Mudah belajar Determinan matriks 2 x 2

Determinan Matriks 2x2

Determinan adalah sebuah nilai skalar yang dapat dihitung dari elemen-elemen sebuah matriks persegi. Untuk matriks 2x2, determinan memberikan informasi penting tentang sifat-sifat matriks tersebut, misalnya apakah matriks tersebut invertible (memiliki invers).

Misalkan kita memiliki sebuah matriks 2x2 yang dinyatakan sebagai:

$A=\begin{bmatrix} a&b \\c  &  d  \end{bmatrix}$

Determinan dari matriks $A$, yang sering ditulis sebagai $\det(A)$ atau $|A|$, dihitung dengan rumus:
$$\det(A) = ad - bc$$
Secara sederhana, determinan diperoleh dengan mengalikan elemen-elemen diagonal utama (dari kiri atas ke kanan bawah) dan menguranginya dengan hasil perkalian elemen-elemen diagonal kedua (dari kanan atas ke kiri bawah).

Contoh Soal dan Pembahasan

Berikut adalah lima contoh soal tentang determinan matriks 2x2 dengan tingkat kesulitan sedang beserta pembahasannya:

Soal 1:

Hitunglah determinan dari matriks berikut:
$B= \begin{bmatrix}3 & -1 \\2 & 4\end{bmatrix}$

Pembahasan:

Menggunakan rumus determinan untuk matriks 2x2:
$$\det(B) = (3 \times 4) - (-1 \times 2) = 12 - (-2) = 12 + 2 = 14$$
Jadi, determinan dari matriks $B$ adalah 14.

Soal 2:

Diketahui matriks 

$C = \begin{bmatrix}5 & k \\-2 & 3\end{bmatrix}$

Jika $\det(C) = 19$, tentukan nilai $k$.

Pembahasan:

Kita tahu bahwa 

$\det(C) = (5 \times 3) - (k \times -2) = 15 - (-2k) = 15 + 2k$.

Diketahui $\det(C) = 19$, maka:
$15 + 2k = 19$
$2k = 19 - 15$
$2k = 4$
$k = 2$
Jadi, nilai $k$ adalah 2.

Soal 3:

Tentukan determinan dari matriks 

$D = \begin{bmatrix}\sin(x) & \cos(x) \\-\cos(x) & \sin(x)\end{bmatrix}$

Pembahasan:

Menggunakan rumus determinan:

$\det(D) = (\sin(x) \times \sin(x)) - (\cos(x) \times -\cos(x)) \\= \sin^2(x) - (-\cos^2(x)) \\= \sin^2(x) +\cos^2(x)$

Berdasarkan identitas trigonometri dasar, $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$.
Jadi, determinan dari matriks $D$ adalah 1.

Soal 4:

Matriks 

$E = \begin{pmatrix}2a & a+1 \\3 & a-1\end{pmatrix}$. Jika determinan matriks $E$ adalah -7, tentukan nilai $a$.

Pembahasan:
$\det(E) = (2a \times (a-1)) - ((a+1) \times 3) \\= 2a^2 - 2a - (3a + 3) \\= 2a^2 - 2a - 3a - 3 \\= 2a^2 - 5a - 3$

Diketahui $\det(E) = -7$, maka:
$2a^2 - 5a - 3 = -7$
$2a^2 - 5a + 4 = 0$

Untuk mencari nilai $a$, kita dapat menggunakan rumus kuadrat:

$a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Dalam persamaan ini, $a=2$, $b=-5$, dan $c=4$.

$a = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(2)(4)}}{2(2)}$
$= \frac{5 \pm \sqrt{25 - 32}}{4}$
$= \frac{5 \pm \sqrt{-7}}{4}$

Karena diskriminan negatif, nilai $a$ adalah bilangan kompleks: $a = \frac{5 \pm i\sqrt{7}}{4}$.

Soal 5:

Diberikan matriks 

$F = \begin{pmatrix}x+2 & 3 \\2 & x-1\end{pmatrix}$. Tentukan nilai $x$ agar determinan matriks $F$ sama dengan 0.

Pembahasan:
$\det(F) = ((x+2) \times (x-1)) - (3 \times 2)$
$= (x^2 - x + 2x - 2) - 6$
$= x^2 + x - 2 - 6$
$= x^2 + x - 8$
Agar $\det(F) = 0$, maka:
$x^2 + x - 8 = 0$
Menggunakan rumus kuadrat untuk mencari nilai $x$:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
Dalam persamaan ini, $a=1$, $b=1$, dan $c=-8$.
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-8)}}{2(1)}$
$= \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 32}}{2}$
$= \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{2}$

Jadi, nilai $x$ agar determinan matriks $F$ sama dengan 0 adalah $x = \frac{-1 + \sqrt{33}}{2}$ atau $x = \frac{-1 - \sqrt{33}}{2}$.

Semoga pembahasan dan contoh soal ini membantu Anda memahami konsep determinan matriks 2x2. Jika ada pertanyaan lebih lanjut, jangan ragu untuk bertanya!