Pertidaksamaan merupakan suatu pernyataan matematis, di mana terdapat dua pernyataan yang berbeda. Pernyataan yang berbeda dinyatakan dalam bentuk penulisan kurang dari atau lebih dari $(<, >)$. Solusi penyelesaian sistem pertidaksamaan nilai mutlak adalah penyelesaian dengan mengubah bentuk pertidaksamaan yang diketahui sehingga tidak ada nilai mutlak lagi.
Sekarang mari kita coba kerjakan beberapa contoh soal pertidaksamaan nilai mutlak!
Soal 1
Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak di bawah ini.
$|5x+10|≥20$
Dilansir dari Encyclopaedia Britannica, Untuk menjawab soal di atas, kita gunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak:
Jika $a>0$ dan $|x|≥a$ maka
$x≥a$ atau $x≤-a$
Sehingga bisa kita tulis:
$5x+10≥20$
$5x≥10$
$x≥2$
$5x+10≤-20$
$5x≤-30$
$x≤-6$
Maka himpunan penyelesaiannya adalah: $x≥2$ atau $x≤-6$
Soal 2
Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak di bawah ini.
$|5x+10|≤20$
Untuk menjawab soal di atas, kita gunakan sifat pertidaksamaan nilai mutlak:
Jika $a>0$ dan $|x|≤a$ maka
$-a≤x≤a$
Sehingga penyelesaiannya adalah:
$-20≤5x+10≤20$
$-30≤5x≤10$
$-6≤x≤2$
Maka himpunan penyelesaiannya dari soal di atas yaitu: $-6≤x≤2$
Soal 3
Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak di bawah ini.
$|7x-2|≥|3x+8|$
Soal di atas memiliki dua komponen nilai mutlak di bagian kiri dan kanan. Solusi dari pertidaksamaan nilai mutlak tersebut dapat kita cari dengan mengguanakn sifat di bawah:
jika $|f(x)|>|g(x)|$
maka $f^2(x)>g^2(x)$
Mari kita selesaikan seperti ditulis di bawah ini:
$(7x-2)^2≥(3x+8)^2$
$(7x-2)^2-(3x+8)^2≥0$
Apabila kita perhatikan, bentuk di atas bila kita ganti masing-masingnya dengan komponen a dan b, maka dapat diasumsikan:
$a^2-b^2≥$
$(a-b)(a-b)≥0$
Sehingga penyelesaiannya dapat kita tulis:
$(7x-2+3x+8)(7x-2-3x-8)≥0$
$(10x+6)(4x-10)≥0$
Pembuat nol pada komponen yang pertama adalah:
$10x+6=0$
$10x=-6$
$x=-\frac{5}{2}$
Pembuat nol pada komponen yang kedua adalah:
$4x-10=0$
$4x=10$
$x=\frac{5}{2}$
Selanjutnya kita gunakan garis bilangan untuk menentukan tanda himpunan penyelesaiannya:
Untuk $x≤-3/5$, misal kita ambil nilai $x=-1$, maka:
$(10x+6)(4x-10)≥0$
$(10(-1)+6)(4(-1)-10)≥0$
$(-10+6)(-4-10) ≥0$
$(-4)(-14) ≥0$
$56≥0$, nilai tersebut memenuhi pertidaksamaan
Untuk$-3/5≤x≤5/2$, misal ambil nilai $x=1$
$(10x+6)(4x-10)≥0$
$(10(1)+6)(4(1)-10)≥0$
$(10+6)(4-10) ≥0$
$(16)(-6) ≥=0$
$-96≥0$, nilai tersebut tidak memenuhi pertidaksamaan
Untuk $x≥5/2$ misal kita ambil nilai $x=3$
$(10x+6)(4x-10)≥0$
$(10(3)+6)(4(3)-10)≥0$
$(30+6)(12-10) ≥0$
$(36)(2) ≥0$
$72≥0$, nilai tersebut memenuhi pertidaksamaan
Maka himpunan penyelesaiannya dari soal no $3$ yaitu: $x≤-3/5$ atau $x≥5/2$
Selamat Belajar
Salam Matematika
sumber : kompas com
