deret geometri tak hingga

sumber : kompas.com

Pengertian 

Dalam KBBI, deret bisa berarti banyak hal, khusus untuk Ilmu Matematika, deret berarti barisan bilangan yang mempunyai perbedaan antarsuku yang sama. Sedangkan geometri berarti ilmu ukur atau cabang matematika yang menerangkan sifat-sifat garis, sudut, bidang, dan ruang.

Sedangkan hingga artinya dalam KBBI adalah batas penghabisan; batas. Artinya, deret geometri tak hingga adalah jumlah dari suku-suku dalam barisan geometri yang banyaknya tak punya batas atau tak hingga.

Jika ada suatu barisan geometri $U_1$, $U_2$, $U_3$, … , $U_n$, maka deret geometrinya adalah $U_1 + U_2 + U_3 + … + U_n$. Dalam Ilmu Matematika, deret ini dilambangkan dengan $S_∞$. Dengan rumus deret geometri tak hingga adalah 

$S_∞ = U1 + U2 + U3 + ….$

Biasanya, $U_1$ dilambangkan sebagai $a$ atau angka awal pada barisan geometri tersebut. Sedangkan $U_2$ adalah $ar$, dengan $r$ adalah rasio deret tersebut. 

Jika ada barisan geometri $4, 12, 36,$ dan seterusnya, maka rasio barisan tersebut adalah $\frac{12}{4} = 3$ atau $\frac{36}{12} = 3$.

Jumlah deret geometri tak hingga adalah jumlah dari suku deret tersebut, misal dihitung sampai suku ke-n, maka jumlahnya adalah penjumlahan suku pertama sampai suku ke-n. Dalam pembahasan deret geometri, ada deret geometri berhingga dan deret geometri tak hingga. Sedangkan untuk deret geometri tak hingga juga dibagi menjadi dua, konvergen dan divergen.

Jenis-jenis Deret Geometri Tak Hingga

Deret ini jika dilihat dari dari nilai $r$ dan $n$ dibagi menjadi konvergen dan divergen.

Deret Geometri Tak Hingga Konvergen

Dalam KBBI, konvergen berarti bersifat menuju satu titik pertemuan; bersifat memusat. Artinya, deret konvergen adalah deret yang memusat alias tidak menyebar. Mereka memiliki limit jumlah. Rentang rasio deret ini berada di antara $-1$ dan $1$, atau $-1 < r < 1$.

Jika $n = ∞$, maka rumus deret konvergen adalah:

$S_∞ = \frac{a}{ (1 – r)}$

dengan,

$S$ = Jumlah deret

$a$ = Suku pertama

$r$ = rasio deret

Deret Geometri Tak Hingga Divergen

Di KBBI, divergen artinya adalah dalam keadaan menjadi bercabang-cabang; dalam keadaan menyebar. Jadi, deret divergen adalah deret yang menyebar, tak terbatas jumlahnya, dan tidak memiliki kecenderungan pada suatu nilai tertentu.

Rentang rasio deret divergen adalah $r < -1$ atau $r > 1$. Seluruh deret ini akan mengasilkan hasil $+- ∞$. Lalu, secara lengkap, bagaimana rumus dari deret ini ?

Rumus Deret Geometri Tak Hingga

Jika ada suatu barisan geometri $U_1, U_2, U_3, … , U_n$, maka deret geometrinya adalah $U_1 + U_2 + U_3 + … + U_n$. Dalam Ilmu Matematika, deret ini dilambangkan dengan $S_∞$. Dengan rumus deret geometri tak hingga adalah 

$S_∞ = U_1 + U_2 + U_3 + ….$

Hasil yang didapatkan tergantung dari rasio deret tersebut, bisa dibagi menjadi tiga:

Jika $r > 1$, maka $S∞ = + ∞$ 

Jika $-1 < r < 1$, maka $S_∞ = \frac{a}{ (1 – r)}$

Jika $r < -1$, maka $S∞ = – ∞$

dengan,

$S$ = jumlah deret

$a$ = suku pertama

$r$ = rasio deret

Mari simak penjelasan lebih lengkap dalam contoh soal berikut ini!

