Determinan Matriks 2x2
Determinan adalah sebuah nilai skalar yang dapat dihitung dari elemen-elemen sebuah matriks persegi. Untuk matriks 2x2, determinan memberikan informasi penting tentang sifat-sifat matriks tersebut, misalnya apakah matriks tersebut invertible (memiliki invers).
Misalkan kita memiliki sebuah matriks 2x2 yang dinyatakan sebagai:
A=[abcd]Determinan dari matriks A, yang sering ditulis sebagai det(A) atau |A|, dihitung dengan rumus:
det(A)=ad−bc
Secara sederhana, determinan diperoleh dengan mengalikan elemen-elemen diagonal utama (dari kiri atas ke kanan bawah) dan menguranginya dengan hasil perkalian elemen-elemen diagonal kedua (dari kanan atas ke kiri bawah).
Contoh Soal dan Pembahasan
Berikut adalah lima contoh soal tentang determinan matriks 2x2 dengan tingkat kesulitan sedang beserta pembahasannya:
Soal 1:
Hitunglah determinan dari matriks berikut:
B=[3−124]
B=[3−124]
Pembahasan:
Menggunakan rumus determinan untuk matriks 2x2:
det(B)=(3×4)−(−1×2)=12−(−2)=12+2=14
Jadi, determinan dari matriks B adalah 14.
det(B)=(3×4)−(−1×2)=12−(−2)=12+2=14
Jadi, determinan dari matriks B adalah 14.
Soal 2:
Diketahui matriks
C=[5k−23]
Jika det(C)=19, tentukan nilai k.
Pembahasan:
Kita tahu bahwa
det(C)=(5×3)−(k×−2)=15−(−2k)=15+2k.
Diketahui det(C)=19, maka:
15+2k=19
2k=19−15
2k=4
k=2
Jadi, nilai k adalah 2.
15+2k=19
2k=19−15
2k=4
k=2
Jadi, nilai k adalah 2.
Soal 3:
Tentukan determinan dari matriks
D=[sin(x)cos(x)−cos(x)sin(x)]
Pembahasan:
Menggunakan rumus determinan:
det(D)=(sin(x)×sin(x))−(cos(x)×−cos(x))=sin2(x)−(−cos2(x))=sin2(x)+cos2(x)
Berdasarkan identitas trigonometri dasar, sin2(x)+cos2(x)=1.
Jadi, determinan dari matriks D adalah 1.
Jadi, determinan dari matriks D adalah 1.
Soal 4:
Matriks
E=(2aa+13a−1). Jika determinan matriks E adalah -7, tentukan nilai a.
Pembahasan:
det(E)=(2a×(a−1))−((a+1)×3)=2a2−2a−(3a+3)=2a2−2a−3a−3=2a2−5a−3
Diketahui det(E)=−7, maka:
2a2−5a−3=−7
2a2−5a+4=0
2a2−5a−3=−7
2a2−5a+4=0
Untuk mencari nilai a, kita dapat menggunakan rumus kuadrat:
a=−b±√b2−4ac2a
Dalam persamaan ini, a=2, b=−5, dan c=4.
a=−(−5)±√(−5)2−4(2)(4)2(2)
=5±√25−324
=5±√−74
Karena diskriminan negatif, nilai a adalah bilangan kompleks: a=5±i√74.
=5±√25−324
=5±√−74
Karena diskriminan negatif, nilai a adalah bilangan kompleks: a=5±i√74.
Soal 5:
Diberikan matriks
F=(x+232x−1). Tentukan nilai x agar determinan matriks F sama dengan 0.
Pembahasan:
det(F)=((x+2)×(x−1))−(3×2)
=(x2−x+2x−2)−6
=x2+x−2−6
=x2+x−8
Agar det(F)=0, maka:
x2+x−8=0
Menggunakan rumus kuadrat untuk mencari nilai x:
x=−b±√b2−4ac2a
Dalam persamaan ini, a=1, b=1, dan c=−8.
x=−1±√12−4(1)(−8)2(1)
=−1±√1+322
=−1±√332
Jadi, nilai x agar determinan matriks F sama dengan 0 adalah x=−1+√332 atau x=−1−√332.
Semoga pembahasan dan contoh soal ini membantu Anda memahami konsep determinan matriks 2x2. Jika ada pertanyaan lebih lanjut, jangan ragu untuk bertanya!