Selamat berjumpa kembali dengan M-IPA plus E-Learning, pada kesempatan ini, kita akan belajar tentang Sudut Berelasi pada Trigonometri, silahkan simak materi ajar berikut ini:
nah, sahabat... Perbandingan trigonometri sudut berelasi merupakan perluasan dari definisi dasar trigonometri tentang kesebangunan pada segitiga siku-siku ya... yang hanya memenuhi untuk sudut kuadran I atau sudut lancip (0 sampai 90°).
Dengan menggunakan sudut-sudut berelasi, kita dapat menghitung nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut pada kuadran lainnya, sahabat.... bagaimana konsepnya ...?
untuk ringkasannya seperti ini sahabat...
Sudut Relasi Kuadran I
Untuk setiap $α$ lancip, maka $(90° − α)$ akan menghasilkan sudut-sudut kuadran $I$. Dalam trigonometri, relasi sudut-sudut tersebut dinyatakan sebagai berikut :
sin $(90° − α)$ = cos $α$
cos $(90° − α)$ = sin $α$
tan $(90° − α)$ = cot $α$
Sudut Relasi Kuadran II
Untuk setiap $α$ lancip, maka $(90° + α)$ dan $(180° − α)$ akan menghasilkan sudut-sudut kuadran $II$. Dalam trigonometri, relasi sudut-sudut tersebut dinyatakan sebagai berikut :
sin $(90° + α)$ = cos $α$
cos $(90° + α)$ = $-$sin $α$
tan $(90° + α)$ = $-$cot $α$
sin $(180° − α)$ = sin $α$
cos $(180° − α)$ = $-$cos $α$
tan $(180° − α)$ = $-$tan $α$
Sudut Relasi Kuadran III
Untuk setiap $α$ lancip, maka $(180° + α)$ dan $(270° − α)$ akan menghasilkan sudut kuadran $III$. Dalam trigonometri, relasi sudut-sudut tersebut dinyatakan sebagai berikut :
sin $(180° + α)$ = $-$sin $α$
cos $(180° + α)$ = $-$cos $α$
tan $(180° + α)$ = tan $α$
sin $(270° − α)$ = $-$cos $α$
cos $(270° − α)$ = $-$sin $α$
tan $(270° − α)$ = cot $α$
Sudut Relasi Kuadran IV
Untuk setiap $α$ lancip, maka $(270° + α)$ dan $(360° − α)$ akan menghasilkan sudut kuadran $IV$. Dalam trigonometri, relasi sudut-sudut tersebut dinyatakan sebagai berikut :
sin $(270° + α)$ = $-$cos $α$
cos $(270° + α)$ = sin $α$
tan $(270° + α)$ = $-$cot $α$
sin $(360° − α)$ = $-$sin $α$
cos $(360° − α)$ = cos $α$
tan $(360° − α)$ = $-$tan $α$
Jika diperhatikan, rumus-rumus diatas mempunyai pola yang hampir sama, oleh karena itu sangatlah tidak bijak jika harus menghafalnya satu per satu. Ada $2$ hal yang harus diperhatikan, yaitu sudut relasi yang dipaka dan tanda untuk tiap kuadran.
Untuk relasi $(90° ± α°)$ atau $(270° ± α°)$, maka :
sin → cos
cos → sin
tan → cot
Untuk relasi $(180° ± α°)$ atau $(360° ± α°)$, maka :
sin = sin
cos = cos
tan = tan
Tanda masing-masing kuadran :
Kuadran $I$ $(0° − 90°)$ = semua positif
Kuadran $II$ $(90° − 180°)$ = sinus positif
Kuadran $III$ $(180° − 270°)$ = tangen positif.
Kuadran $IV$ $(270° − 360°)$ = cosinus positif
Perbandingan Trigonometri Sudut Negatif $(-α)$
sin $(-α)$ = $-$sin $α$ cosec $(-α)$ = $-$cosec $α$
cos $(-α)$ = cos $α$ sec $(-α)$ = sec $α$
tan $(-α)$ = $-$tan $α$ cot $(-α)$ = $-$cot $α$
Contoh Soal 1
Tentukan nilai dari sec $225^o$ !
Jawab:
sec $225^o=$ sec $(270^o+45^o)$, karena sec $(270^o+45^o)$=$-$sec $45^2$, maka
sec $225^o=-$ sec $45^o$
sec $225^o=- \frac{1}{\text{cos }45^o}$
sec $225^o=- \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}}}$
sec $225^o=- \sqrt{2}$
Contoh soal 2
Tentukan nilai dari $\frac{\text{sin }45^o.\text{ sin }25^o}{\text{sin }30^o.\text{ cos }65^o}$
Jawab:
$\frac{\text{sin }45^o.\text{ sin }25^o}{\text{sin }30^o.\text{ cos }65^o}$$=$$\frac{\text{sin }45^o.\text{ sin }25^o}{\text{sin }30^o.\text{ cos }90^o-25^o}$
$=\frac{\text{sin }45^o.\text{ sin }25^o}{\text{sin }30^o.\text{ cos }90^o-25^o}$
$=\frac{\text{sin }45^o.\text{ sin }25^o}{\text{sin }30^o.\text{ sin }25^o}$
$=\frac{\text{sin }45^o}{\text{sin }30^o}$
$=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}$
$=\sqrt{2}$
Contoh soal 3
Hitunglah nilai dari $\text{cos}^230^o-\text{sin}^2135^o+8\text{ sin }45^o.\text{cos }135^o$
Jawab:
$\text{cos}^230^o-\text{sin}^2135^o+8\text{ sin }45^o.\text{cos }135^o$
$=\text{cos}^{2}30^{o}-\text{sin}^{2}(180^{o}-45^{o})+8\text{ sin }45^{o}.\text{cos }(180^{o}-45^{o})$
$=(\frac{1}{2} \sqrt{3})^{2}$-$(\frac{1}{2} \sqrt{2})^{2}$+$8.\frac{1}{2}\sqrt{2}.(-\frac{1}{2}\sqrt{2})$
$=\frac{3}{4}-\frac{2}{4}-\frac{16}{4}$
$=-\frac{15}{4}$
$=-3\frac{3}{4}$
