garis $AE$, yaitu $10$ cm.

2. Jarak titik $A$ ke bidang $BDHF$

Perhatikan gambar proyeksi titik $A$ pada bidang $BDHF$.

Garis $AC$ tegak lurus $BD$ dan $A'H$, maka garis $AC$ dipastikan tegak lurus bidang $BDHF$. Sehingga $A'$ merupakan proyeksi tegak lurus $A$ ke bidang $BDHF$, dan jarak titik $A$ ke bidang $BDHF$ sama dengan panjang $AA'$.

$AA'=\frac{1}{2}AC$

           $=\frac{1}{2}\times 10\sqrt{2}$

           $=5\sqrt{2}$

Jadi jarak titik $A$ ke bidang $BDHF=5\sqrt{2}$ cm

3. Jarak titik $A$ ke bidang $BDE$

Perhatikan gambar proyeksi titik $A$ ke bidang $BDE$!

Bidang $ACGE$ dan bidang $BDE$ berpotongan saling tegak lurus di sepanjang garis $PE$. Dapat dipastikan proyeksi titik $A$ ke bidang $BDE$ terletak disepanjang garis $PE$, misal di titik $A'$. Dengan demikian jarak titik $A$ ke bidang $BDE$ sama dengan panjang $AA'$. Untuk menentukan panjang $AA'$ dapat digunakan konsep luas pada segitiga $APE$.

$L_{APE}=L_{APE}$

$\frac{1}{2}\times EP \times AA'=\frac{1}{2}\times AP \times AE$

$\frac{1}{2}\times \sqrt{AP^2+AE^2} \times AA'=\frac{1}{2}\times AP \times AE$

$\frac{1}{2}\times \sqrt{(5\sqrt{2})^2+10^2} \times AA'=\frac{1}{2}\times 5\sqrt{2} \times 10$

$\frac{1}{2}\times \sqrt{50+100} \times AA'=\frac{1}{2}\times 5\sqrt{2} \times 10$

$\frac{1}{2}\times 5\sqrt{6}\times AA'=\frac{1}{2}\times 5\sqrt{2} \times 10$

$\sqrt{6}\times AA'=\sqrt{2} \times 10$

$AA'=\frac{\sqrt{2} \times 10}{\sqrt{6}}$

$AA'=\frac{10}{3}\sqrt{3}$

Jadi jarak titik $A$ ke bidang $BDE=\frac{10}{3}\sqrt{3}$ cm

4. Jarak titik $A$ ke bidang $CFH$

Perhatikan gambar proyeksi titik $A$ pada bidang $CFH$ di bawah ini!

Bidang $ACGE$ memotong tegak lurus bidang $CFH$ di sepanjang garis $CP$, sehingga dapat dipastikan proyeksi titik $A$ pada bidang $CFH$ di titik $A'$. Sehingga jarak titik $A$ ke bidang $CFH$ sama dengan panjang $AA'$. Untuk menghitung panjang $AA'$ digunakan konsep luas segitiga $ACP$.

$L_{ACP}=L_{ACP}$

$\frac{1}{2}\times CP\times AA'=\frac{1}{2}\times AC\times PQ$

$\frac{1}{2}\times 5\sqrt{6}\times AA'=\frac{1}{2}\times 10\sqrt{2}\times 10$

$5\sqrt{6}\times AA'=10\sqrt{2}\times 10$

$AA'=\frac{10\sqrt{2}\times 10}{5\sqrt{6}}$

$AA'=\frac{20}{3}\sqrt{3}$

Jadi jarak titik $A$ ke bidang $CFH=\frac{20}{3}\sqrt{3}$ cm

Selamat Belajar

Salam Matematika

sumber : repositori.kemdikbud

Kembali ke Kelas Online
Kelas 12 ATPH
Kelas 12 DTB