Sudut Berelasi

Selamat berjumpa kembali dengan M-IPA plus E-Learning, pada kesempatan ini, kita akan belajar tentang Sudut Berelasi pada Trigonometri, silahkan simak materi ajar berikut ini: 

nah, sahabat... Perbandingan trigonometri sudut berelasi merupakan perluasan dari definisi dasar trigonometri tentang kesebangunan pada segitiga siku-siku ya... yang hanya memenuhi untuk sudut kuadran I atau sudut lancip (0 sampai 90°).

Dengan menggunakan sudut-sudut berelasi, kita dapat menghitung nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut pada kuadran lainnya, sahabat.... bagaimana konsepnya ...?

untuk ringkasannya seperti ini sahabat...

Sudut Relasi Kuadran I

Untuk setiap $α$ lancip, maka $(90° − α)$ akan menghasilkan sudut-sudut kuadran $I$. Dalam trigonometri, relasi sudut-sudut tersebut dinyatakan sebagai berikut :

sin $(90° − α)$ = cos $α$

cos $(90° − α)$ = sin $α$

tan $(90° − α)$ = cot $α$

Sudut Relasi Kuadran II

Untuk setiap $α$ lancip, maka $(90° + α)$ dan $(180° − α)$ akan menghasilkan sudut-sudut kuadran $II$. Dalam trigonometri, relasi sudut-sudut tersebut dinyatakan sebagai berikut :

sin $(90° + α)$ = cos $α$

cos $(90° + α)$ = $-$sin $α$

tan $(90° + α)$ = $-$cot $α$

sin $(180° − α)$ = sin $α$

cos $(180° − α)$ = $-$cos $α$

tan $(180° − α)$ = $-$tan $α$

Sudut Relasi Kuadran III

Untuk setiap $α$ lancip, maka $(180° + α)$ dan $(270° − α)$ akan menghasilkan sudut kuadran $III$. Dalam trigonometri, relasi sudut-sudut tersebut dinyatakan sebagai berikut :

sin $(180° + α)$ = $-$sin $α$

cos $(180° + α)$ = $-$cos $α$

tan $(180° + α)$ = tan $α$

sin $(270° − α)$ = $-$cos $α$

cos $(270° − α)$ = $-$sin $α$

tan $(270° − α)$ = cot $α$

Sudut Relasi Kuadran IV

Untuk setiap $α$ lancip, maka $(270° + α)$ dan $(360° − α)$ akan menghasilkan sudut kuadran $IV$. Dalam trigonometri, relasi sudut-sudut tersebut dinyatakan sebagai berikut :

sin $(270° + α)$ = $-$cos $α$

cos $(270° + α)$ = sin $α$

tan $(270° + α)$ = $-$cot $α$

sin $(360° − α)$ = $-$sin $α$

cos $(360° − α)$ = cos $α$

tan $(360° − α)$ = $-$tan $α$

Jika diperhatikan, rumus-rumus diatas mempunyai pola yang hampir sama, oleh karena itu sangatlah tidak bijak jika harus menghafalnya satu per satu. Ada $2$ hal yang harus diperhatikan, yaitu sudut relasi yang dipaka dan tanda untuk tiap kuadran.

Untuk relasi $(90° ± α°)$ atau $(270° ± α°)$, maka :

sin → cos

cos → sin

tan → cot

 

Untuk relasi $(180° ± α°)$ atau $(360° ± α°)$, maka :

sin = sin

cos = cos

tan = tan

Tanda masing-masing kuadran :

Kuadran $I$ $(0° − 90°)$ = semua positif

Kuadran $II$ $(90° − 180°)$ = sinus positif

Kuadran $III$ $(180° − 270°)$ = tangen positif.

Kuadran $IV$ $(270° − 360°)$ = cosinus positif

Perbandingan Trigonometri Sudut Negatif $(-α)$

sin $(-α)$ = $-$sin $α$  cosec $(-α)$ = $-$cosec $α$

cos $(-α)$ = cos $α$  sec $(-α)$ = sec $α$

tan $(-α)$ = $-$tan $α$  cot $(-α)$ = $-$cot $α$

Contoh Soal 1

Tentukan nilai dari sec $225^o$ !

Jawab:

sec $225^o=$ sec $(270^o+45^o)$, karena sec $(270^o+45^o)$=$-$sec $45^2$, maka 

sec $225^o=-$ sec $45^o$

sec $225^o=- \frac{1}{\text{cos }45^o}$

sec $225^o=- \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}}}$

sec $225^o=- \sqrt{2}$

Contoh soal 2

Tentukan nilai dari $\frac{\text{sin }45^o.\text{ sin }25^o}{\text{sin }30^o.\text{ cos }65^o}$

Jawab:

$\frac{\text{sin }45^o.\text{ sin }25^o}{\text{sin }30^o.\text{ cos }65^o}$$=$$\frac{\text{sin }45^o.\text{ sin }25^o}{\text{sin }30^o.\text{ cos }90^o-25^o}$

                     $=\frac{\text{sin }45^o.\text{ sin }25^o}{\text{sin }30^o.\text{ cos }90^o-25^o}$

                     $=\frac{\text{sin }45^o.\text{ sin }25^o}{\text{sin }30^o.\text{ sin }25^o}$

                     $=\frac{\text{sin }45^o}{\text{sin }30^o}$

                     $=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}$

                     $=\sqrt{2}$

Contoh soal 3

Hitunglah nilai dari $\text{cos}^230^o-\text{sin}^2135^o+8\text{ sin }45^o.\text{cos }135^o$

Jawab:

$\text{cos}^230^o-\text{sin}^2135^o+8\text{ sin }45^o.\text{cos }135^o$

$=\text{cos}^{2}30^{o}-\text{sin}^{2}(180^{o}-45^{o})+8\text{ sin }45^{o}.\text{cos }(180^{o}-45^{o})$

$=\text{cos}^{2}30^{o}-\text{sin}^{2}45^{o}+8\text{ sin }45^{o}.(-\text{cos }45^{o})$

$=(\frac{1}{2} \sqrt{3})^{2}$-$(\frac{1}{2} \sqrt{2})^{2}$+$8.\frac{1}{2}\sqrt{2}.(-\frac{1}{2}\sqrt{2})$

$=\frac{3}{4}-\frac{2}{4}-\frac{16}{4}$

$=-\frac{15}{4}$

$=-3\frac{3}{4}$

Selamat Belajar

sumber : ufitahir.wordpress.com, catatanmatematika.com