VEKTOR DUA DIMENSI

Pengertian Vektor

Ada yang masih ingat, vektor itu apa? Vektor adalah suatu besaran. Dalam Fisika, kita mengenal dua jenis besaran, yaitu besaran skalar dan besaran vektor. Bedanya, besaran skalar hanya memiliki nilai saja, sedangkan besaran vektor memiliki nilai dan juga arah.

Contoh besaran vektor, antara lain perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya, medan listrik, medan magnet, dan masih banyak lagi. Sekarang, coba deh, kamu perhatikan ilustrasi gambar berikut ini!

Ratu berjalan dari Barat ke arah Timur (titik $A$ ke titik $B$) sejauh $10$ m. Lalu, ia berbalik arah menuju Barat lagi (titik $B$ ke titik $A$) sejauh $10$ m. Dari sini, kita bisa tahu kalau jarak yang ditempuh Ratu adalah:

$AB + BA = 10$ m $+ 10$ m $= 20$ m

Kemudian, kita lihat besar perpindahannya. Perpindahan dapat diukur dari posisi awal ke posisi akhir. Saat Ratu berbalik arah dan berjalan sejauh $10$ m, berarti posisi akhir Ratu ada di titik awal, yaitu titik $A$. Nah, karena posisi awal Ratu sama dengan posisi akhirnya. Artinya, Ratu tidak mengalami perpindahan (perpindahannya nol).

Jarak adalah panjang lintasan yang ditempuh suatu benda yang bergerak. Jadi, karena Ratu berjalan berbalik arah ke posisi semula, maka jarak yang ditempuh Ratu yaitu jumlah dari titik $A$ ke $B$ ditambah jarak dari titik $B$ ke $A$. Oleh sebab itu, jarak tidak dipengaruhi arah pergerakan benda. Kenapa? Karena jarak merupakan contoh besaran skalar.

Lain halnya dengan perpindahan. Perpindahan merupakan perubahan kedudukan atau posisi suatu benda, sehingga memiliki arah. Ratu yang awalnya berjalan ke Timur sejauh $10$ m, kemudian berpindah ke arah Barat sejauh $10$ m juga. Nah, saat Ratu berjalan ke Barat, arahnya berlawanan dengan arah semula. Arah yang berlawanan dari arah semula ini akan bernilai negatif. Oleh karena itu, perpindahannya adalah:

$AB – BA = 10$ m $– 10$ m $= 0$ m

Nah, karena perpindahan memiliki nilai dan arah, maka perpindahan Ratu itu termasuk besaran vektor.

Dari ilustrasi di atas, semoga kamu jadi lebih paham bedanya besaran vektor dengan skalar ya. Sekarang, kita lanjut ke pembahasan berikutnya, yuk!

Secara geometris, suatu vektor digambarkan sebagai ruas garis berarah. Vektor dapat dinotasikan dengan huruf kecil bertanda panah di atasnya ($\vec{a},\vec{b},\vec{c}$, dst) atau huruf kecil bercetak tebal (a, b, c, dst).

Nah, pada gambar di bawah ini, terdapat ruas garis $\vec{AB}$ yang kita misalkan sebagai vektor $\vec{v}$. Vektor $\vec{v}$ merupakan vektor yang memiliki pangkal di titik $A$ dan ujung di titik $B$. Jika kita tulis vektor $\vec{v}$ dalam bentuk matriks (vektor kolom), maka hasilnya akan seperti berikut:

Kamu masih ingat kan kalau vektor merupakan besaran yang punya nilai dan arah. Nilai vektor bergantung pada arah tiap-tiap komponennya. Komponen $x$ akan bernilai positif jika arahnya ke kanan dan bernilai negatif jika arahnya ke kiri. Sementara itu, komponen $y$ akan bernilai positif jika arahnya ke atas dan bernilai negatif jika arahnya ke bawah. Bingung nggak nih? Simak contoh soal berikut ini deh!

Misalkan, terdapat sebuah vektor $\vec{a}$ sebagai berikut.

Untuk menentukan nilai vektor $\vec{a}$, kita bisa lihat pergeseran arahnya.

Pertama, untuk mencari nilai komponen $x$, kita lihat apakah vektor $\vec{a}$ bergeser ke arah kiri atau kanan. Ternyata, vektor $\vec{a}$ bergeser sejauh $4$ satuan ke kanan, berarti nilai komponen $x = 4$.

Lalu, untuk mencari nilai komponen $y$, kita lihat pergeseran vektor a-2 ke atas atau ke bawah. Kalau kamu lihat, vektor $\vec{a}$ bergeser ke atas sejauh $4$ satuan, sehingga nilai komponen $y = 4$.

Sehingga, vektor $\vec{a}$ dapat dinyatakan dalam bentuk matriks seperti berikut:

$\vec{a}=\binom{\text{komponen }x}{\text{komponen }y}=\binom{4}{4}$

Vektor pada Bidang Dua Dimensi

Vektor pada bidang bisa disebut juga sebagai vektor dua dimensi. Pada vektor dua dimensi, kita akan mengenal yang namanya vektor posisi.