Contoh Soal 1

Sebuah deret geometri tak hingga memiliki jumlah $2019$, kemudian dibuat deret geometri baru dengan cara mengkuadratkan setiap suku dari deret awal. Jumlah deret baru adalah $10$ kali jumlah deret awal. Jika rasio awal adalah $\frac{x}{y}$, hitung $y – x$ !

Jawaban:

Untuk menyelesaikan hal ini, bisa menggunakan rumus deret geometri tak hingga guna menemukan rasio.

Deret awal:

$S_∞ = U_1 + U_2 + U_3 + …. = 2019$

$a + ar + ar^2 + … = 2019$

$\frac{a }{ (1-r)} = 2019$

Deret baru:

${U_1}^2 + {U_2}^2 + {U_3}^2 + …. = 10 \times 2019$

$\frac{a^2}{ (1-r)^2} = 20190$

$\frac{a }{ (1-r)} \times \frac{a }{ (1+r)} = 20190$

Lalu, masukkan persamaan dari deret awal ke persamaan deret baru:

$2019 \times \frac{a }{ (1+r)} = 20190$

$\frac{a }{ (1+r)} = 10$

$a = 10 (1+r)$

Masukkan persamaan $a$ ini ke dalam persamaan deret awal:

$\frac{a }{ (1-r)} = 2019$

$10 (1+r)$ = 2019 \times (1-r)$

$10 + 10r = 2019 – 2019r$

$10r + 2019r = 2019 – 10$

$2029r = 2009$

$r = \frac{2009}{2029}$

Bentuk $r$ di atas merupakan rasio awal, alias di soal dikatakan sebagai $\frac{x}{y}$.

Jadi,

$\frac{x}{y} = \frac{2009}{2029}$

Sehingga: $y – x = 2029 – 2009 = 20$

Dari penyelesaian tersebut kita mengetahui nilai $y – x$ adalah $20$.

Contoh Soal 2

Jumlah deret geometri tak hingga berikut $32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 + …$ adalah …?

Jawaban:

Deret tersebut adalah tak konvergen dengan kita mengetahui, 

$a = 32$

$r = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$

dengan,

$a$ = suku awal

$r$ = rasio deret

Dari sini kita bisa mengetahui jumlah deret tersebut menggunakan rumus deret geometri tak hingga.

$S_∞ = \frac{a}{ (1 – r)}$

$S_∞ = \frac{32 }{ (1 – \frac{1}{2})}$

$S_∞ = \frac{32 }{ (\frac{1}{2})}$

$S_∞ = 64$

Jadi, jumlah deret tersebut adalah $64$.    

Contoh Soal 3

Diketahui suatu deret geometri mempunyai suku pertama $27$. Jumlah takhingga deret tersebut adalah $81$. Tentukan jumlah semua suku bernomor genap dari deret tersebut.

Pembahasan :

Diketahui: $a=27$ dan $S_∞ =81$

Akan ditentukan rasio deret tersebut sebagai berikut. 

$S_∞ = \frac{a}{1-r}$

$81=\frac{27}{1-r}$

$1-r=\frac{27}{81}=\frac{1}{3}$

$r=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$

Jumlah semua suku bernomor genap dinyatakan oleh

$U_2+U_4+U_6+...$

$=ar+ar^3+ar^5+...$

$=\frac{ar}{1-r^2}$

$=\frac{27(\frac{2}{3})}{1-(\frac{2}{3})^2}$

$=\frac{18}{\frac{5}{9}}=18.\frac{9}{5}$

$=\frac{162}{5}=32\frac{2}{5}$

Jadi, jumlah semua suku bernomor genap deret geometri takhingga tersebut adalah $32\frac{2}{5}$

Selamat Belajar

Salam Matematika

Sumber Belajar : sampoernaacademy.sch.id