Selamat berjumpa kembali dengan M-IPA plus E-Learning, pada kesempatan ini, kita akan belajar tentang Sudut Berelasi pada Trigonometri, silahkan simak materi ajar berikut ini:
nah, sahabat... Perbandingan trigonometri sudut berelasi merupakan perluasan dari definisi dasar trigonometri tentang kesebangunan pada segitiga siku-siku ya... yang hanya memenuhi untuk sudut kuadran I atau sudut lancip (0 sampai 90°).
Dengan menggunakan sudut-sudut berelasi, kita dapat menghitung nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut pada kuadran lainnya, sahabat.... bagaimana konsepnya ...?
untuk ringkasannya seperti ini sahabat...
Sudut Relasi Kuadran I
Untuk setiap α lancip, maka (90° − α) akan menghasilkan sudut-sudut kuadran I. Dalam trigonometri, relasi sudut-sudut tersebut dinyatakan sebagai berikut :
sin (90° − α) = cos α
cos (90° − α) = sin α
tan (90° − α) = cot α
Sudut Relasi Kuadran II
Untuk setiap α lancip, maka (90° + α) dan (180° − α) akan menghasilkan sudut-sudut kuadran II. Dalam trigonometri, relasi sudut-sudut tersebut dinyatakan sebagai berikut :
sin (90° + α) = cos α
cos (90° + α) = -sin α
tan (90° + α) = -cot α
sin (180° − α) = sin α
cos (180° − α) = -cos α
tan (180° − α) = -tan α
Sudut Relasi Kuadran III
Untuk setiap α lancip, maka (180° + α) dan (270° − α) akan menghasilkan sudut kuadran III. Dalam trigonometri, relasi sudut-sudut tersebut dinyatakan sebagai berikut :
sin (180° + α) = -sin α
cos (180° + α) = -cos α
tan (180° + α) = tan α
sin (270° − α) = -cos α
cos (270° − α) = -sin α
tan (270° − α) = cot α
Sudut Relasi Kuadran IV
Untuk setiap α lancip, maka (270° + α) dan (360° − α) akan menghasilkan sudut kuadran IV. Dalam trigonometri, relasi sudut-sudut tersebut dinyatakan sebagai berikut :
sin (270° + α) = -cos α
cos (270° + α) = sin α
tan (270° + α) = -cot α
sin (360° − α) = -sin α
cos (360° − α) = cos α
tan (360° − α) = -tan α
Jika diperhatikan, rumus-rumus diatas mempunyai pola yang hampir sama, oleh karena itu sangatlah tidak bijak jika harus menghafalnya satu per satu. Ada 2 hal yang harus diperhatikan, yaitu sudut relasi yang dipaka dan tanda untuk tiap kuadran.
Untuk relasi (90° ± α°) atau (270° ± α°), maka :
sin → cos
cos → sin
tan → cot
Untuk relasi (180° ± α°) atau (360° ± α°), maka :
sin = sin
cos = cos
tan = tan
Tanda masing-masing kuadran :
Kuadran I (0° − 90°) = semua positif
Kuadran II (90° − 180°) = sinus positif
Kuadran III (180° − 270°) = tangen positif.
Kuadran IV (270° − 360°) = cosinus positif
Perbandingan Trigonometri Sudut Negatif (-α)
sin (-α) = -sin α cosec (-α) = -cosec α
cos (-α) = cos α sec (-α) = sec α
tan (-α) = -tan α cot (-α) = -cot α
Contoh Soal 1
Tentukan nilai dari sec 225^o !
Jawab:
sec 225^o= sec (270^o+45^o), karena sec (270^o+45^o)=-sec 45^2, maka
sec 225^o=- sec 45^o
sec 225^o=- \frac{1}{\text{cos }45^o}
sec 225^o=- \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}}}
sec 225^o=- \sqrt{2}
Contoh soal 2
Tentukan nilai dari \frac{\text{sin }45^o.\text{ sin }25^o}{\text{sin }30^o.\text{ cos }65^o}
Jawab:
\frac{\text{sin }45^o.\text{ sin }25^o}{\text{sin }30^o.\text{ cos }65^o}=\frac{\text{sin }45^o.\text{ sin }25^o}{\text{sin }30^o.\text{ cos }90^o-25^o}
=\frac{\text{sin }45^o.\text{ sin }25^o}{\text{sin }30^o.\text{ cos }90^o-25^o}
=\frac{\text{sin }45^o.\text{ sin }25^o}{\text{sin }30^o.\text{ sin }25^o}
=\frac{\text{sin }45^o}{\text{sin }30^o}
=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}
=\sqrt{2}
Contoh soal 3
Hitunglah nilai dari \text{cos}^230^o-\text{sin}^2135^o+8\text{ sin }45^o.\text{cos }135^o
Jawab:
\text{cos}^230^o-\text{sin}^2135^o+8\text{ sin }45^o.\text{cos }135^o
=\text{cos}^{2}30^{o}-\text{sin}^{2}(180^{o}-45^{o})+8\text{ sin }45^{o}.\text{cos }(180^{o}-45^{o})
=(\frac{1}{2} \sqrt{3})^{2}-(\frac{1}{2} \sqrt{2})^{2}+8.\frac{1}{2}\sqrt{2}.(-\frac{1}{2}\sqrt{2})
=\frac{3}{4}-\frac{2}{4}-\frac{16}{4}
=-\frac{15}{4}
=-3\frac{3}{4}
