1. Apa Itu Operasi pada Matriks?
Operasi matriks adalah operasi suatu bentuk matriks, seperti penjumlahan, pengurangan, dan perkalian. Untuk penjumlahan dan pengurangan hanya bisa dilakukan pada matriks yang ordonya sama. Lalu, apakah yang dimaksud ordo? Ordo adalah banyaknya baris dan kolom suatu matriks. Umumnya, ordo dinyatakan sebagai bentuk perkalian antara baris dan kolom. Misalnya suatu matriks memiliki ordo $2 \times 2$. Artinya, memiliki $2$ baris dan $2$ kolom. Rumus matriks dilihat dari jumlah baris dan kolom, yaitu sebagai berikut.
Untuk lebih lebih jelasnya tentang matriks ordo $2 \times 2$, perhatikan contoh berikut.
Jenis Operasi Matriks?
Seperti pada pembahasan sebelumnya, jenis operasi matriks dibagi menjadi tiga, yaitu penjumlahan, pengurangan, dan perkalian. Penjabaran ketiga jenis operasi matriks tersebut adalah sebagai berikut.
Penjumlahan Matriks
Konsep penjumlahan matriks sama seperti penjumlahan pada bilangan. Salah satu syarat penjumlahan ini adalah matriks yang dijumlahkan memiliki ordo yang sama. Misalnya matriks $P$ ordo $2 \times 2$ hanya bisa dijumlahkan dengan matriks lain yang ordonya juga $2 \times 2$, matriks $Q$ ordo $3 \times 3$ hanya bisa dijumlahkan dengan matriks lain yang ordonya $3 \times 3$, dan seterusnya. Operasi penjumlahan ini juga memenuhi sifat-sifat berikut.
1. Sifat komutatif
Pada sifat ini berlaku $A + B = B + A$.
2. Sifat asosiatif
Pada sifat ini berlaku $(A + B) + C = A +(B + C)$
3. Matriks nol
Pada sifat ini berlaku $A + 0 = A$.
Jika dijumlahkan dengan lawannya akan menghasilkan matriks nol, yaitu $A + (-A) = 0$.
Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal penjumlahan matriks berikut ini.
Contoh soal Penjumlahan Matriks 1
Diketahui dua buah matriks, yaitu matriks $A$ dan $B$ seperti berikut.
$A=\begin{bmatrix}2 & -1\\ 1 & 3\end{bmatrix}$ dan $B=\begin{bmatrix}4 & 2\\ -1 & 1\end{bmatrix}$
Tentukan hasil penjumlahan matriks $A$ dan $B$ tersebut dan buktikan bahwa kedua matriks tersebut memenuhi sifat komutatif.
Pembahasan:
Ingat, penjumlahan matriks dilakukan pada elemen yang baris dan kolomnya sama.
$A+B=\begin{bmatrix}2 & -1\\ 1 & 3\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}4 & 2\\ -1 & 1\end{bmatrix}$
$=\begin{bmatrix}2+4 & -1+2\\ 1+(-1) & 3+1\end{bmatrix}$
$=\begin{bmatrix}6 & 1\\ 0 & 4\end{bmatrix}$
Selanjutnya, kamu harus mengoperasikan keduanya secara komutatif, yaitu $B + A$ seperti berikut
$B+A=\begin{bmatrix}4 & 2\\ -1 & 1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}2 & -1\\ 1 & 3\end{bmatrix}$
$=\begin{bmatrix}4+2 & 2+(-1)\\ -1+1 & 1+3\end{bmatrix}$
$=\begin{bmatrix}6 & 1\\ 0 & 4\end{bmatrix}$
Ternyata, hasil $A + B = B + A$. Dengan demikian, kedua matriks tersebut memenuhi sifat komutatif.
Jadi, hasil penjumlahannya adalah dan keduanya memenuhi sifat komutatif.
Contoh soal Penjumlahan Matriks 2
Andi dan ayahnya membuka usaha penjualan pakan ternak di dua tempat yang berbeda. Toko Andi berada di Semarang, sementara ayahnya di Solo. Keduanya menjual dua jenis pakan ternak yang sama, yaitu pakan konsentrat dan fermentasi. Biaya pembelian dan operasional setiap bulan keduanya ditunjukkan oleh tabel berikut.
Toko Andi
Tentukan total biaya yang diperlukan oleh Andi dan ayah setiap bulan!
Pembahasan:
Mula-mula, buatlah masing-masing matriks untuk toko Andi dan ayah.
Andi = $\begin{bmatrix}2.200.000 & 3.000.000\\ 50.000 & 75.000\end{bmatrix}$
Ayah = $\begin{bmatrix}2.200.000 & 3.000.000\\ 50.000 & 75.000\end{bmatrix}$
Total biaya yang diperlukan oleh Andi dan ayahnya setiap bulan adalah sebagai berikut.
Andi + ayah = $\begin{bmatrix}2.200.000 & 3.000.000\\ 50.000 & 75.000\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}2.200.000 & 3.000.000\\ 50.000 & 75.000\end{bmatrix}$
Andi + ayah = $\begin{bmatrix}4.400.000 & 6.000.000\\ 100.000 & 150.000\end{bmatrix}$
Jadi, total biayanya ditunjukkan oleh matriks di atas.
Pengurangan Matriks
Konsep pengurangan pada matriks sama seperti penjumlahan, yaitu mengurangkan elemen yang letaknya sama atau seletak. Salah satu syarat yang harus dipenuhi juga sama, yaitu memiliki ordo yang sama. Pada pengurangan matriks ini, tidak berlaku sifat-sifat seperti halnya penjumlahan. Adapun contoh soal pengurangan matriks adalah sebagai berikut.
Contoh soal
Dua buah matrik, yaitu sebagai berikut.
