Transformasi geometri

Untuk memahami materi transformasi geometri, artikel ini akan menjelaskan mengenai materi transformasi geometri beserta jenis, rumus, dan contohnya.

Pengertian Transformasi Geometri

Sebelum mengetahui pengertian dari transformasi geometri. Kita jabarkan lebih dulu apa itu arti transformasi dan apa itu geometri. Transformasi berarti perubahan sebuah struktur menjadi bertambah, berkurang atau tertata kembali unsurnya. Sedangkan geometri berarti cabang matematika yang menjelaskan soal sifat garis, sudut, bidang, dan ruang.

Berdasarkan dua definisi tersebut transformasi geometri dapat disimpulkan sebagai perubahan bentuk dari sebuah garis, sudut, ruang, dan bidang.

Dalam kehidupan sehari-hari, transformasi geometri ini biasanya dimanfaatkan untuk pembuatan karya-karya seni dan desain arsitektur.

Jenis-jenis Transformasi Geometri

Transformasi geometri itu sendiri terdiri dari empat jenis, yaitu translasi, rotasi, refleks, dan dilatasi.

Berikut adalah pemaparan lengkap masing-masing jenis transformasi geometri:

1. Translasi (Pergeseran)

Translasi atau pergeseran merupakan jenis dari transformasi geometri di mana terjadi perpindahan atau pergeseran dari suatu titik ke arah tertentu di dalam sebuah garis lurus bidang datar. Akibatnya, setiap bidang yang ada di garis lurus tersebut juga akan digeser dengan arah dan jarak tertentu.

Translasi pada dasarnya hanya mengubah posisi, bukan bentuk dan ukuran dari bidangnya.

Contoh sederhana dari translasi adalah peristiwa yang terjadi di perosotan. Dimana orang yang sama dengan sebuah bidang berpindah posisi dari titik awal (awal perosotan) dan titik akhir (ujung perosotan). Contoh lainnya adalah kendaraan yang berjalan di jalan lurus, dari kejadian itu bisa dilihat bahwa kendaraan yang merupakan objek tidak mengalami perubahan ukuran tetapi hanya berpindah tempat.

Rumus dari translasi itu sendiri adalah:

$(x’, y’)=(a, b)+(x, y)$

Keterangan:

$x’, y’$ = titik bayangan

$x, y$ = titik asal

$a, b$ = vektor translasi

Contoh soal transformasi geometri jenis translasi

Tentukan titik bayangan jika titik $A$ adalah $(2, 4)$ dan ditranslasikan menjadi $(6, 3)$.

Jawab:

$(x’, y’)=(x+a, y+b)$

$(x’, y’)=(2+6, 4+3)$

$(x’, y’)=(8, 7)$

Maka titik bayangannya ada di $(8, 7)$.

2. Rotasi (Perputaran)

Rotasi atau juga dikenal dengan perputaran dalam transformasi geometri sesuai dengan namanya berarti sebuah perputaran yang ditentukan oleh titik pusat rotasi, arah rotasi, dan juga besar dari sudut rotasi. Prinsipnya adalah memutar terhadap sudut dan titik pusat yang memiliki jarak yang sama dengan titik yang diputar.

Karena hanya berputar, maka transformasi ini tidak mengubah bentuk atau ukuran dari sebuah bidang.

Contoh sederhananya adalah cara kerja dari bianglala di mana lingkaran memutari titik tengah. Contoh lainnya adalah dalam gangsing. Cara kerja gangsing nyaris sama dengan bianglala karena berputar mengitari titik tengah.

Ada beberapa Rumus dari rotasi, yaitu:

Rotasi $90^o$ dengan pusat $(a, b): (x,y)$ maka $(-y + a + b, x – a + b)$

Rotasi $180^o$ dengan pusat $(a,b) : (x,y)$ maka $(-x -2a, -y +2b)$

Rotasi sebesar $-90^o$ dengan pusat $(a, b) : (x, y)$ maka $(y – b + a, -x + a + b)$

Rotasi sebesar $90^o$ dengan pusat $(0, 0) : (x, y)$ maka $(-y,x)$

Rotasi $180^o$ dengan pusat $(0,0) : (x, y)$ maka $(-x, -y)$

Rotasi sebesar $-90^o$ dengan pusat $(0,0) : (x, y)$ maka $(y, -x)$

Contoh soal transformasi geometri jenis rotasi

Sebuah titik $A$ $(3,2)$ dirotasikan terhadap titik $O$ $(0,0)$ sejauh $90^o$ searah dengan jarum jam. Tentukanlah bayangan dari titik $A$.

Jawab:

$(x’, y’) = (cos$ $90^o sin$ $90^o, –sin$ $90^o cos$ $90^o)$ $(3,2)$

$(x’, y’) = (0$ $1 , -1$ $0)$ $(3,$ $2)$

$(x’, y’) = (-2,3)$

3. Refleksi (Pencerminan)

Refleksi atau pencerminan dalam transformasi geometri berarti perubahan dengan memindahkan titik dengan sifat dari suatu cermin datar. Ada dua sifat yang dimiliki dalam transformasi refleksi. Pertama adalah jarak titik ke cermin sama dengan jarak bayangan titik ke cermin. Kedua adalah geometri yang dicerminkan saling berhadapan satu sama lain.

Contoh sederhana dari refleksi ini tentunya adalah ketika kita sedang bercermin.

