Belajar 5 Jenis Permutasi dalam Teori Peluang

sumber gambar : https://www.ruangguru.com

1. Permutasi dari $n$ elemen, tiap permutasi terdiri dari $n$ elemen

Jika ada unsur yang berbeda, diambil $n$ unsur, maka banyaknya susunan (permutasi) yang berbeda dari $n$ unsur tersebut adalah: 

$P_{n,n}=n!$ atau $_nP_n=n!$

Contoh:

Untuk menyambut sebuah pertemuan delegasi negara yang dihadiri oleh lima negara, panitia akan memasang kelima bendera dari lima negara yang hadir. Banyak cara panitia menyusun kelima bendera tersebut adalah …

Jawab:

Dik : $n = 5$

Dit : $_5P_5$...?

Penyelesaian :

$_nP_n=n!$

$_5P_5=5!$

        $= 5.4.3.2.1$

        $= 120$ cara.

2. Permutasi $n$ elemen, tiap permutasi terdiri dari $r$ unsur dari $n$ elemen dengan $r ≤ n$

Untuk semua bilangan positif $n$ dan $r$, dengan $r ≤ n$, banyaknya permutasi dari $n$ objek yang diambil $r$ objek pada satu waktu adalah:

$P_{n,r}=_nP_r=\frac{n!}{(n-r)!}$

Note : rumus permutasi ini memiliki syarat, yaitu urutan harus diperhatikan, ya!

Contoh:

Banyak cara untuk memilih seorang ketua, sekertaris dan bendahara dari $8$ siswa yang tersedia adalah…

Jawab:

Dik : $n = 8$

          $r = 3$

Dit : $_8P_3$

Penyelesaian :

$_nP_n=\frac{n!}{(n-r)!}$

$_8P_3=\frac{8!}{(8-3)!}$

         $=\frac{8!}{5!}$

         $=\frac{8\times7\times6\times5!}{5!}$

         $=8\times7\times6$

         $=336$ cara

3. Permutasi dari $n$ unsur yang mengandung $p$, $q$ dan $r$ unsur yang sama

$P_{n,k_1!.k_2!...k_t!}=_nP_{k_1!.k_2!...k_t!}=\frac{n!}{k_1!.k_2!...k_t!}$

Keterangan:

$n$    = banyaknya elemen seluruhnya

$k_1$  = banyaknya elemen kelompok $1$ yang sama

$k_2$  = banyaknya elemen kelompok $2$ yang sama …

$k_t$   = banyaknya elemen kelompok $k_t$ yang sama $t = 1,2,3,$…

Contoh:

Banyak cara untuk menyusun dari kata ”BASSABASSI” adalah…

Jawab:

Dik : kata ”BASSABASSI”, banyak huruf $(n) = 10$

       $k_1 =$ huruf $B = 2$

       $k_2 =$ huruf $A = 3$

       $k_3 =$ huruf $S = 4$

       $k_4 =$ huruf $I = 1$

Dit :$_{10}P_{2!.3!.4!.1!}=$...?

Penyelesaian :

$_nP_{k_1!.k_2!....k_t!}=\frac{n!}{k_1!.k_2!...k_t!}$

$_{10}P_{2!.3!.4!.1!}=\frac{10!}{2!.3!.4!.1!}$

                     $=\frac{10\times9\times8\times7\times6\times5\times4!}{2\times1.3\times2\times1.4!.1}$

                     $=\frac{151.200}{12}$

                     $=12.600$ cara

4. Permutasi Siklis

Permutasi siklis adalah permutasi melingkar (urutan melingkar).

$_nP_{siklis}=(n-1)!$

Contoh:

Dari $5$ orang anggota keluarga akan duduk mengelilingi sebuah meja bundar, banyak cara susunan yang dapat dibuat dari $5$ orang tersebut adalah…

Jawab:

Dik : $n = 5$

Dit : $_nP_{siklis}=$...?

Penyelesaian :

$_nP_{siklis}=(n-1)!$

$_5P_{siklis} = (5 – 1)!$

               $= 4!$ 

               $= 4\times3\times2\times1$

               $= 24$ cara.

5. Permutasi berulang dari n unsur, tipe permutasi terdiri dari k unsur

$P_n=n^k$

Contoh:

Banyak susunan $3$ bilangan dari angka-angka $1, 2, 3, 4, 5$ dan $6$ adalah…

Jawab:

Dik : Banyak susunan $3$ bilangan, berarti bilangan ratusan, $k = 3$

         Banyak angka yang akan disusun, $n = 6$

Dit : $P_6=$...?

Penyelesaian :

$P_n=n^k$

$P_6 = 6^3$

       $= 216$ susunan.

Latihan Soal 

1. Seorang kandidat presiden hanya dapat mengunjungi enam provinsi dari sepuluh provinsi yang ingin dikunjunginya. Berapa banyak cara dengan urutan berbeda, ia dapat mengunjungi provinsi-provinsi itu? 

2. Bilangan terdiri dari $4$ angka disusun dari angka-angka $1, 2, 3, 5, 6$, dan $7$. Hitung banyak susunan bilangan dengan angka-angka yang berlainan (angka-angkanya tidak boleh berulang). 

3. Pada suatu pameran karya seni, lukisan-lukisan ditempatkan pada satu baris. Dengan berapa cara penempatan lukisan dapat dilakukan jika ada $10$ lukisan yang dipamerkan?

 

4. Terdapat $4$ buku matematika, $3$ buku fisika, dan $5$ buku kimia yang berbeda akan disusun ke dalam rak yang dapat memuat semua buku. Berapa susunan yang mungkin jika: 

a.  buku yang sejenis saling berdampingan

b.  buku-buku fisika saja yang saling berdampingan 

5. Berapa banyak permutasi dari huruf-huruf pada kata  STATISTIKA?

6. Pada suatu ruas jalan dipasang lampu hias yang terdiri dari $3$ bohlam kuning, $6$ bohlam merah, dan $4$ bohlam hijau. Tentukan banyaknya cara memasang lampu hias tersebut jika bohlam berwarna sama tidak dapat dibedakan? 

7. Tujuh orang duduk mengelilingi meja bundar. Berapa banyaknya susunan duduk yang berbeda dari ketujuh orang itu? 

8. Dengan berapa cara $5$ anak laki-laki dan $3$ anak perempuan dapat disusun pada suatu lingkaran jika anak perempuan selalu berdekatan (berkumpul)? 

 

Pembahasan

sumber : https://www.ruangguru.com/blog/jenis-permutasi-dalam-teori-peluang

Sumber : @2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN