Merasionalkan penyebut pecahan bentuk akar

Merasionalkan penyebut pecahan bentuk akar

sumber gambar : https://encrypted-tbn0.gstatic.com

Merasionalkan penyebut pecahana bentuk akar artinya menjadikan penyebut pecahan bentuk akar menjadi bilangan rasional.

Untuk $a, b$  bilangan rasional non negatif, maka :

1. $\sqrt{a}$  sekawannya adalah $\sqrt{a}$ 

2. $\sqrt{a}+\sqrt{b}$  sekawannya adalah $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ 

3. $a+\sqrt{b}$  sekawannya adalah $a-\sqrt{b}$

 

Perkalian bentuk akar dengan sekawannya menghasilkan bilangan rasional. Merasionalkan penyebut pecahan bentuk akar dilakukan dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan ekawan dari penyebutnya.

1. Merasionalkna penyebut pecahan berbentuk $\frac{a}{\sqrt{b}}$ .

    $\frac{a}{\sqrt{b}}=\frac{a}{\sqrt{b}}\times \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}=\frac{a}{b}\sqrt{b}$

2. Merasionalkan penyebut pecahan berbentuk $\frac{c}{a+\sqrt{b}}$  atau $\frac{c}{a-\sqrt{b}}$

(i) $\frac{c}{a+\sqrt{b}}=\frac{c}{a+\sqrt{b}}\times \frac{a-\sqrt{b}}{a-\sqrt{b}}=\frac{c(a-\sqrt{b})}{a^{^2}-b} $

(ii)$\frac{c}{a-\sqrt{b}}=\frac{c}{a-\sqrt{b}}\times \frac{a+\sqrt{b}}{a+\sqrt{b}}=\frac{c(a+\sqrt{b})}{a^{^2}-b} $

3. Merasionalkan penyebut pecahan berbentuk $\frac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$  atau $\frac{c}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$

 

(i)  $\frac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\times \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{c(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a-b}$ 

(ii) $\frac{c}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{c}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\times \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{c(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{a-b} $

Perhatikan contoh -contoh soal berikut ini :

1. Rasionalkanlah bentuk akar sekawan berikut $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{15}+\sqrt{10}}$ 

    Jawab :

  $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{15}+\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{15}+\sqrt{10}}\times\frac{\sqrt{15}-\sqrt{10}}{\sqrt{15}-\sqrt{10}}$

       $=\frac{\sqrt{6}(\sqrt{15}-\sqrt{10})}{(\sqrt{15})^{2}-(\sqrt{10})^{2}}$

       $=\frac{\sqrt{90}-\sqrt{60}}{15-10}$

       $=\frac{\sqrt{9.10}-\sqrt{4.15}}{5}$

       $=\frac{3\sqrt{10}-2\sqrt{15}}{5}$

       $=\frac{3}{5}\sqrt{10}-\frac{2}{5}\sqrt{15}$

Selamat Belajar

Semoga Sukses

Kuis Merasionalkan Pecahan Bentuk Akar

Matematika Kelas 10 - 10 Soal Pilihan Ganda

1 dari 10 | Skor: 0

Soal 1

Bentuk rasional dari $\frac{1}{\sqrt{3}}$ adalah...

A. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

B. $\frac{1}{3}$

C. $\sqrt{3}$

D. $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

E. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Soal 2

Hasil dari merasionalkan $\frac{2}{\sqrt{5}}$ adalah...

A. $\frac{2\sqrt{5}}{5}$

B. $\frac{\sqrt{5}}{5}$

C. $\frac{2}{5}$

D. $2\sqrt{5}$

E. $\frac{10}{\sqrt{5}}$

Soal 3

Bentuk sederhana dari $\frac{6}{\sqrt{12}}$ adalah...

A. $\sqrt{3}$

B. $2\sqrt{3}$

C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

D. $3\sqrt{2}$

E. $\frac{3\sqrt{2}}{2}$

Soal 4

Hasil merasionalkan $\frac{3}{\sqrt{2} + 1}$ adalah...

A. $3(\sqrt{2} - 1)$

B. $3(\sqrt{2} + 1)$

C. $\frac{3(\sqrt{2} - 1)}{2}$

D. $\sqrt{2} - 1$

E. $3\sqrt{2} - 3$

Soal 5

Bentuk rasional dari $\frac{4}{\sqrt{7} - \sqrt{3}}$ adalah...

A. $\sqrt{7} + \sqrt{3}$

B. $4(\sqrt{7} + \sqrt{3})$

C. $\frac{4(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{4}$

D. $\sqrt{7} + \sqrt{3}$

E. $2(\sqrt{7} + \sqrt{3})$

Soal 6

Hasil dari $\frac{5}{\sqrt{10}}$ dalam bentuk rasional adalah...

A. $\frac{\sqrt{10}}{2}$

B. $\frac{5\sqrt{10}}{10}$

C. $\frac{\sqrt{10}}{10}$

D. $\sqrt{10}$

E. $\frac{5}{10}$

Soal 7

Bentuk sederhana dari $\frac{8}{\sqrt{8}}$ adalah...

A. $2\sqrt{2}$

B. $4\sqrt{2}$

C. $\sqrt{8}$

D. $2$

E. $\sqrt{2}$

Soal 8

Hasil merasionalkan $\frac{6}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ adalah...

A. $6(\sqrt{3} - \sqrt{2})$

B. $6(\sqrt{3} + \sqrt{2})$

C. $\sqrt{3} - \sqrt{2}$

D. $3(\sqrt{3} - \sqrt{2})$

E. $2(\sqrt{3} - \sqrt{2})$

Soal 9

Bentuk rasional dari $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$ adalah...

A. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

B. $\frac{\sqrt{12}}{6}$

C. $\frac{1}{3}$

D. $\sqrt{3}$

E. $\frac{2\sqrt{3}}{6}$

Soal 10

Hasil dari $\frac{10}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$ dalam bentuk rasional adalah...

A. $10(\sqrt{5} + \sqrt{2})$

B. $\frac{10(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{3}$

C. $5(\sqrt{5} + \sqrt{2})$

D. $2(\sqrt{5} + \sqrt{2})$

E. $\sqrt{5} + \sqrt{2}$

0/10

Hasil Kuis Anda

🔑 Kunci Jawaban

Soal 1-5

1. $\frac{1}{\sqrt{3}}$ → A. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

2. $\frac{2}{\sqrt{5}}$ → A. $\frac{2\sqrt{5}}{5}$

3. $\frac{6}{\sqrt{12}}$ → A. $\sqrt{3}$

4. $\frac{3}{\sqrt{2} + 1}$ → A. $3(\sqrt{2} - 1)$

5. $\frac{4}{\sqrt{7} - \sqrt{3}}$ → D. $\sqrt{7} + \sqrt{3}$

Soal 6-10

6. $\frac{5}{\sqrt{10}}$ → A. $\frac{\sqrt{10}}{2}$

7. $\frac{8}{\sqrt{8}}$ → A. $2\sqrt{2}$

8. $\frac{6}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ → A. $6(\sqrt{3} - \sqrt{2})$

9. $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$ → A. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

10. $\frac{10}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$ → B. $\frac{10(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{3}$

📝 Ringkasan Teknik Merasionalkan

1. Penyebut berbentuk $\sqrt{a}$:
Kalikan pembilang dan penyebut dengan $\sqrt{a}$

2. Penyebut berbentuk $\sqrt{a} + \sqrt{b}$:
Kalikan dengan sekawan $\sqrt{a} - \sqrt{b}$

3. Penyebut berbentuk $\sqrt{a} - \sqrt{b}$:
Kalikan dengan sekawan $\sqrt{a} + \sqrt{b}$

4. Sederhanakan akar:
$\sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ dan $\sqrt{a^2} = a$

📚 Pembahasan Lengkap

Soal 1: $\frac{1}{\sqrt{3}}$

Jawaban: A. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Langkah penyelesaian:

$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Kita kalikan pembilang dan penyebut dengan $\sqrt{3}$ untuk menghilangkan akar di penyebut.

Soal 2: $\frac{2}{\sqrt{5}}$

Jawaban: A. $\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Langkah penyelesaian:

$\frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

Kalikan pembilang dan penyebut dengan $\sqrt{5}$.

Soal 3: $\frac{6}{\sqrt{12}}$

Jawaban: A. $\sqrt{3}$

Langkah penyelesaian:

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$

$\frac{6}{\sqrt{12}} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}}$

$\frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$

Soal 4: $\frac{3}{\sqrt{2} + 1}$

Jawaban: A. $3(\sqrt{2} - 1)$

Langkah penyelesaian:

Kalikan dengan sekawan: $(\sqrt{2} - 1)$

$\frac{3}{\sqrt{2} + 1} \times \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{3(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2})^2 - 1^2}$

$= \frac{3(\sqrt{2} - 1)}{2 - 1} = \frac{3(\sqrt{2} - 1)}{1} = 3(\sqrt{2} - 1)$

Soal 5: $\frac{4}{\sqrt{7} - \sqrt{3}}$

Jawaban: D. $\sqrt{7} + \sqrt{3}$

Langkah penyelesaian:

Kalikan dengan sekawan: $(\sqrt{7} + \sqrt{3})$

$\frac{4}{\sqrt{7} - \sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{7} + \sqrt{3}} = \frac{4(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2}$

$= \frac{4(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{7 - 3} = \frac{4(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{4} = \sqrt{7} + \sqrt{3}$

Soal 6: $\frac{5}{\sqrt{10}}$

Jawaban: A. $\frac{\sqrt{10}}{2}$

Langkah penyelesaian:

$\frac{5}{\sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{10}} \times \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}} = \frac{5\sqrt{10}}{10} = \frac{\sqrt{10}}{2}$

Sederhanakan $\frac{5\sqrt{10}}{10}$ dengan membagi 5 dan 10 dengan 5.

Soal 7: $\frac{8}{\sqrt{8}}$

Jawaban: A. $2\sqrt{2}$

Langkah penyelesaian:

$\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$

$\frac{8}{\sqrt{8}} = \frac{8}{2\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}}$

$\frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$

Soal 8: $\frac{6}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$

Jawaban: A. $6(\sqrt{3} - \sqrt{2})$

Langkah penyelesaian:

Kalikan dengan sekawan: $(\sqrt{3} - \sqrt{2})$

$\frac{6}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{6(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2}$

$= \frac{6(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{3 - 2} = \frac{6(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{1} = 6(\sqrt{3} - \sqrt{2})$

Soal 9: $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$

Jawaban: A. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Langkah penyelesaian:

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{2}{6}} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Soal 10: $\frac{10}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$

Jawaban: B. $\frac{10(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{3}$

Langkah penyelesaian:

Kalikan dengan sekawan: $(\sqrt{5} + \sqrt{2})$

$\frac{10}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} = \frac{10(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2}$

$= \frac{10(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{5 - 2} = \frac{10(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{3}$