sumber gambar : https://adiyasa.smkti.com/
Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Nilai Mutlak
2.1. Sub Uraian Materi 1:
Konsep Nilai Mutlak
Pada konsep bilangan bulat, Anda mengenal letak benda di bawah permukaan laut dinyatakan dengan bilangan bulat negatif, misal letak penyelam dan letak kapal selam. Dengan memperhatikan garis bilangan vertikal gambar di bawah ini, jawablah pertanyaan berikut.
a. Berapa jarak burung dari kapal nelayan ?
b. Berapa jarak penyelam dari kapal nelayan ?
c. Berapa jarak kapal selam dari kapal nelayan ?
d. Berapa jarak kapal selam dari burung ?
Dalam matematika terdapat konsep sesuatu yang tidak pernah bernilai negatif yang disebut nilai mutlak. Nilai mutlak bilangan $3$ ditulis $|3|$ adalah $3$ dan nilai mutlak bilangan $-3$ ditulis $|-3|$ adalah $3$. Berapapun besar atu kecil nilai bialngan tersebut nilai mutlaknya tidak pernah bernilai negatif.
A. Konsep Nilai Mutlak Suatu Bilangan
Nilai mutlak bilangan $x$, dinotasikan dengan $|x|$, didefinisikan sebagai berikut.
$|x| =$ jarak $x$ dari titik nol pada garis bilangan
Secara formal, nilai mutlak $x$ didefinisikan dengan atau bisa ditulis
$| x | = -x$ jika $x ≥ 0$
$| x | = -x$ jika $x < 0$
Jarak $-5$ dari $0$ adalah $5$ sehingga $|-5| = 5$. Jarak $5$ dari $0$ adalah $5$
sehingga $|5| = 5$.
Definisi diatas bisa di maknai sebagai berikut :
Nilai mutlak bilangan positif ataupun nol ialah bilangan itu sendiri dan nilai mutlak bilangan negatif yaitu lawan dari bilangan tersebut.
Contohnya:
$| 9 | = 9$ , $| 0 | = 0$, $| -7 | = -(-7) = 7$
Maka, jelas bahwasanya nilai mutlak tiap bilangan real akan selalu memiliki nilai positif atau nol.
B. Fungsi Nilai Mutlak
Fungsi nilai mutlak adalah fungsi yang variabelnya di dalam tanda mutlak.
Contoh
1. Fungsi nilai mutlak $f(x) = | x |$
$f(x)=\left\{\begin{matrix}x \text{ jika } x≥0\\ -x\text{ jika } x<0\end{matrix}\right.$
Perhatikan :
a. Grafik $f(x) = | x |$ tidak pernah di bawah sumbu $x$
b. Untuk $x ≥ 0$, grafik $f(x) = | x |$ merupakan grafik $f(x) = x$
c. Untuk $x < 0$, $f(x) = | x |$ merupakan $f(x) = –x$
2.2. Sub Uraian Materi 2:
Persamaan Linear Nilai Mutlak
A. Bentuk Umum Persamaan Linear Nilai Mutlak
Untuk $f(x)$ dan $g(x)$ fungsi dalam variabel $x$
$|f (x)| = c$ dengan syarat $c ≥ 0$
$|f (x)| = |g (x)|$
$|f (x)| = |g (x)|$ dengan syarat $|g (x)| ≥ 0$
B. Penyelesaian persamaan Linear Nilai Mutlak
Persamaan Nilai Mutlak yaitu suatu nilai mutlak dari sebuah bilangan yang dapat didefinisikan sebagai jarak bilangan tersebut terhadap titik 0 pada garis bilangan tanpa memperhatikan arahnya.
