Determinan Matriks 2x2
Determinan adalah sebuah nilai skalar yang dapat dihitung dari elemen-elemen sebuah matriks persegi. Untuk matriks 2x2, determinan memberikan informasi penting tentang sifat-sifat matriks tersebut, misalnya apakah matriks tersebut invertible (memiliki invers).
Misalkan kita memiliki sebuah matriks 2x2 yang dinyatakan sebagai:
$A=\begin{bmatrix} a&b \\c & d \end{bmatrix}$Determinan dari matriks $A$, yang sering ditulis sebagai $\det(A)$ atau $|A|$, dihitung dengan rumus:
$$\det(A) = ad - bc$$
Secara sederhana, determinan diperoleh dengan mengalikan elemen-elemen diagonal utama (dari kiri atas ke kanan bawah) dan menguranginya dengan hasil perkalian elemen-elemen diagonal kedua (dari kanan atas ke kiri bawah).
Contoh Soal dan Pembahasan
Berikut adalah lima contoh soal tentang determinan matriks 2x2 dengan tingkat kesulitan sedang beserta pembahasannya:
Soal 1:
Hitunglah determinan dari matriks berikut:
$B= \begin{bmatrix}3 & -1 \\2 & 4\end{bmatrix}$
$B= \begin{bmatrix}3 & -1 \\2 & 4\end{bmatrix}$
Pembahasan:
Menggunakan rumus determinan untuk matriks 2x2:
$$\det(B) = (3 \times 4) - (-1 \times 2) = 12 - (-2) = 12 + 2 = 14$$
Jadi, determinan dari matriks $B$ adalah 14.
$$\det(B) = (3 \times 4) - (-1 \times 2) = 12 - (-2) = 12 + 2 = 14$$
Jadi, determinan dari matriks $B$ adalah 14.
Soal 2:
Diketahui matriks
$C = \begin{bmatrix}5 & k \\-2 & 3\end{bmatrix}$
Jika $\det(C) = 19$, tentukan nilai $k$.
Pembahasan:
Kita tahu bahwa
$\det(C) = (5 \times 3) - (k \times -2) = 15 - (-2k) = 15 + 2k$.
Diketahui $\det(C) = 19$, maka:
$15 + 2k = 19 $
$2k = 19 - 15 $
$2k = 4 $
$k = 2$
Jadi, nilai $k$ adalah 2.
$15 + 2k = 19 $
$2k = 19 - 15 $
$2k = 4 $
$k = 2$
Jadi, nilai $k$ adalah 2.
Soal 3:
Tentukan determinan dari matriks
$D = \begin{bmatrix}\sin(x) & \cos(x) \\-\cos(x) & \sin(x)\end{bmatrix}$
Pembahasan:
Menggunakan rumus determinan:
$\det(D) = (\sin(x) \times \sin(x)) - (\cos(x) \times -\cos(x)) \\= \sin^2(x) - (-\cos^2(x)) \\= \sin^2(x) +\cos^2(x)$
Berdasarkan identitas trigonometri dasar, $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$.
Jadi, determinan dari matriks $D$ adalah 1.
Jadi, determinan dari matriks $D$ adalah 1.
Soal 4:
Matriks
$E = \begin{pmatrix}2a & a+1 \\3 & a-1\end{pmatrix}$. Jika determinan matriks $E$ adalah -7, tentukan nilai $a$.
Pembahasan:
$\det(E) = (2a \times (a-1)) - ((a+1) \times 3) \\= 2a^2 - 2a - (3a + 3) \\= 2a^2 - 2a - 3a - 3 \\= 2a^2 - 5a - 3$
Diketahui $\det(E) = -7$, maka:
$2a^2 - 5a - 3 = -7 $
$2a^2 - 5a + 4 = 0$
$2a^2 - 5a - 3 = -7 $
$2a^2 - 5a + 4 = 0$
Untuk mencari nilai $a$, kita dapat menggunakan rumus kuadrat:
$a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
Dalam persamaan ini, $a=2$, $b=-5$, dan $c=4$.
$a = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(2)(4)}}{2(2)} $
$= \frac{5 \pm \sqrt{25 - 32}}{4} $
$= \frac{5 \pm \sqrt{-7}}{4}$
Karena diskriminan negatif, nilai $a$ adalah bilangan kompleks: $a = \frac{5 \pm i\sqrt{7}}{4}$.
$= \frac{5 \pm \sqrt{25 - 32}}{4} $
$= \frac{5 \pm \sqrt{-7}}{4}$
Karena diskriminan negatif, nilai $a$ adalah bilangan kompleks: $a = \frac{5 \pm i\sqrt{7}}{4}$.
Soal 5:
Diberikan matriks
$F = \begin{pmatrix}x+2 & 3 \\2 & x-1\end{pmatrix}$. Tentukan nilai $x$ agar determinan matriks $F$ sama dengan 0.
Pembahasan:
$\det(F) = ((x+2) \times (x-1)) - (3 \times 2)$
$= (x^2 - x + 2x - 2) - 6 $
$= x^2 + x - 2 - 6 $
$= x^2 + x - 8$
Agar $\det(F) = 0$, maka:
$x^2 + x - 8 = 0$
Menggunakan rumus kuadrat untuk mencari nilai $x$:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
Dalam persamaan ini, $a=1$, $b=1$, dan $c=-8$.
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-8)}}{2(1)} $
$= \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 32}}{2} $
$= \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{2}$
Jadi, nilai $x$ agar determinan matriks $F$ sama dengan 0 adalah $x = \frac{-1 + \sqrt{33}}{2}$ atau $x = \frac{-1 - \sqrt{33}}{2}$.
Semoga pembahasan dan contoh soal ini membantu Anda memahami konsep determinan matriks 2x2. Jika ada pertanyaan lebih lanjut, jangan ragu untuk bertanya!
