perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku

sumber gambar : asset.kompas.com

A. Mengenal Jenis-jenis Sisi pada Segitiga Siku-siku

Pada segitiga siku-siku terdapat tiga jenis sisi. Berdasarkan posisinya terhadap sudut tertentu, kita dapat menamai ketiga sisi tersebut dengan:

• Sisi depan, yaitu sisi siku-siku yang berada di depan sudut.
• Sisi samping, yaitu sisi siku-siku yang berada di samping sudut.
• Sisi miring (hipotenusa), yaitu sisi yang berada di depan sudut siku-siku.

Untuk lebih memahaminya lukislah segitiga ABC dengan sudut siku-siku terletak di titik A. Berdasarkan sudut B maka dapat kita tentukan jenis-jenis sisi sebagai seperti pada gambar berikut.

Supaya semakin memahami, coba perhatikan gambar-gambar berikut ini! Pada gambar diberi tanda pada satu sudut, kemudian jenis-jenis sisi pada setiap sisi segitiga.

B. Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-siku

Perbandingan trigonometri ada 6 yaitu:

1. Sinus disingkat sin.

2. Cosinus disingkat cos.

3. Tangen disingkat tan.

4. Cosecan disingkat csc.

5. Secan disingkat sec.

6. Cotangen disingkat cot.

Definisi Perbandingan Trigonometri

Perhatikan gambar berikut!

1. $sin \theta =\frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}}=\frac{BC}{AC}$

2. $cos \theta =\frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi miring}}=\frac{AB}{AC}$

3. $tan \theta =\frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}}=\frac{BC}{AB}$

4. $csc \theta =\frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi depan}}=\frac{AC}{BC}$

5. $sec \theta =\frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi samping}}=\frac{AC}{AB}$

6. $cot \theta =\frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi depan}}=\frac{AB}{BC}$

Cara mudah menghafal rumus perbandingan trigonometri:

$sin \theta =\frac{\text{de}}{\text{mi}}$, baca "sindemi"

$cos \theta =\frac{\text{sa}}{\text{mi}}$, baca "cosami"

$tan \theta =\frac{\text{de}}{\text{sa}}$, baca "tadesa"

C. Rumus Kebalikan dan Rumus Perbandingan

Perhatikan gambar berikut!

Teorema phythagoras:

$r=\sqrt{x^2+y^2}$

$x=\sqrt{r^2-y^2}$

$y=\sqrt{r^2-x^2}$

Perbandingan trigonometri:

$sin \theta =\frac{y}{r}$ dan $csc \theta =\frac{r}{y}$

$cos \theta =\frac{x}{r}$ dan $sec \theta =\frac{r}{x}$

$tan \theta =\frac{y}{x}$ dan $cot \theta =\frac{x}{y}$

Dari perbandingan trigonometri tersebut dapat diturunkan rumus-rumus sebagai berikut:

Rumus Kebalikan

a) $sin \theta =\frac{1}{csc\theta}\Leftrightarrow csc \theta =\frac{1}{sin\theta}$

b) $cos \theta =\frac{1}{sec\theta}\Leftrightarrow secc \theta =\frac{1}{cos\theta}$

c). $tan \theta =\frac{1}{cot\theta}\Leftrightarrow cot \theta =\frac{1}{tan\theta}$

Rumus perbandingan :

a). $tan \theta =\frac{sin\theta}{cos\theta}$

b). $cot \theta =\frac{cos\theta}{sin\theta}$

Contoh 1.

Perhatikan gambar berikut!

Tentukan nilai keenam perbandingan trigonometri untuk sudut $\beta$.

Dengan Teorema Pythagoras:

$AB=\sqrt{AC^2-BC^2}$

$AB=\sqrt{4^2-3^2}$

$AB=\sqrt{16-9}$

$AB=\sqrt{7}$

Berdasarkan sudut $\beta$ maka:

Sisi depan = $AB =\sqrt{7}$

Sisi samping = $BC = 3$

Sisi miring = $AC = 4$

1. $sin \theta =\frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}}=\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{7}}{4}$

2. $cos \theta =\frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi miring}}=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{4}$

3. $tan \theta =\frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}}=\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{7}}{3}$

4. $csc \theta =\frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi depan}}=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{\sqrt{7}}$

5. $sec \theta =\frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi samping}}=\frac{AC}{BC}=\frac{4}{3}$

6. $cot \theta =\frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi depan}}=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{\sqrt{7}}$

Contoh 2.

Diketahui nilai $tan \alpha=\frac{1}{3}$ untuk $0^o<\alpha<90^o$. Carilah nilai perbandingan trigonometri sudut $\alpha$ yang lain.

$tan \alpha=\frac{1}{3}=\frac{de}{sa}$

Kemudian gambar segitiga siku-siku sesuai perbandingan tersebut.

$mi=\sqrt{sa^2+de^2}$

$mi=\sqrt{3^2+1^2}$

$mi=\sqrt{9+1}$

$mi=\sqrt{10}$

maka :

1. $sin \alpha =\frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}}=\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{1}{10}\sqrt{10}$

2. $cos \alpha =\frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi miring}}=\frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{3}{10}\sqrt{10}$

3. $tan \alpha =\frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi samping}}=\frac{1}{3}$

4. $csc \alpha =\frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi depan}}=\sqrt{10}$

5. $sec \alpha =\frac{\text{sisi miring}}{\text{sisi samping}}=\frac{\sqrt{10}}{3}$

6. $cot \alpha =\frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi depan}}=\frac{3}{1}$

Selamat Belajar

Salam Matematika

sumber : catatanmatematika.com