Perhatikan gambar berikut!
Dari titik $A$ dibuat garis $g$ tegak lurus bidang. Syarat sebuah garis tegak lurus bidang adalah minimal tegak lurus dengan dua garis pada bidang tersebut. Garis $g$ memotong bidang di titik $P'$, maka $P'$ merupakan proyeksi tegak lurus titik $P$ pada bidang.Jarak titik $P$ pada bidang sama dengan panjang ruas garis $PP'$.
Contoh:
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $10$ cm.
Tentukan jarak:
1. titik $A$ ke bidang $EFGH$
2. titik $A$ ke bidang $BDHF$
3. titik $A$ ke bidang $BDE$
4. titik $A$ ke bidang $CFH$
Alternatif penyelesaian:
1. Jarak titik A ke bidang EFGH
Proyeksi tegak lurus titik $A$ pada bidang $EFGH$ adalah titik $E$. Sehingga, jarak titik $A$ ke bidang $EFGH$ sama dengan panjang ruas garis $AE$, yaitu $10$ cm.
2. Jarak titik $A$ ke bidang $BDHF$
Perhatikan gambar proyeksi titik $A$ pada bidang $BDHF$.
Garis $AC$ tegak lurus $BD$ dan $A'H$, maka garis $AC$ dipastikan tegak lurus bidang $BDHF$. Sehingga $A'$ merupakan proyeksi tegak lurus $A$ ke bidang $BDHF$, dan jarak titik $A$ ke bidang $BDHF$ sama dengan panjang $AA'$.
$AA'=\frac{1}{2}AC$
$=\frac{1}{2}\times 10\sqrt{2}$
$=5\sqrt{2}$
Jadi jarak titik $A$ ke bidang $BDHF=5\sqrt{2}$ cm
3. Jarak titik $A$ ke bidang $BDE$
Perhatikan gambar proyeksi titik $A$ ke bidang $BDE$!
Bidang $ACGE$ dan bidang $BDE$ berpotongan saling tegak lurus di sepanjang garis $PE$. Dapat dipastikan proyeksi titik $A$ ke bidang $BDE$ terletak disepanjang garis $PE$, misal di titik $A'$. Dengan demikian jarak titik $A$ ke bidang $BDE$ sama dengan panjang $AA'$. Untuk menentukan panjang $AA'$ dapat digunakan konsep luas pada segitiga $APE$.
$L_{APE}=L_{APE}$
$\frac{1}{2}\times EP \times AA'=\frac{1}{2}\times AP \times AE$
$\frac{1}{2}\times \sqrt{AP^2+AE^2} \times AA'=\frac{1}{2}\times AP \times AE$
$\frac{1}{2}\times \sqrt{(5\sqrt{2})^2+10^2} \times AA'=\frac{1}{2}\times 5\sqrt{2} \times 10$
$\frac{1}{2}\times \sqrt{50+100} \times AA'=\frac{1}{2}\times 5\sqrt{2} \times 10$
$\frac{1}{2}\times 5\sqrt{6}\times AA'=\frac{1}{2}\times 5\sqrt{2} \times 10$
$\sqrt{6}\times AA'=\sqrt{2} \times 10$$AA'=\frac{\sqrt{2} \times 10}{\sqrt{6}}$
$AA'=\frac{10}{3}\sqrt{3}$
Jadi jarak titik $A$ ke bidang $BDE=\frac{10}{3}\sqrt{3}$ cm
4. Jarak titik $A$ ke bidang $CFH$
Perhatikan gambar proyeksi titik $A$ pada bidang $CFH$ di bawah ini!
Bidang $ACGE$ memotong tegak lurus bidang $CFH$ di sepanjang garis $CP$, sehingga dapat dipastikan proyeksi titik $A$ pada bidang $CFH$ di titik $A'$. Sehingga jarak titik $A$ ke bidang $CFH$ sama dengan panjang $AA'$. Untuk menghitung panjang $AA'$ digunakan konsep luas segitiga $ACP$.
$L_{ACP}=L_{ACP}$
$\frac{1}{2}\times CP\times AA'=\frac{1}{2}\times AC\times PQ$
$\frac{1}{2}\times 5\sqrt{6}\times AA'=\frac{1}{2}\times 10\sqrt{2}\times 10$
$5\sqrt{6}\times AA'=10\sqrt{2}\times 10$
$AA'=\frac{10\sqrt{2}\times 10}{5\sqrt{6}}$
$AA'=\frac{20}{3}\sqrt{3}$Jadi jarak titik $A$ ke bidang $CFH=\frac{20}{3}\sqrt{3}$ cm
Selamat Belajar
Salam Matematika
sumber : repositori.kemdikbud