Apa itu vektor posisi? Vektor Posisi adalah vektor yang berpangkal di pusat koordinat $(0,0)$ dan berujung di suatu titik $(x,y)$.

Nah, kalau kamu perhatikan gambar di bawah, terdapat dua buah ruas garis, yaitu $\vec{OP}$ dan $\vec{OR}$. Kita misalkan ruas garis $\vec{OP}$ sebagai vektor $\vec{p}$ dan ruas garis $\vec{OR}$ sebagai vektor $\vec{r}$. Vektor $\vec{p}$ termasuk vektor posisi karena memiliki pangkal di pusat koordinat $O$ $(0,0)$ dan ujung di titik $P$ $(4,2)$. Sama halnya dengan vektor $\vec{r}$ yang juga merupakan vektor posisi karena berpangkal di titik $O$ $(0,0)$ dan ujung di titik $R$ $(2,4)$.

Paham ya? Oh iya, titik $Q$ pada koordinat kartesius di atas juga bisa menjadi vektor posisi lho, jika kamu tarik garis lurus dari pusat koordinat ke titik $Q$ tersebut. Nilai untuk vektor ini bisa kita namakan vektor $\vec{q}$ dengan koordinat titik $Q$ $(5,5)$. Sehingga, dapat kita tuliskan vektor-vektor posisinya, yaitu:

$\vec{p}=\binom{4}{2}$, $\vec{q}=\binom{5}{5}$, $\vec{r}=\binom{2}{4}$

Nah, sekarang coba kamu perhatikan gambar di bawah ini!

Pada koordinat kartesius tersebut, terdapat vektor:

$\vec{AB}=\binom{-10}{2}$

(ke kiri $10$ satuan, ke atas $2$ satuan)

Misalkan $\vec{OA}=\vec{a}$, dan $\vec{OB}=\vec{b}$, sehingga $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ merupakan vektor posisi bernilai $\vec{a}\binom{6}{5}$ dan $\vec{b}\binom{-4}{7}$.

Jika kita menghitung nilai $\vec{b}-\vec{a}$, maka akan di peroleh :

$\vec{b}-\vec{a}=\vec{OB}-\vec{OA}$

$=\binom{-4}{7}-\binom{6}{5}$

$=\binom{-10}{2}=\vec{AB}$

Artinya, vektor $\vec{AB}$ dapat diperoleh dari vektor posisi titik $B$ dikurangi vektor posisi titik $A$ atau dapat ditulis sebagai berikut:

$\vec{AB}=\vec{OB}-\vec{OA}=\vec{b}-\vec{a}$

Contoh soal 1

Diketahui koordinat titik $B$ $(-4,1)$, dan vektor $\vec{AB}=\binom{-6}{-5}$. tentukan koordinat titik $A$ !

Pembahasan

Diketahui koordinat titik $B$ $(-4,1)$ dan vektor $\vec{AB}=\binom{-6}{-5}$

Ditanya: Koordinat titik A?

Penyelesaian :

$\vec{AB}=\vec{OB}-\vec{OA}$

$\vec{AB}=\vec{b}-\vec{a}$

$\vec{a}=\vec{b}-\vec{AB}$

$\vec{a}=\binom{-4}{1}-\binom{-6}{-5}$

$\vec{a}=\binom{2}{6}$

Koordinat titik $A$ akan bernilai sama dengan vektor posisi $\vec{a}$, jadi koordinat titik $A$ adalah $(2, 6)$.

Contoh soal 2

Diketahui koordinat titik $P$ $(2,-1)$, dan $Q$ $(5,3)$. Jika vektor posisi $R$ adalah $\vec{r}=PQ$, tentukan koordinat titik $R$ !

Pembahasan

Diketahui : $P$ $(2,-1)$, dan $Q$ $(5,3)$, $\vec{r}=PQ$

Ditanya : Koordinat titik $R$

Penyelesaian :

$\vec{r}=PQ$

$\vec{r}=\vec{q}-\vec{p}$

Ingat, vektor posisi $\vec{p}$ akan sama nilainya dengan koordinat titik $P$ dan vektor posisi $vec{q}$ akan sama nilainya dengan koordinat titik $Q$, sehingga:

$\vec{r}=\binom{5}{3}-\binom{2}{-1}$

$\vec{r}=\binom{3}{4}$

Koordinat titik $R$ akan sama nilainya dengan vektor posisi $\vec{r}$, jadi $R (3,4)$

Panjang Vektor

Misalkan, $\vec{r}$ merupakan vektor pada ruas garis $OR$. Vektor $\vec{r}$ dapat dinyatakan dengan $\vec{r}=\binom{x}{y}$. Pada gambar di bawah, $OPR$ membentuk segitiga siku-siku dengan sisi alas $\vec{x}$, sisi tegak $\vec{y}$, dan sisi miring $\vec{r}$. Oleh karena itu, panjang vektor $\vec{r}$ (dinotasikan dengan $|\vec{r}|$) dapat dicari menggunakan teorema Pythagoras, yaitu:

$|\vec{r}|=\sqrt{x^2+y^2}$