Contoh 1
Tentukanlah himpunan penyelesaian $|2x – 7| = 3$
Jawaban :
$|2x – 7| = 3 ( 2x – 7 = 3\text{ ataupun }2x – 7 = -3)$
$|2x – 7| = 3 ( 2x = 10\text{ ataupun }2x = 4)$
$|2x – 7| = 3 ( x = 5\text{ ataupun }x = 2)$
Maka, HP $= {2, 5}$
Contoh 2
Tentukanlah HP $|2x – 1| = |x + 4|$
Jawaban :
$|2x – 1| = |x + 4|$
$2x – 1 = x + 4\text{ ataupun }2x – 1 = -(x + 4)$
$x = 5$ ataupun $3x = -3$
$x = 5$ ataupun $x = -1$
Maka, HP $= (-1, 5)$
2.3. Sub Uraian Materi 3:
Pertidaksamaan Linear Nilai Mutlak
Pertidaksamaan nilai mutlak merupakan jenis pertidaksamaan yang mengandung nilai mutlak.
Misalkan $|x|$ adalah nilai mutlak $x$ dan $a$ suatu bilangan real.
a. Jika $|x| ≤ a$ maka $–a ≤ f(x) ≤ a$
b. Jika $|x| ≥ a$ maka $x ≤ –a atau ≥ a$
Contoh 1
Tentukan himpunan penyelesaian dari $|2x - 1| < 7$
Jawab :
$|2x - 1| < 7$ ⇔ $-7 < 2x - 1 < 7$
$|2x - 1| < 7$ ⇔ $-6 < 2x < 8$
$|2x - 1| < 7$ ⇔ $-3 < x < 4$
Jadi, HP $= {-3 < x < 4}$.
Contoh 2
Tentukan himpunan penyelesaian dari $|4x + 2| ≥ 6$
Jawab :
Berdasarkan sifat $c$ :
$|4x + 2| ≥ 6$ ⇔ $4x + 2 ≤ -6$ atau $4x + 2 ≥ 6$
$|4x + 2| ≥ 6$ ⇔ $4x ≤ -8$ atau $4x ≥ 4$
$|4x + 2| ≥ 6$ ⇔ $x ≤ -2$ atau $x ≥ 1$
Jadi, HP $= {x ≤ -2$ atau $x ≥ 1}$.
Contoh 3
Tentukan penyelesaian dari $|3x - 2| ≥ |2x + 7|$
Jawab :
$|3x - 2| ≥ |2x + 7|$
⇔ $3x - 2 ≤ -(2x + 7)$ atau $3x - 2 ≥ 2x + 7$
⇔ $5x ≤ -5$ atau $x ≥ 9$
⇔ $x ≤ -1$ atau $x ≥ 9$
Jadi, HP $= {x ≤ -1 $ atau $x ≥ 9}$
2.4. Sub Uraian Materi 4:
Pemecahan Masalah Persamaan dan Pertidaksamaan Konsep Linear Nilai Mutlak Dalam kehidupan sehari-hari terdapat beberapa masalah yang berkaitan dengan konsep nilai mutlak.
Contoh
Pada mobil-mobil baru, angka kilometer per liternya tergantung pada bagaimana mobil itu digunakan, apakah sering digunakan untuk perjalanan jarak jauh ataukah hanya untuk perjalanan jarak dekat (dalam kota). Untuk suatu merek mobil tertentu, angka kilometer per liternya berkisar di angka 2,8 kurang atau lebihnya dari 12 km/L.
Berapakah jangkauan dari angka km/L dari mobil tersebut?
Jawab
Diketahui angka km/L dari suatu mobil berkisar di angka 2,8 kurang atau lebihnya dari 12 km/L.
Misalkan m adalah angka km/L dari mobil tersebut. Maka, selisih $m$ dan $12$ tidak boleh lebih dari $2,8$ atau dapat dituliskan ke dalam $|m –12| ≤ 2,8$.
$|m-12|\leq 2,8$
⇔ $-2,8 ≤m-12≤2,8$
⇔ $9,2 ≤m≤14,8$
Selamat Belajar
Salam Matematika
sumber : repositori kemdikbud
