Menyusun Persamaan Kuadrat

 

sumber gambar : https://idschool.net/sma/rumus-jumlah-dan-hasil-kali-persamaan-kuadrat/

Ada dua metode untuk menyusun persamaan kuadrat. Metode yang pertama, jika diketahui akar-akar persamaan kuadratnya. Lalu, metode yang kedua, jika diketahui jumlah dan hasil kali dari akar-akar persamaan kuadratnya.

1. Cara Menyusun Persamaan Kuadrat Jika Diketahui Akar-akarnya

Misalnya, diketahui akar-akar persamaan kuadrat adalah $x_{1}$ dan $x_{2}$. Untuk mendapatkan persamaan kuadratnya, kamu bisa substitusi akar-akar tersebut ke persamaan berikut:

$(x - x_{1})(x - x_{2}) = 0$

Oke, supaya lebih paham, perhatikan contoh soal di bawah ini, yuk!

Contoh soal 1

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah $3$ dan $-7$.

Penyelesaian:

Diketahui akar-akar persamaan kuadrat adalah $3$ dan $-7$. Berarti, kamu bisa tulis $x_{1} = 3$ dan $x_{2} = -7$. Kemudian, kedua akar tersebut bisa kamu substitusikan ke persamaan $(x - x_{1})(x - x_{2}) = 0$, sehingga penyelesaiannya menjadi sebagai berikut:

$(x - x_{1})(x - x_{2}) = 0$

$(x - 3)(x - (-7)) = 0$

$(x - 3)(x + 7) = 0$

$x^2 + 7x - 3x - 21 = 0$

$x^2 + 4x - 21 = 0$

Jadiii, persamaan kuadrat yang akar-akarnya $3$ dan $-7$ adalah $x^2 + 4x - 21 = 0$.

2. Cara Menyusun Persamaan Kuadrat Jika Diketahui Jumlah dan Hasil Kali Akar-akarnya

Misalkan, akar-akar suatu persamaan kuadrat adalah $x_{1}$ dan $x_{2}$. Jika yang diketahui pada soal adalah jumlah dan hasil kali akar-akarnya, maka untuk mendapatkan persamaan kuadratnya, kamu bisa gunakan rumus berikut ini:

$x^2 - (x_{1} + x_{2})x + (x_{1} . x_{2}) = 0$ atau

$x+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}$

dengan $x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$ dan $x_{1}.x_{2}=\frac{c}{a}$

Sekarang, mari kita perhatikan contoh soal dibawah ini, ya!

Contoh soal 2

Tentukan persaman kuadrat yang akar-akarnya adalah $α$ dan $β$, serta jumlah dan hasil kali akar-akarnya adalah $-1$ dan $-20$.

Penyelesaian:

Diketahui akar-akarnya adalah $x_{1}$ dan $x_{2}$. Kemudian, hasil jumlah akar-akarnya adalah $-1$, berarti $x_{1} + x_{2} = -1$. Lalu, hasil kali akar-akarnya adalah $-20$, berarti $x_{1} . x_{2} = - 20$. Nah, kamu bisa langsung substitusi hasil jumlah dan kali akar-akar yang sudah diketahui ke persamaan:

$x^2 - (x_{1} + x_{2})x + (x_{1} . x_{2}) = 0$

Sehingga persamaannya menjadi seperti berikut:

$x^2 - (-1)x + (-20) = 0$

$x^2 + x - 20 = 0$

Jadi, diperoleh persamaan kuadratnya adalah $x^2 + x -20 = 0$.

Contoh soal 3

Diketahui akar-akar persamaan kuadrat $x^2 + qx + r = 0$ adalah $x_{1}$ dan $x_{2}$, dimana $x_{1} < x_{2}$. Tentukan persamaan kuadrat dengan akar $x_{1} + 2$ dan $x_{2} - 2$.

Penyelesaian:

Akar-akar persamaan kuadrat $x^2 + 3x -10 = 0$ adalah $x_{1}$ dan $x_{2}$. Kita langsung faktorin aja persamaan kuadratnya, ya. Jadinya,

$x^2 + 3x -10 = 0$

$(x-2)(x+5) = 0$

$x-2=0$ atau $x+5=0$

$x=2$ atau $x=-5$

Sehingga, diperoleh akar-akarnya, yaitu $x = -5$ atau $x = 2$.

Nah, di soal diketahui kalau $x_{1} < x_{2}$. Akar yang lebih kecil yang mana? $-5$ kan ya. Jadi, $x_{1} = -5$ dan $x_{2} = 2$.

Untuk mencari persamaan kuadrat yang barunya, kita bisa gunakan rumus $(x - x_{1})(x - x_{2}) = 0$. Karena diketahui di soal kalau akar-akarnya $x_{1} + 2$ dan $x_{2} - 2$, berarti: 

$[x - (x_{1} + 2)][x - (x_{2} - 2)]=0$ 

Kita substitusi nilai $x_{1}$ dan $x_{2}$ yang kita dapatkan barusan, sehingga:

$[x - (-5 + 2)][x - (2 - 2)]=0$ 

$(x-(-3))(x-0) = 0$

$(x+3)(x) = 0$

kita kali silang

$x^2 + 3x = 0$

Jadi, persamaan kuadrat dengan akar $x_{1} + 2$ dan $x_{2} - 2$ adalah $x^2 + 3x = 0$. 

Selamat Belajar

Salam Matematika

sumber : Ruang Guru