Rumus umum dari refleksi antara lain:

Refleksi terhadap sumbu $-x : (x,y)$ maka $(x, -y)$

Refleksi terhadap sumbu $-y : (x,y)$ maka $(-x, y)$

Refleksi terhadap garis $y = x : (x, y)$ maka $(y, x)$

Refleksi terhadap garis $y = -x : (x, y)$ maka $(-y, -x)$

Refleksi terhadap garis $x = h : (x, y)$ maka $(2h, -x,y)$

Refleksi terhadap garis $y = K : (x. y)$ maka $(x, 2k – y)$

Contoh soal transformasi geometri jenis refleksi

Tentukanlah koordinat bayangan dari titik $A$ jika Titik $A$ $(4, -2)$ dicerminkan terhadap sumbu $x$.

Jawab:

$A$ : $(a,b)$ maka $A’$ $(a, -b)$

Maka:

$A$ $(4, -2)$ maka $A’$ $(-4, -2)$

4. Dilatasi (Perkalian)

Dilatasi merupakan transformasi atau perubahan ukuran dari sebuah objek. Dalam dilatasi terdapat dua konsep, yaitu titik dan faktor dari dilatasi.

Titik dari dilatasi menentukan posisi dari dilatasi. Titik ini menjadi tempat pertemuan dari semua garis lurus yang menghubungkan antara titik dalam suatu bangunan ke titik hasil dilatasi.

Sedangkan faktor dilatasi adalah faktor perkalian dari suatu bangun yang sudah didilatasikan.

Contoh sederhana dari dilatasi adalah miniatur. Miniatur biasanya dalam bentuk mainan, seperti mobil-mobilan. Mainan merupakan pengecilan dari sebuah objek besar. Contoh lainnya adalah ketika kita mencetak sebuah foto. Foto tersebut bisa dicetak dengan ukuran-ukuran tertentu tetapi tidak mengubah bentuk dari foto tersebut, mulai dari $2\times3$, $3\times4$, sampai $4\times6$ fotonya tetap sama, hanya ukurannya yang berbeda.

Rumus umum dari dilatasi antara lain:

Dilatasi dengan pusat $(0, 0)$ dan faktor skala $k : (x, y)$ maka $(kx, ky)$

Dilatasi dengan pusat $(0, 0)$ dan faktor skala $k : (x, y)$ maka $(kx = k(x-a) + a$, $(k(y-b) + b))$

Contoh soal transformasi geometri jenis dilatasi

Titik $A$ $(2,4)$ akan didilatasikan sebesar tiga kali, dengan pusat yang berada di $(-4,2)$, maka tentukanlah titik $A$.

Jawab:

$(x, y)=k(x-a) + a, K(y – b) + b$

$(2, 4) = 6(2 – (-4)) + (-4), 6(4 – 2) + 2$

$(2, 4) = (32, 14)$

Maka letak titik $A$ dari $(2, 4)$ dengan dilatasi $(-4,2)$ adalah $(32, 14)$

Contoh Soal

1. Diketahui titik $P'(3,-13)$ adalah bayangan titik $P$ oleh translasi $T=\begin{pmatrix}-10\\ 7\end{pmatrix}$.

Tentukan koordinat titik $P$ adalah ...

Penyelesaian :

Konsep translasi: Jika titik $(x,y)$ ditranslasikan oleh $T=\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ maka koordinat bayangannya adalah $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$

Diketahui titik $P=(3,-13)$ ditranslasi oleh $\begin{pmatrix}-10\\7\end{pmatrix}$ sehingga didapat

$\begin{pmatrix}3\\-13\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-10\\7\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\-13\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-10\\7\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}13\\-20\end{pmatrix}$

Jadi, koordinat titik $P$ adalah $(13,-20)$

2. Bayangan titik $P=(a,b)$ oleh rotasi terhadap titik pusat $(0,0)$ sebesar $-90^o$ adalah $P'=(-10,-2)$.

Tetukan nilai dari $a+2b=$ ...

Penyelesaian :

Konsep rotasi:

Jika titik $(x,y)$ dirotasikan pada pusat $(0,0)$ sebesar sudut $-90^o$ dengan orientasi berlawanan arah jarum jam, maka koordinat bayangan titiknya adalah

$\begin{pmatrix}x'\\ y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}cos\theta & -sin\theta\\ sin\theta & cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}$

Untuk $(x',y')=(-10,-2)$ dan $\theta=-90^o$, diperoleh

$\begin{pmatrix}-10\\ -2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}cos(-90^o) & -sin(-90^o)\\ sin(-90^o) & cos(-90^o)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}-10\\ -2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}-10\\ -2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\ -y\end{pmatrix}$

Jadi, $y=-10$ dan $x=2$. Dengan demikian, koordinat titik $P$ adalah $(2,-10)$. Ini berarti $a=2$ dan $b=-10$, sehingga :

$a+2b=2+2(-10)=-18$

3. Diketahui koordinat titik $T(-1,5)$. Bayangan titik $T$ oleh transformasi yang diwakili oleh matriks $\begin{pmatrix}-4 &3 \\ 2 &-1 \end{pmatrix}$, dilanjutkan refleksi terhadap garis $x=8$ adalah ...

Penyelesaian:

Bayangan titik $T(-1,5)$ oleh transformasi matriks dapat dinyatakan oleh skema berikut.