$A=\begin{bmatrix}2 & -1\\ 1 & 3\end{bmatrix}$ dan $B=\begin{bmatrix}4 & 2\\ -1 & 1\end{bmatrix}$
Tentukan hasil pengurangan antara matriks $A$ dan matriks $B$!
Pembahasan:
$A-B=\begin{bmatrix}2 & -1\\ 1 & 3\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}4 & 2\\ -1 & 1\end{bmatrix}$
$=\begin{bmatrix}2-4 & -1-2\\ 1-(-1) & 3-1\end{bmatrix}$
$=\begin{bmatrix}-2 & -3\\ 2 & 2\end{bmatrix}$
Jadi, hasil pengurangannya adalah $\begin{bmatrix}-2 & -3\\ 2 & 2\end{bmatrix}$.
Perkalian Matriks
Jika penjumlahan dan pengurangan berlaku pada dua buah matrik atau lebih yang ordonya sama, maka tidak demikian dengan perkalian. Perkalian matriks bisa berupa perkalian antara konstanta dan matriks serta perkalian antarmatriks, seperti berikut ini.
Perkalian antara konstanta dan matriks, yaitu seperti berikut.
$N=k\begin{bmatrix}a & b\\ c & d\end{bmatrix} \Leftrightarrow N=\begin{bmatrix}ka & kb\\ kc & kd\end{bmatrix}$
Perkalian antarmatriks
Perkalian antarmatriks lebih rumit daripada perkalian antara konstanta dan matriks, yaitu mengalikan masing masing elemen matriks baris dengan kolom.
$N=\begin{bmatrix}a & b\\ c & d\end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}1 & 2\\ 3 & 4\end{bmatrix}$
$\Leftrightarrow N=\begin{bmatrix}[(a\times 1)+(b\times 3)] & [(a\times 2)+(b\times 4)]\\ [(c\times 1)+(d\times 3)] & [(c\times 2)+(d\times 4)]\end{bmatrix}$
$\Leftrightarrow N=\begin{bmatrix}[a+3b] & [2a+4b]\\ [c+3d] & [2c+4d]\end{bmatrix}$
Perkalian ini memenuhi sifat-sifat berikut.
1. Sifat asosiatif
Pada sifat ini, berlaku $(A × B) × C= A × (B × C)$
2. Sifat distributif
Pada sifat ini, berlaku $A × (B + C) = (A × B) + (A × C)$
Agar pemahamanmu semakin terasah, yuk simak contoh soal perkalian matriks berikut ini.
Diketahui perkalian matriks seperti berikut.
$A=\begin{bmatrix}2 & -3\\ -1 & 4\end{bmatrix}$ dan $B=\begin{bmatrix}1 \\ 2 \end{bmatrix}$
Tentukan nilai $A\times B$ !
Jawab
$A\times B$
$\Leftrightarrow=\begin{bmatrix}2 & -3\\ -1 & 4\end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}1 &2\\ 2&-1 \end{bmatrix}$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix}[(2\times 1)+(-3\times 2)] & [(2\times 2)+(-3\times 1)]\\ [(-1\times 1)+(4\times 2)] & [(-1\times 2)+(4\times -1)]\end{bmatrix}$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix}[2+(-6)] & [4+(-1)]\\ [-1+8] & [-2+(-4)]\end{bmatrix}$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix}-4 & -4\\ -8 & -8\end{bmatrix}$
2. Kesamaan Matriks
Dua matriks dikatakan sama jika ordo kedua matriks sama dan elemen-elemen yang seletak bernilai sama.
Contoh 1
Diketahui matriks $A=\begin{bmatrix}2x-y & -3\\-4 &-8 \end{bmatrix}$ dan $B=\begin{bmatrix}-2 & -3\\-4 &3x+y \end{bmatrix}$ matriks . Jika maka nilai dari $2x+y$ adalah ...
Jawab:
$A=B$
$\begin{bmatrix}2x-y & -3\\-4 &-8 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2 & -3\\-4 &3x+y \end{bmatrix}$
$2x-y=-2$
$3x+y=-8$
_____________ +
$5x=-10$
$x=-2$
substitusi $x=-2$ ke :
$3x+y=-8$
$3(-2)+y=-8$
$-6+y=-8$
$y=-8+6$
$y=-2$
maka nilai $2x+y=2(-2)+(-2)=-6$
Contoh 2
Diketahui perkalian matriks seperti berikut.
$\begin{bmatrix}2 & -3\\ -1 & 4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5 \\ -9 \end{bmatrix}$
Tentukan nilai $2x – y$ !
Jawab:
Mula-mula, kamu harus mengalikan matriks ordo $2 \times 2$ dan $2 \times 1$ pada soal.
$\begin{bmatrix}2 & -3\\ -1 & 4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5 \\ -9 \end{bmatrix}$
$\Leftrightarrow\begin{bmatrix}2x & 5y\\ -x & 4y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5 \\ -9 \end{bmatrix}$
$\Leftrightarrow$ $2x+5y=5 $ $.....(1)$
$-x+4y=-9 .....(2)$
Lakukan eliminasi pada persamaan (1) dan (2)
$2x+5y=5 |\times 1|$ $2x+5y=5$
$-x+4y=-9|\times 2|-2x+8y=-18$
________________________________________+
$13y=-13$
$y=\frac{-13}{13}$
$y=-1$Substitusikan nilai $y = -1$ ke persamaan $(2)$. Dengan demikian, diperoleh:
$-x+4y=-9$
$-x+4(-1)=-9$
$-x-4=-9$
$-x=-9+4$
$x=5$
Jadi, nilai $2x – y = 2(5) – (-1) = 11$.
sumber : quipper.com
