Rangkuman Materi PELUANG

sumber gambar : https://2.bp.blogspot.com

Kaidah Pencacahan

Kaidah pencacahan  adalah  suatu  cara/aturan  untuk  menghitung  semua kemungkinan yang dapat terjadi dalam  suatu percobaan tertentu.  Kaidah  pencacahan  ini antara  lain adalah  aturan pengisian termpat, permutasi,  dan kombinasi.

Aturan  pengisian tempat

Aturan pengisian  tempat  adalah  suatu  cara yang  dapat  dilakukan  dengan  cara mendaftar semua kemungkinan  hasil secara manual. Ada  beberapa  cara  mendaftar  dalam  aturan  ini antara  lain adalah dengan diagram  pohon, dengan label silang, dan dengan  pasangan  terurut.

Definisi  notasi   faktorial

1. Misalkan $n$ bilangan asli, maka $n! = n(n - 1)\times(n - 2)  ...  3 \times 2 \times  1$

2. $0! =  1$

Contoh: 

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times  1 =  120$

Permutasi

Permutasi dari sekumpulan  objek  adalah  banyaknya  susunan  objek-objek  berbeda dalam urutan tertentu tanpa ada objek yang diulang dari objek-objek  tersebut.

• Permutasi $n$  objek  dari $n$  objek  yang  berbeda  dirumuskan:

${_n}P_{n}=n!$

• Permutasi $k$  objek  dari $n$  objek  yang  berbeda, $k\leq n$, dirumuskan:

${_n}P_{k}=\frac{n!}{(n-k)!}$

Contoh:

Banyak kemungkinan  dalam  pemilihan  presiden  dan wakil presiden dengan  lima orang calon adalah...

Jawab:

$_{5}P_2   = \frac{5!}{(5 - 2)!} = 5 \times 4 = 20$ kemungkinan.

• Permutasi $n$  objek dari $n$ objek  dengan  beberapa  objek sama,   misal $n$  objek yang terdiri dari sejumlah $n_1$ objek $q_1$, sejumlah  $n_2$  objek  $q_2$, ... ,   dan  sejumlah  $n_k$  objek $q_k$  dengan  $n_l  + n_2 + ... + n_k = n$, dirumuskan:

$_nP_{n_1,n_2,...n_k}=\frac{n!}{n_1!n_2!...n_k!}$

Contoh:

Pada kata  GANGGANG terdapat  8 huruf  dengan  4 huruf  G, 2 huruf A dan 2 huruf N, sehingga  banyak susunan huruf  berbeda  yang  dapat  dibentuk  dari kata 'GANGGANG'  adalah ...

Jawab:

$_8P_{4,2,2} =\frac{8!}{4!2!2!} = 8 \times 7 \times 6 \times 5  = 420$ huruf

Permutasi siklis

Permutasi siklis  digunakan  untuk  menghitung  banyak   susunan  yang mungkin  dari sejumlah  $n$ objek berbeda yang ditempatkan  secara  melingkar,  dan  dirumuskan:

$_nP_{siklis}= (n - 1)!$

Kombinasi

Kombinasi dari  sekumpulan   objek  adalah  banyaknya    susunan   objek-objek    tanpa memperhatikan     urutan   objek   dari objek-objek   tersebut.

• Kombinasi   $n$  objek  dari  $n$  objek  yang  berbeda   dirumuskan:

$_nC_n=1$

• Kombinasi   $k$ objek  dari  $n$ objek  yang  berbeda, $k \leq n$, dirurnuskan:

$_nC_k  = \frac{n!}{k!  (n -  k)!}$

$_nC_k$ juga dapat ditulis sebagai $\begin{pmatrix}n\\k \end{pmatrix}$

Contoh:

Banyak susunan  yang  mungkin   dalam  pemilihan   3 siswa  dari  8 siswa  adalah...

Jawab:

$_8C_3 = \frac{8!}{3!(8-3)!}=\frac{8!}{3!5!} = 56$ kemungkinan.

• Kombinasi $k$ objek  dari  $n$ objek  yang  terdiri   dari  sejumlah $n_l$   objek  $q_l$     sejumlah   $n_2$  objek   $q_2$ ...,   dan  sejumlah $n_e$ objek  $q_e$   dengan   $n_l   + n_2  +  ...  + n_k  = n$ dan  beberapa   objek  sama,  misalnya   sejumlah   $m_1$    objek  $q_l$     sejurnlah $m_e$ objek  $q_e$ ...  , dan  sejumlah   $m_e$   objek  $q_e$  dengan   $m_1   + m_2   +  .. , + m_e   = k$  dirumuskan:

$_{n_1}C_{m_1}\times_{n_2}C_{m_2}\times_{n_e}C_{m_e}$ atau $\begin{pmatrix}n_1\\m_1 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}n_2\\m_2 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}n_e\\m_e \end{pmatrix}$

Contoh:

Dalam   sebuah   kotak   berisi  5 bola  merah,   3 bola  putih,  dan  2 bola  biru.  Banyak   cara  mengambil    tiga  bola terdiri  dari   1 bola  merah,   1 bola  putih,  dan  1 bola  biru  adalah...

