sumber gambar : https://2.bp.blogspot.com
Kaidah PencacahanKaidah pencacahan adalah suatu cara/aturan untuk menghitung semua kemungkinan yang dapat terjadi dalam suatu percobaan tertentu. Kaidah pencacahan ini antara lain adalah aturan pengisian termpat, permutasi, dan kombinasi.
Aturan pengisian tempat
Aturan pengisian tempat adalah suatu cara yang dapat dilakukan dengan cara mendaftar semua kemungkinan hasil secara manual. Ada beberapa cara mendaftar dalam aturan ini antara lain adalah dengan diagram pohon, dengan label silang, dan dengan pasangan terurut.
Definisi notasi faktorial
1. Misalkan $n$ bilangan asli, maka $n! = n(n - 1)\times(n - 2) ... 3 \times 2 \times 1$
2. $0! = 1$
Contoh:
$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$
Permutasi
Permutasi dari sekumpulan objek adalah banyaknya susunan objek-objek berbeda dalam urutan tertentu tanpa ada objek yang diulang dari objek-objek tersebut.
- Permutasi $n$ objek dari $n$ objek yang berbeda dirumuskan:
${_n}P_{n}=n!$
- Permutasi $k$ objek dari $n$ objek yang berbeda, $k\leq n$, dirumuskan:
${_n}P_{k}=\frac{n!}{(n-k)!}$
Contoh:
Banyak kemungkinan dalam pemilihan presiden dan wakil presiden dengan lima orang calon adalah...
Jawab:
$_{5}P_2 = \frac{5!}{(5 - 2)!} = 5 \times 4 = 20$ kemungkinan.
- Permutasi $n$ objek dari $n$ objek dengan beberapa objek sama, misal $n$ objek yang terdiri dari sejumlah $n_1$ objek $q_1$, sejumlah $n_2$ objek $q_2$, ... , dan sejumlah $n_k$ objek $q_k$ dengan $n_l + n_2 + ... + n_k = n$, dirumuskan:
$_nP_{n_1,n_2,...n_k}=\frac{n!}{n_1!n_2!...n_k!}$
Contoh:
Pada kata GANGGANG terdapat 8 huruf dengan 4 huruf G, 2 huruf A dan 2 huruf N, sehingga banyak susunan huruf berbeda yang dapat dibentuk dari kata 'GANGGANG' adalah ...
Jawab:
$_8P_{4,2,2} =\frac{8!}{4!2!2!} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 = 420$ huruf
Permutasi siklis
Permutasi siklis digunakan untuk menghitung banyak susunan yang mungkin dari sejumlah $n$ objek berbeda yang ditempatkan secara melingkar, dan dirumuskan:
$_nP_{siklis}= (n - 1)!$
Kombinasi
Kombinasi dari sekumpulan objek adalah banyaknya susunan objek-objek tanpa memperhatikan urutan objek dari objek-objek tersebut.
- Kombinasi $n$ objek dari $n$ objek yang berbeda dirumuskan:
$_nC_n=1$
- Kombinasi $k$ objek dari $n$ objek yang berbeda, $k \leq n$, dirurnuskan:
$_nC_k = \frac{n!}{k! (n - k)!}$
$_nC_k $ juga dapat ditulis sebagai $\begin{pmatrix}n\\k \end{pmatrix}$
Contoh:
Banyak susunan yang mungkin dalam pemilihan 3 siswa dari 8 siswa adalah...
Jawab:
$_8C_3 = \frac{8!}{3!(8-3)!}=\frac{8!}{3!5!} = 56$ kemungkinan.
- Kombinasi $k$ objek dari $n$ objek yang terdiri dari sejumlah $n_l$ objek $q_l$ sejumlah $n_2$ objek $q_2$ ..., dan sejumlah $n_e$ objek $q_e$ dengan $n_l + n_2 + ... + n_k = n$ dan beberapa objek sama, misalnya sejumlah $m_1$ objek $q_l$ sejurnlah $m_e$ objek $q_e$ ... , dan sejumlah $m_e$ objek $q_e$ dengan $m_1 + m_2 + .. , + m_e = k$ dirumuskan:
$_{n_1}C_{m_1}\times_{n_2}C_{m_2}\times_{n_e}C_{m_e}$ atau $\begin{pmatrix}n_1\\m_1 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}n_2\\m_2 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}n_e\\m_e \end{pmatrix}$
Contoh:
Dalam sebuah kotak berisi 5 bola merah, 3 bola putih, dan 2 bola biru. Banyak cara mengambil tiga bola terdiri dari 1 bola merah, 1 bola putih, dan 1 bola biru adalah...
Jawab:
$_{5}C_{1}\times_{3}C_{1}\times_{2}C_{1}=\frac{5!}{1!(5-1)!}\times\frac{3!}{1!(3-1)!}\times\frac{2!}{1!(2-1)!}$
$=5\times3\times2=30$
Peluang Suatu Keiadian
Peluang terjadinya kejadian E dilambangkan oleh $P(E)$.
Teorema 1:
Jika ruang sampel $S$ terdiri dari titik-titik sampel yang serupa, sehingga masing-masing mempunyai peluang sama dan $E$ adalah kejadian yang diharapkan terjadi, maka :
$P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}$
dengan $n(E)$ = banyaknya anggota $E$ dan $n(S)$ = banyaknya anggota ruang sampel.
Kisaran peluang suatu kejadian $E$ adalah $0 \leq P(E) \leq 1$.
Contoh:
Sebuah dadu dilempar undi sekali. Ruang sampel $(S) = (1, 2, 3, 4, 5, 6)$; $n(S)=6$. Akan ditentukan peluang, munculnya mata dadu ganjil.
$E$ = muncul mata dadu ganjil =$(1, 3, 5)$; $n(E) = 3$
Peluang muncul mata dadu ganjil pada satu kali pelemparan dadu adalah
$P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
Frekuensi Harapan
Frekuensi harapan suatu kejadian pada percobaan yang dilakukan $N$ kali adalah hasil kali peluang kejadian tersebut dengan banyaknya percobaan, dirumuskan:
$F_h(E)=N\times P(E)$
Contoh:
Frekuensi harapan munculnya sisi gambar pada 10 kali pelemparan uang logam adalah ...
Jawab:
$F_h(E) = N \times P(E) = 10 \times \frac{1}{2} = 5$
Frekuensi Relatif
Frekuensi relatif kejadian $E$, ditulis $F_r(E)$, adalah banyaknya kemungkinan dibagi dengan banyaknya percobaan, dirumuskan:
$F_r(E)=\frac{\text{banyaknya kemunculan E}}{\text{banyak percobaan}}$
Contoh:
Diketahui mata dadu 6 rnuncul sebanyak 25 kali dan 100 kali pelemparan undi sebuah dadu. Frekuensi relatifnya adalah ...
Jawab:
$F_r (\text{mata dadu 6}) =\frac{\text{banyaknya kemunculan mata dadu 6}}{\text{banyak percobaan}}=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$
Kejadian Majernuk
Kejadian majemuk adalah kombinasi beberapa kejadian untuk menghasilkan suatu kejadian baru.
Komplemen suatu Kejadian
Komplemen suatu kejadian, dinotasikan $\bar{E}$, $E'$, atau $E^C$, adalah kejadian tidak terjadinya kejadian $E$.
Contoh:
Sebuah kotak berisi $5$ bola merah, $3$ bola putih, dan $2$ bola hijau. Dari dalam kotak diambil sebuah bola secara acak. Peluang terambil bola bukan hijau dapat ditentukan sebagai berikut.
$(S) = (I, 2, 3, ... , 9, 10); n(S) = 10$.
Misal $H = \text{kejadian terambil bola hijau}$.
$H^c= \text{kejadian terambil bola bukan hijau}$; $n(H) = 2$.
Jadi, $P(H^C) = 1 - P(H) = 1 - \frac{2}{10} =\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$
Peluang Gabungan Dua Kejadian vang Saling lepas
Dua kejadian disebut saling lepas (mutually exclusive) atau saling asing (disjoint) jika irisan dua kejadian tersebut merupakan himpunan kosong.
Misalkan $E_1$ dan $E_2$ adalah dua kejadian pada percobaan yang sama, maka:
