📐 Matematika Kelas X SMK

Barisan Geometri

Memahami pola pertumbuhan dan perkembangan dalam matematika

📚 Pengertian Barisan Geometri

Barisan Geometri adalah barisan bilangan yang setiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya dengan cara mengalikan dengan suatu bilangan tetap yang disebut rasio (r).

Rumus Umum

U_n = a · r^(n-1)

a = suku pertama r = rasio n = nomor suku

Rumus Rasio

r = U_n / U_n-1

🌍 Aplikasi dalam Kehidupan

🦠

Pertumbuhan Bakteri

Bakteri membelah diri setiap 20 menit. Dari 1 bakteri menjadi 2, 4, 8, 16... Ini adalah barisan geometri dengan rasio 2!

💰

Bunga Majemuk

Tabungan Rp1.000.000 dengan bunga 10% per tahun: Tahun 1 = 1,1 juta, Tahun 2 = 1,21 juta, dst. Rasio = 1,1

📉

Penyusutan Nilai Kendaraan

Harga motor turun 20% setiap tahun. Jika harga awal 20 juta, maka: 16 juta, 12,8 juta, 10,24 juta... Rasio = 0,8

🏀

Pantulan Bola

Bola dijatuhkan dari ketinggian 100 cm, setiap pantulan mencapai ¾ tinggi sebelumnya: 100, 75, 56.25... Rasio = 0,75

✏️ Contoh Soal & Pembahasan

Soal: Diketahui barisan geometri 2, 6, 18, 54, ... Tentukan suku ke-7!

Pembahasan:

• Suku pertama (a) = 2

• Rasio (r) = 6 ÷ 2 = 3

• n = 7

Menggunakan rumus U_n = a · r^(n-1)

U₇ = 2 × 3^(7-1)

U₇ = 2 × 3⁶

U₇ = 2 × 729

U₇ = 1.458

Soal: Tentukan rasio dari barisan geometri 5, 15, 45, 135, ...

Pembahasan:

Rasio dapat dicari dengan membagi suku dengan suku sebelumnya:

r = U₂ ÷ U₁ = 15 ÷ 5 = 3

Verifikasi: U₃ ÷ U₂ = 45 ÷ 15 = 3 ✓

r = 3

Soal: Suatu barisan geometri memiliki rasio 2 dan suku ke-5 adalah 48. Tentukan suku pertama barisan tersebut!

Pembahasan:

• Diketahui: r = 2, U₅ = 48, n = 5

• Dicari: a = ?

Dari rumus U_n = a · r^(n-1)

48 = a × 2^(5-1)

48 = a × 2⁴

48 = a × 16

a = 48 ÷ 16

a = 3

Soal: Sebuah bakteri membelah diri menjadi 2 setiap 30 menit. Jika awalnya ada 100 bakteri, berapa jumlah bakteri setelah 3 jam?

Pembahasan:

• Suku pertama (a) = 100 bakteri

• Rasio (r) = 2 (karena membelah diri)

• 3 jam = 180 menit

• Jumlah pembelahan = 180 ÷ 30 = 6 kali

• n = 6 + 1 = 7 (suku ke-7)

U₇ = 100 × 2^(7-1)

U₇ = 100 × 2⁶

U₇ = 100 × 64

U₇ = 6.400 bakteri

Soal: Suatu barisan geometri memiliki suku ke-3 = 12 dan suku ke-6 = 96. Tentukan rasio dan suku pertama!

Pembahasan:

• U₃ = a × r² = 12 ... (1)

• U₆ = a × r⁵ = 96 ... (2)

Bagi persamaan (2) dengan (1):

(a × r⁵) ÷ (a × r²) = 96 ÷ 12

r³ = 8

r = ∛8 = 2

Substitusi r = 2 ke persamaan (1):

a × 2² = 12

a × 4 = 12

a = 3, r = 2

Soal: Sisipkan 3 bilangan di antara 2 dan 162 sehingga membentuk barisan geometri!

Pembahasan:

• Suku pertama (a) = 2

• Suku terakhir = 162

• Jumlah sisipan (k) = 3

• Total suku = k + 2 = 5 suku

U₅ = a × r⁴

162 = 2 × r⁴

r⁴ = 81

r = ⁴√81 = 3

Barisan lengkap:

• U₁ = 2

• U₂ = 2 × 3 = 6

• U₃ = 6 × 3 = 18

• U₄ = 18 × 3 = 54

• U₅ = 54 × 3 = 162

Bilangan sisipan: 6, 18, 54

💡 Tips & Trik

🔢

Tip 1: Cek Rasio dengan Cepat

Bagi suku kedua dengan suku pertama. Verifikasi dengan membagi suku ketiga dengan suku kedua. Jika hasilnya sama, itulah rasionya!

📝

Tip 2: Hafal Pangkat Umum

Hafal: 2¹=2, 2²=4, 2³=8, 2⁴=16, 2⁵=32, 2⁶=64, 2¹⁰=1024. Juga 3¹=3, 3²=9, 3³=27, 3⁴=81.

🎯

Tip 3: Trik Pembagian Dua Suku

Jika diketahui U_m dan U_n, maka U_n ÷ U_m = r^(n-m). Ini membantu mencari rasio dengan cepat!

⚡

Tip 4: Perhatikan Tanda Rasio

Jika r positif, semua suku bertanda sama. Jika r negatif, tanda suku bergantian (+, -, +, -, ...). Contoh: 2, -4, 8, -16 memiliki r = -2.

🧮

Tip 5: Sisipan = (n+1) Suku Total

Jika menyisipkan k bilangan antara dua bilangan, total suku menjadi (k+2). Gunakan ini untuk mencari rasio sisipan!

📋 Rangkuman Rumus

Suku ke-n

U_n = a × r^(n-1)

Rasio

r = U_n / U_n-1

Suku Pertama

a = U_n / r^(n-1)

Rasio Sisipan

r = ^(k+1)√(U_akhir/U_awal)

🎮

Siap Menguji Pemahamanmu?

Kerjakan kuis interaktif untuk mengukur sejauh mana kamu memahami materi Barisan Geometri!

🚀 Mulai Kuis Sekarang