Pengertian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
Sistem persamaan linear tiga variabel adalah persamaan linear yang mengandung tiga variabel. Misalnya, variabel $x$, $y$, dan $z$.
Supaya ananda bisa lebih gampang membedakan antara persamaan linear tiga variabel dengan dua variabel, coba perhatikan contohnya berikut ini.
Diketahui $2x – y = 8$ dan $x + 2y = 9$ adalah sistem persamaan linear dua variabel. Gimana solusi penyelesaiannya? ananda masih ingat, kan?
Di sini, nilai $x$ dan $y$ adalah $5$ dan $2$. Karena, kalau kedua nilai tersebut ananda masukkan ke dalam persamaan, keduanya bakal memenuhi persamaan pertama dan kedua. Artinya, nilai $x$ dan $y$ memenuhi persamaan linear dua variabel tersebut.
Terus, gimana kalau persamaan linear tiga variabel? Kira-kira, sama nggak dengan persamaan linear dua variabel?
Jadi, sistem persamaan linear tiga variabel punya suatu bentuk umum yang dijadikan sebagai rumus. Rumus sistem persamaan linear tiga variabel tersebut adalah sebagai berikut.
$a_1x+b_1y+c_1z=d_1$
$a_2x+b_2y+c_2z=d_2$
$a_3x+b_3y+c_3z=d_3$
Tapi, ananda nggak cukup menghafal rumusnya aja, ya. Dari rumus ini, setidaknya ananda tahu gimana bentuk dan cara menyelesaikan persamaannya. Di sini, ananda harus cari nilai $x$, $y$, $z$ yang memenuhi persamaan pertama, kedua, dan ketiga.
Contohnya, diketahui sistem persamaan linear tiga variabel seperti di bawah ini.
$x + y – z = 2$
$2x +y + z = 6$
$x +2y + z = 5$
Kira-kira, berapa nilai $x$, $y$, dan $z$ yang memenuhi persamaan di atas? Kita coba satu-satu, ya. Misal $x$, $y$, dan $z$ adalah $(1, 1, 1)$. Maka,
$x + y – z = 2 → 1 + 1 – 1 = 1$
Oke, karena $(1, 1, 1)$ nggak memenuhi persamaan linear tiga variabel di atas, sekarang kita coba pakai nilai $x$, $y$, dan $z$ adalah $(2, 1, 1)$.
$x + y – z = 2$ → $2 + 1 – 1 = 2$ → memenuhi
$2x +y + z = 6$ → $4 + 1 + 1 = 6$ → memenuhi
$x +2y + z = 5$ → $2 + 2 + 1 = 5$ → memenuhi
Nah, karena nilai $(2, 1, 1)$ memenuhi ketiga persamaan, artinya solusi dari contoh soal di atas adalah $(2, 1, 1)$.
Tapi, ananda sadar, nggak? Contoh soal SPLTV di atas kita kerjakan pakai cara menebak-nebak nilai $x$, $y$, dan $z$. Nggak mungkin, dong, pas lagi ulangan kita pakai cara yang sama? Hm, pasti bakal ngabisin banyak waktu.
Terus, gimana cara menemukan nilai $x$, $y$, dan $z$ dari sistem persamaan linear tiga variabel yang sebenarnya? Langsung aja, gue bakal coba jelasin caranya di bawah ini.
Cara Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
Solusi dari sistem persamaan linear tiga variabel biasanya berbentuk himpunan penyelesaian. Kayak yang udah di tulis di atas, nantinya solusi penyelesaian bakal dinyatakan dalam $(x, y, z)$.
Nah, sekarang pertanyaannya, gimana cara menemukan himpunan penyelesaian itu? Well, sebenarnya ada beberapa cara, di antaranya eliminasi dan substitusi.
Metode Eliminasi dan Substitusi
Penyelesaiaan SPLTV dengan metode eliminasi artinya adalah menghapus atau menghilangkan salah satu Variabel di persamaan tersebut. sedangkan metode substitusi adalah mengubah satu variabel menggunakan variabel yang lainnya
Misal, diketahui variabel ketiga persamaan adalah $x$, $y$, dan $z$. Di sini, ananda bisa menghilangkan variabel $z$ terlebih dulu, atau sebaliknya, untuk menemukan himpunan penyelesaiannya.
Biar lebih gampang dipahami, ananda bisa lihat contoh penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel menggunakan metode eliminasi di bawah ini.
$x+y+z=3$ Persamaan (1)
$2x+y-5z=-8$ Persamaan (2)
$3x-2y+z=5$ Persamaan (3)
Gunakan persamaan (1) dan Persamaan (2) seperti berikut ini
$x+y+z=3$
$\underline{2x+y-5z=-8}$ $\underline{ }$
$-x + 6z = 11$ Persamaan (4)
Dari contoh di atas, variabel yang dihilangkan adalah $y$. Jadi, ananda dapat persamaan pertama dari hasil eliminasi, yaitu $-x + 6z = 11$.
Nah, supaya ananda bisa mencari nilai $x$ dan $z$, di sini butuh persamaan lainnya yang punya variabel $x$ dan $z$ juga. Menurut ananda, gimana caranya? Betul banget, ananda bisa ambil persamaan pertama dan ketiga dari soal. Tapi, jangan langsung ananda eliminasi karena kalau dieliminasi yang hilang nilai $z$-nya.
Karena yang kita butuh eliminasi adalah nilai $y$, semua unsur dari persamaan $1$ bisa ananda kalikan $2$ dan unsur dari persamaan $2$ ananda kalikan dengan $1$. Jadinya begini, deh.
$x+y+z=3$ $|2|$ $2x+2y+2z=6$
$3x-2y+z=5$ $|1|$ $\underline{3x-2y+z=5}$ $+$
$5x+3z=11$ Persamaan (5)
Oke, sekarang ananda udah punya 2 persamaan, kan? yaitu persamaan (4) dan Persamaan (5). Artinya, balik lagi jadi sistem persamaan dua variabel. ananda udah tahu dong, gimana cara ngerjainnya?
Berikut ini adalah cara menyelesaikannya
$-x + 6z = 11$ $|1|$ $-x+6z=11$
$5x+3z=11$ $|2|$ $\underline{10x+6z=22}$ $_-$
$-11x=-11$
$x=1$
Ketemu deh, nilai $x$-nya. Kalau udah kayak gini, ananda bisa langsung cara nilai $y$ dan $z$ pakai metode substitusi.
$5x+3z=11$
$5(1)+3z=11$
$5+3z=11$
$3z=11-5$
$z=\frac{6}{3}$
$z=2$
Menentukan nilai $y$, substitusi $x=1$ dan $z=2$ ke persamaan (1), seperti berikut
$x+y+z=3$
$1+y+2=3$
$y=3-2-1$
$y=0$
Nah, udah lengkap semuanya. ananda udah berhasil menemukan nilai $x$, $y$, dan, $z$. Jadi, dari metode eliminasi dan substitusi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tiga variabel di atas adalah HP = ${ (1,0,2) }$.
Wah, panjang juga cara menemukan solusi SPLTV. Walaupun cukup banyak langkahnya, ananda udah paham, kan, sampai di sini?
Silahkan komentar, jika ada yang masih belum paham
sumber belajar : https://www.zenius.net
Selamat Belajar Semoga Sukses