Jawab:

$_{5}C_{1}\times_{3}C_{1}\times_{2}C_{1}=\frac{5!}{1!(5-1)!}\times\frac{3!}{1!(3-1)!}\times\frac{2!}{1!(2-1)!}$

                                  $=5\times3\times2=30$

Peluang  Suatu  Keiadian

Peluang  terjadinya    kejadian   E dilambangkan     oleh  $P(E)$.

Teorema    1:      

Jika  ruang   sampel   $S$  terdiri   dari  titik-titik     sampel yang      serupa, sehingga   masing-masing  mempunyai peluang   sama  dan  $E$ adalah   kejadian   yang  diharapkan    terjadi,  maka :

$P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}$

dengan   $n(E)$ =   banyaknya    anggota   $E$  dan  $n(S)$     = banyaknya    anggota   ruang    sampel.

Kisaran    peluang   suatu   kejadian   $E$  adalah   $0 \leq P(E) \leq 1$.

Contoh:

Sebuah   dadu  dilempar    undi  sekali.   Ruang sampel   $(S) = (1, 2, 3, 4, 5, 6)$; $n(S)=6$. Akan ditentukan  peluang, munculnya  mata dadu ganjil.

$E$ =   muncul  mata dadu  ganjil =$(1,  3, 5)$; $n(E) =   3$

Peluang  muncul  mata dadu  ganjil pada  satu kali pelemparan  dadu adalah

$P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

Frekuensi   Harapan

Frekuensi harapan  suatu  kejadian  pada  percobaan  yang dilakukan $N$ kali adalah hasil kali peluang  kejadian  tersebut dengan banyaknya  percobaan,  dirumuskan: 

$F_h(E)=N\times P(E)$

Contoh:

Frekuensi  harapan  munculnya  sisi gambar pada  10 kali pelemparan  uang logam adalah ...

Jawab:

$F_h(E) = N \times P(E)  =    10 \times \frac{1}{2}    =   5$

Frekuensi   Relatif

Frekuensi relatif  kejadian  $E$, ditulis  $F_r(E)$, adalah  banyaknya kemungkinan  dibagi dengan banyaknya  percobaan, dirumuskan: 

$F_r(E)=\frac{\text{banyaknya kemunculan E}}{\text{banyak percobaan}}$

Contoh:

Diketahui  mata  dadu  6 rnuncul  sebanyak  25 kali dan  100 kali pelemparan  undi sebuah dadu.  Frekuensi relatifnya  adalah ...

Jawab:

$F_r (\text{mata  dadu  6}) =\frac{\text{banyaknya  kemunculan  mata dadu 6}}{\text{banyak  percobaan}}=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$

Kejadian  Majernuk

Kejadian majemuk  adalah  kombinasi  beberapa  kejadian  untuk  menghasilkan  suatu kejadian  baru.

Komplemen   suatu   Kejadian

Komplemen suatu  kejadian,  dinotasikan  $\bar{E}$, $E'$, atau $E^C$,  adalah  kejadian tidak terjadinya  kejadian $E$.

Contoh:

Sebuah kotak  berisi  $5$ bola  merah,  $3$ bola  putih, dan $2$ bola hijau. Dari dalam  kotak diambil  sebuah  bola  secara acak. Peluang  terambil  bola  bukan  hijau  dapat  ditentukan  sebagai  berikut.

$(S) =    (I,  2, 3,  ... , 9,  10); n(S) =    10$. 

Misal $H =   \text{kejadian  terambil  bola  hijau}$.

$H^c= \text{kejadian  terambil  bola  bukan  hijau}$; $n(H)  = 2$.

Jadi,   $P(H^C) = 1  -   P(H)  =    1 - \frac{2}{10} =\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$

Peluang Gabungan   Dua  Kejadian   vang  Saling  lepas

Dua kejadian disebut  saling  lepas  (mutually  exclusive)  atau saling  asing (disjoint) jika  irisan  dua kejadian  tersebut merupakan himpunan  kosong.

Misalkan $E_1$  dan $E_2$  adalah  dua kejadian pada percobaan  yang  sama, maka: